.

Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 7634
Скачать документ

Реферат на тему:

Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки

Диференціальні рівняння використовують у економічних моделях, що
відображують зміну і взаємозв’язок економічних показників у часі.

1. Модель Еванса встановлення рівноважної ціни.

У цій моделі розглядають ринок одного товару, неперервно залежний від
часу. Нехай Q(t), S(t), P(t) – відповідно попит, пропозиція і ціна цього
товару у момент часу t. Будемо вважати, що і попит, і пропозиція лінійні
функції від ціни, тобто Q(t) = a-bP(t), a,b>0 (із зростанням ціни попит
спадає), S(t) =?-?P(f), ?,?>0 (із зростанням ціни пропозиція зростає),
причому а>? (для нульової ціни попит перевищує пропозицію, тобто товар
бажаний споживачу).

Головним припущенням є те, що збільшення ціни ?р прямо пропорційне
перевищенню попиту над пропозицією за час ?t, тобто

Підставивши у це рівняння лінійні залежності попиту і пропозиції від
ціни, одержимо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з початковою
умовою:

Розв’язавши рівняння, маємо:

звідки

, бо для P0

Р* ціна, спадаючи, теж прямує до
Р*. Сама ціна Р* є рівноважна ціна – для неї Q(P*) = S(P*). Рівноважну
ціну можна також знайти графічно.

2. Модель росту (зростання для постійного темпу приросту).

Нехай Q = Q(t) – обсяг продукції деякої галузі (підприємства),
виробленої за час t. Будемо вважати, що ринок ненасичений, тобто вся
продукція буде реалізована, причому за деякою фіксованою ціною Р. Тоді
на момент часу t галузь отримає дохід PQ(t). Нехай I = I(t) -величина
чистих інвестицій, тобто засобів, направлених на розширення виробництва
(чисті інвестиції – це різниця між загальним обсягом інвестицій і
амортизаційними витратами).

Якщо т (00).

Припустимо, що ця залежність прямо пропорційна, тобто має місце так
званий принцип акселерації:

Q’(t) = l?I(t) (l = const), (8.2)

– норма акселерації.

Підстановкою у формулу (8.2) значення I з формули (8.1), одержимо:

Q’(t)=l?m?P?Q(t).

або

Q’ = kQ, де k = lmP. (8.3)

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.
Знайдемо його загальний розв’язок:

Якщо у початковий момент часу г0 обсяг продукції становить Q0, то

Отже, частинний розв’язок рівняння (8.3)

(8.4)

Рівняння (8.4) називають рівнянням росту. Цим рівнянням можна описати
також динаміку зміни цін для постійного темпу інфляції, процеси
радіоактивного розпаду, розмноження бактерій тощо.

3. Модель росту в умовах конкуренції.

тобто із збільшенням випуску продукції відбувається насичення ринку і
ціна спадає. Тоді з формул (8.1), (8.2) одержимо рівняння:

Q'(t) = l?m?P(Q)-Q(t),

або

Q’=? Р(Q)?Q, де ? = lт. (8.5)

Оскільки всі множники у правій частині цього рівняння додатні, Q’>0,
тобто функція Q зростає. Характер зростання функції Q(t) (опуклість)
визначається знаком другої похідної:

– еластичність попиту. Розглянемо два випадки:

Тоді Q”>0 і функція Q опукла вниз. Це означає прискорення зростання
обсягу продукції.

Тоді Q”0, b>0,

рівняння (8.5) матиме вигляд:

Q’ = ? (a-bQ)-Q. (8.6)

Розв’яжемо це рівняння:

(8.7)

Графік функції (8.7) називають логістичною кривою. Легко бачити, що
Q’=0, коли Q = 0, або Q =a/b, і Q = a/2b- точка перегину:

Кривою такого типу можна описати також деякі моделі розповсюдження
інформації (реклами), динаміку епідемій, процеси розмноження бактерій в
обмеженому середовищі тощо.

4. Динамічна модель Кейнса.

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає основні компоненти
динаміки витрат та доходів економіки деякої країни. Нехай Y(t)-
національний дохід, E(t) – державні витрати, S(t)- споживання, I(t)-
інвестиції. Тоді можна скласти такі співвідношення:

де a(t) – коефіцієнт схильності до споживання (0Y*, то С = Y0-Y*>0 і національний дохід зростає –
інтегральні криві прямують вгору від рівноважної прямої.

5. Неокласична модель росту.

Нехай Y = F(K,L) – національний дохід, отриманий за рахунок
капіталовкладень К і витрат праці L, F(K,L)- однорідна виробнича функція
(F(tK,tL) = tF(K,L)). Цю умову, наприклад, задовольняє виробнича функція
Кобба-Дугласа. Позначимо

де k = K/L- фондоозброєність. Як відомо, f’(k) > 0, f”(k) Задачі. Розв'язати рівняння Самуельсона P' = 2(Q(P)-S(P)), що моделює зв'язок між зміною ціни Р і незадоволеним попитом Q(P)-S(P), якщо Q(P) = 4 - 3Р, S(P)=2+2P. Побудувати схематично графік. Описати динаміку росту випуску продукції і знайти обсяг продукції, виробленої галуззю за час t=10 років, якщо ціна Р одиниці продукції становить 10.3 грош. од., сума інвестицій пропорційна доходу з коефіцієнтом пропорційності m=0.3, підвищення швидкості випуску продукції пропорційне збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності l=6. Відомо, що в початковий момент часу t0 обсяг продукції становив Q0 = 6 од. Розв'язати задачу 272, якщо t = 11, Р = 10, т = 0.2, l = 8, Q0 = 60. Розв'язати задачу 272, якщо t = 2, Р = 6, т = 0.6, l = 4,Q0 = 50. Розв'язати задачу 272, якщо t = 5, Р = 5, т = 0.5, l = 2, Q0 = 40. Описати динаміку цін, якщо функції попиту і пропозиції мають вигляд Q(P) = 8-4P, S(P) = 2 + 6P і збільшення ціни прямо пропорційне різниці попиту і пропозиції з коефіцієнтом 4, причому у початковий момент часу t0 ціна Р(t0)=2. Побудувати схематично графік. Нехай попит і пропозицію на товар відображено функціями Q(P)=4P'-2Р+39, S(P) = 44P'+2P-1, причому у початковий момент часу t0 ціна P(t0)=1. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти закон зміни ціни залежно від часу. Нехай попит і пропозиція на товар визначаються співвідношеннями Q(P)=2P"-P'-P+15, S(P)=3P"+P'+P+5, де Р -ціна на товар; Р' - тенденція формування ціни; Р"- темп зміни ціни. Відомо, що у початковий момент часу Р(0) = 6, Q(0) = S(0)=10. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти залежність ціни від часу. Знайти функції, еластичність яких є стала величина. Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(P) = P"-4P'-P+17, S(P)=2P"+P’+3P+5, Р(0) = 3, Q(0) = 11, Q(t) = S(t). Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(P) = P"-4P'-2P+30, S(P)=2P“+2P’+6P-18, P(0) = 6, Р(0) = 14, Q(t) = S(t). Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(Р)=Р"-4Р'-4Р+38, S(P)=2P"+4P'+12P-10, Р(0) = 3, Q(0) = 26, Q(t) = S(t). Швидкість знецінювання обладнання внаслідок його зносу пропорційна в кожний момент часу його фактичній вартості з коефіцієнтом пропорційності к. Початкова вартість обладнання - А0. Якою буде вартість обладнання після використання його впродовж t років? Знайти функцію загальних витрат виробництва TC(Q), якщо загальні і граничні витрати задовольняють рівнянню МТС -TC+Q=0 і в початковий момент часу ТС(0) = 0. Знайти функцію загальних витрат виробництва TC(Q), якщо відомо, що граничні витрати для всіх значень Q пропорційні середнім витратам з коефіцієнтом пропорційності к і в початковий момент часу TC(1)=1. .Знайти цю функцію, якщо її графік проходить через точку М(1;2). . Знайти цю функцію, якщо її графік проходить через точку М(1;1). знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв'язок. Для виробничої функції F(K,L) = aK + bL знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв'язок. знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв'язок. = 2, норма інвестицій m = 0,5 і відомо, що у початковий момент часу обсяг продукції становив Q0 = 5. = 2, норма інвестицій т = 0,5 і відомо, що у початковий момент часу обсяг продукції становив Q0 = 50. Знайти і побудувати інтегральні криві рівняння (8.5) у випадку, коли ціна на продукцію обернено пропорційна кількості випущеної продукції. у початковий момент часу обсяг продукції становить Q0=30. i у початковий момент часу обсяг продукції становить Q0 = 50. - споживання, к = 0,5 - норма акселерації. Знайти величину національного доходу, якщо Y(0)=10. Побудувати схематично графік. Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q(P) = 3P"-P'-2P+18, S(P)=4P"+P'+3P+3, P(0) = 4, Q(0) = 16, Q(t) = S(t).

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020