Напруги в пластинці. Зусилля в пластинці
Напруження в пластинці
. Тоді одержимо:
звідси з урахуванням залежностей (5.5) знаходимо
з формул (5.5) приймає такий вид:
(б)
Дотичні напруження у двох інших площинах, відповідно до рівностей (5.1),
звертаються в нуль:
Однак такий результат отриманий тільки внаслідок прийнятих раніше
гіпотез. У дійсності ці дотичні напруження не дорівнюють нулю, оскільки
це суперечить умовам рівноваги. Дійсно, розглянемо диференціальні
рівняння рівноваги (2.1). Зневажаючи об’ємними силами, з першого
рівняння знаходимо
.
Підставимо сюди напруження з формул (а) і (б):
Після спрощення одержуємо
або
, знаходимо
. Підставляючи ці умови у формулу (в), одержуємо
звідки шукана функція
.
Якщо ввести її у формулу (в), одержуємо
. (г)
Вирішуючи таким же шляхом друге рівняння рівноваги (2.1), знаходимо
. (д)
Отже, відповідно до формул (а), (б), (г) і (д), у перерізах пластинки,
перпендикулярних її серединнії площини, виникають наступні напруження:
(5.6)
На рис. 5.2 показані епюри цих напружень по товщині пластинки.
Рис. 5.2. Епюри напружень по товщині пластинки
розподіляються по параболі, досягаючи в точках серединної площини
максимального значення. Так само розподіляються дотичні напруження і при
поперечному згинанні балок прямокутного перерізу.
, отже, функція прогинів грає тут такуж роль, що й функція напружень у
плоскої задачі.
Зусилля в пластинці
??????????? пластинки, нормальних до її серединної площини. На рис. 5.3 зображений
нескінченно малий елемент пластинки, вирізаний такими перетинами.
Рис. 5.3. Нескінченно малий елемент пластинки
.
. Підсумовуючи ці елементарні сили по товщині пластинки, одержуємо вираз
нормальної сили
.
:
.
:
Після інтегрування одержуємо
.
Вхідна сюди величина
(5.7)
називається циліндричною жорсткістю. Вона є фізико-гeoметриною
характеристикою пластинки при згинанні.
Поперечна сила в розглянутому перерезі
.
, з формул (5.6):
.
Після інтегрування одержуємо
.
вісь :
.
з формул (5.6)
.
Крутний момент
(рис. 5.3):
(б)
Порівнюючи формули (а) і (б), зауважуємо, що
Таким чином, під дією поперечного навантаження в перерізах пластинки,
перпендикулярних її серединній площини, виникають наступні зусилля:
згинальні моменти
(5.8)
поперечні сили
(5.9)
і крутний момент
(5.10)
Всі вони виражені через прогини серединної площини. Позитивні напрямки
зазначених зусиль показані на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Позитивні напрямки зусиль
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
