Метод Рітца
поверхні накладені певні геометричні зв’язки
шукаємо у вигляді
вираз (11.64) будуть задовольняти геометричним зв’язкам (11.53)
— лише бажана умова, але не обов’язкова.
варто попередньо одержати вираз для потенційної енергії П в функції від
компонентів переміщення.
, дозволяє одержати систему основних рівнянь методу Рітца
.
При дії консервативних зовнішніх сил (11.51) рівняння методу Рітца
приймають наступний вид:
визначається по формулі (11.49).
Розрахунковий алгоритм методу Рітца досить простий і включає виконання
наступних основних операцій:
;
;
зі спільного рішення системи алгебраїчних рівнянь, отриманих у п. 2;
4) визначення компонентів переміщень по формулах (11.54);
5) визначення компонентів деформації і напруження по знайдених
компонентах переміщення за допомогою відповідних залежностей теорії
пружності.
??&?O
U
a
a
bd0
:
( і тривимірних задач координатні функції, як правило, задають у вигляді
добутку одномірних функцій.
Приклад. Визначити за допомогою методу Рітца пружну лінію вільно
обпертої по кінцях призматичної балки, завантаженої рівномірно
розподіленим навантаженням інтенсивністю q (рис. 11.7).
Рис. 11.7. Наприклад 11.2
Рішення
будемо знаходити у вигляді
і у жодному разі не накладати додаткових кінематичних обмежень
(наприклад, закріплювати якийсь переріз балки по її довжині). Ці вимоги
будуть виконані, якщо в якості координатних функцій приймемо
(11.59)
Задоволення силовим граничним умовам у методі Рітца хоча і не
обов’язково, але бажано, оскільки при цьому підвищується швидкість
збіжності, рішення. З урахуванням (11.58) вираз (11.57) перепишеться у
вигляді
(11.60)
Щоб скористатися рівняннями методу Рітца (11.56)
.
Якщо обмежитися врахуванням лише деформацій вигину балки, то
(11.62)
або, після підстановки (11.60) в (11.62),
(11.63)
Силова функція зовнішніх сил [див. (11.49)]
(60.64)
Вносячи отримані вираз для П и U у рівняння (11.61), маємо
звідки
(11.65)
З урахуванням (11.65) вираз для пружної лінії балки остаточно прийме
наступний вид:
й збереження в (11.66) лише першого члена
(11.67)
Точне рішення дає
Погрішність результату (11.67) становить усього 0,4%.
Приклад 11.3. У методі Рітца не завжди можна скористатися якою-небудь
відомою системою функцій як координатні функції. Систему координатних
функцій часто доводиться будувати безпосередньо при рішенні задач. Як
приклад покажемо, як можна побудувати систему координатних функцій для
балки, один кінець якої жорстко затиснений, а другий – вільно обпертий
на жорстку опору.
Граничні умови такої балки мають вигляд:
(11.68)
Задамо пружну лінію балки у формі статечного ряду
.
, одержуємо
звідки
У результаті пружна лінія балки прийме вид
(11.70)
Безпосередньо з (11.70) одержуємо шуканий вираз для координатних функцій
(11.71)
Кожна з функцій (11.71) задовольняє всім кінематичним умовам задачі
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
