Згин клина. Дія зосередженої сили, прикладеної до границі на півплощини
Згинання клина
.
Рис. 4.6. Вигин клина
Дотримуючись тої ж послідовності, що й у попередньому параграфі,
знаходимо значення постійних:
,
і складових напружень:
показана на зазначеному рисунку.
Переходячи за допомогою формул (4.14) і (4.15) до декартової системи
координат, знаходимо
, виникнуть наступні напруження:
Їх епюри також показані на рис. 4.6.
Для порівняння приведемо рішення, одержуване методами опору матеріалів:
представлені на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Епюри, отримані методами опору матеріалів
ця різниця зростає.
.
розбіжність між рішеннями теорії пружності й опори матеріалів також
зменшується. Отже, методика опору матеріалів придатна лише для малих
кутів.
Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
.
Рис. 4.8. Пружна напівплощина
являє собою навантаження, рівномірно розподілене уздовж прямій,
перпендикулярній площині креслення.
.
Підставляючи ці значення у формули (4.12), знаходимо напруження в точках
пружної напівплощини:
(коло Буссінеска). Доведемо це положення.
. Використовуючи це співвідношення в першій формулі (4.19), одержуємо
однакові.
Формули (4.19) можна застосовувати для визначення напружень на основі
фундаменту. Хоча ґрунт основи найчастіше не має пружні властивості, при
невеликих зовнішніх тисках практично для всіх ґрунтів можна приймати
лінійну залежність між деформаціями й напруженнями і використовувати
рівняння теорії пружності.
J
j
?J
L
d
f
?
?
\^`bnpr?Ox
z
?
1/4
3/4
A
??]????????????H?H?????pr1/4
A
j
j
В інженерній практиці при розрахунку фундаментів необхідно знати
розподіл напружень у товщі ґрунту по горизонтальному й вертикальному
перерізах, тому в розглянутої задачі перейдемо від напружень у полярній
системі координат до напружень у декартовій системі. Підставляючи
значення напружень (4.19) у формули (4.13) одержуємо:
;
;
,
або, використовуючи формули переходу (4.14) від однієї системи координат
до іншої,
(4.21)
Епюри нормальних і дотичних напружень для двох горизонтальних
перерезів показані на рис. 4.9, а, б. На рис. 4.9, в зображені епюри
нормальних напружень для двох вертикальних перерізів. Нормальні напруги
, що діють у горизонтальних перерізах, досягають максимуму під силою й
загасають при видаленні від лінії її дії як завширшки, так і в глибину.
Дотичні напруження під силою дорівнюють нулю, на деякій відстані від
лінії її дії досягають максимуму, а потім поступово загасають. По мірі
поглиблення максимум зміщується усе далі від осі . Так само як ,
поводяться і нормальні напруження , що досягають максимального значення
на тій же відстані, але по глибині.
а
б
в
Рис. 4.9. Епюри напруг
Рішення для зосередженої сили можна поширити на випадок будь-якого
суцільного розподіленого навантаження (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Довільне розподілене навантаження
Якщо інтенсивність навантаження в даній точці дорівнює , то рівнодіюча
навантаження на нескінченно малій довжині становить . Розмір у
полярній системі координат має вигляд
.
Тут знак мінус з’являється тому, що при зростанні кут убуває. Тоді
елементарне навантаження на ділянці можна представити як
.
Вносячи це значення у формули (4.19), одержуємо напруження в точці від
нескінченно малої сили , прикладеної в довільній точці на границі
напівплощини:
; .
За допомогою формул (4.13) переходимо до напружень, що виникають від
нескінченно малої сили на горизонтальних і вертикальних площадках, що
проходять через ту ж точку :
;
;
.
Якщо навантаження розподілене уздовж осі від точки до точки і кут
змінюється в цих границях від , до , то, підсумовуючи напруження від
кожної елементарної сили, одержуємо напруження в точці від всього
розподіленого навантаження:
(4.22)
Щоб проінтегрувати вираз (4.22), навантаження необхідно представити у
вигляді функції кута . У випадку рівномірно розподіленого навантаження
інтегрування значно полегшується, тому що . В результаті одержуємо
(4.23)
Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
Рішення плоскої задачі в полярних координатах у напруженнях полягає у
відшуканні трьох функцій і , за допомогою трьох рівнянь: двох рівнянь
рівноваги (4.1) і рівняння нерозривності деформацій (4.3) при
обов’язковому задоволенні умов на поверхні.
Аналогічно тому, як було зроблено при рішенні плоскої задачі в
декартових координатах, рішення в полярних координатах можна звести до
відшукання однієї функції напружень . Виберемо цю функцію так, щоб
напруження виражалися через неї в такий спосіб:
(4.24)
Підставляючи ці вирази в рівняння рівноваги (4.1), переконуємося, що при
відсутності об’ємних сил останні обертаються в тотожності. Щоб
перетворити рівняння нерозривності деформацій (4.3), складемо почленно
формули для нормальних напружень (4.24)
.
Права частина цієї суми представлена оператором Лапласа над функцією .
Отже,
і з рівняння (4.3) одержуємо
,
або
. (4.25)
У розгорнутому виді рівняння нерозривності деформацій (4.25)
записується в такий спосіб:
. (4.26)
Таким чином, функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
також повинна бути бігармонічною.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
