КУРСОВА РОБОТА
на тему:
“Проходження випадкового процесу через типовий радіотехнічний пристрій
Зміст
Вступ
Розрахункова частина:
Обчислення характеристик випадкового процесу на виході лінійної системи;
Обчислення характеристик випадкового процесу на виході нелінійного
безінерційного перетворювача;
Обчислення характеристик випадкового процесу на виході типового
радіотехнічного пристрою.
Висновки;
Додатки;
Перелік використаної літератури.
Зміст.
Вступ
, яка в будь-який момент часу t може набирати різні значення із заданим
розподілом ймовірностей.
У даному випадку ми маємо випадковий процес, що діє на типовий
радіотехнічний пристрій, який складається з двох лінійних систем (вхід
та вихід) і одної нелінійної (безінерційний обмежувач).
Розглядаючи перетворення випадкових сигналів лінійними системами, можна
користуватися апаратом диференціальних рівнянь, імпульсними
характеристиками та комплексними частотними характеристиками систем.
У загальному випадку, коли цікавляться як нестаціонарним, так і
стаціонарним режимами роботи системи і початкові умови в системі не
нульові, доцільно використовувати апарат диференціальних рівнянь. За
нульових початкових умов зручніше користуватися імпульсними
характеристиками. З комплексними частотними характеристиками звичайно
оперують в тому випадку, коли цікавляться лише стаціонарним станом
лінійної системи.
Типові задачі, зв’язані з перетворенням випадкових процесів лінійними
системами, можна розбити на дві групи:
Задачі, які вимагають визначення математичних сподівань, кореляційних
функцій та спектральних густин процесів на виході систем;
Задачі, які потребують визначення функцій розподілу вихідного
випадкового процесу.
є гаусівськім, не існує метода, який би дозволяв безпосередньо
знаходити густину розподілу ймовірностей на виході системи.
Для лінійної системи принцип суперпозиції дозволяє звести дослідження
реакції системи на будь-яку дію до дослідження реакції системи на типову
дію. Як типову звичайно використовують імпульсну дію у вигляді
дельта-функції або гармонічного коливання.
в той самий момент часу.
– деяка нелінійна функція
В загальному випадку принципове розв’язування задачі за нелінійних
безінерційних перетворювань випадкових процесів дається відомою
властивістю інваріантності диференціала імовірності.
Але, зважаючи на складності безпосереднього обчислення густин розподілу
імовірностей, часто обмежуються знаходженням простіших, але менш повних
статистичних характеристик вихідного процес, наприклад, математичного
сподівання та кореляційної функції. Щодо різних видів нелінійних
перетворювань для визначення цих характеристик можна відмітити кілька
методів:
поліноміальне перетворення;
кусково-розривні і трансцендентні перетворення.
Обчислення характеристик випадкового процесу на виході лінійної системи.
:
;
;
;
.
1. Математичне сподівання стаціонарного вихідного процесу обчислюємо за
таким співвідношенням:
Нехай маємо такі параметри елементів даної системи:
Тоді
Маємо таке значення математичного сподівання на виході системи:
Приймаючи, що математичне сподівання на вході системи нульове, на виході
лінійної системи математичне сподівання теж буде дорівнювати 0.
обчислюємо згідно із таким виразом:
, можна записати:
Далі розіб’ємо цей інтеграл на ряд більш простих інтегралів і тоді можна
буде записати так:
Тоді запишемо:
Тоді остаточний інтеграл можна записати у такому вигляді:
Вище приведений інтеграл є занадто громіздким, і для того, щоб уникнути
помилок при його розв’язку, розіб’ємо його на 4 окремих інтеграла, сума
яких складає вище приведений інтеграл. Потім починаємо інтегрувати кожну
його частину окремо:
Тоді кореляційна функція буде мати такий вигляд після приведення
чотирьох нещодавно розв’язаних інтегралів:
Це ми отримали вираз для кореляційної функції на виході лінійної
системи.
Підставляючи усі сталі у вираз для кореляційної функції, отримаємо такий
вираз:
3. Тепер знайдемо дисперсію на виході системи:
властивість парності кореляційної функції, можна записати:
Обчислення характеристик випадкового процесу на виході нелінійного
безінерційного перетворювача.
У даному випадку ми маємо нелінійну систему із такими характеристиками:
Вхідними параметрами у даному випадку є такі величини:
;
.
Нам потрібно визначити на виході системи такі параметри: математичне
сподівання, кореляційну функцію процеса на виході, а також його
дисперсію..
Згідно з визначенням математичного сподівання на виході обмежувача:
Останній інтеграл розбивається на три інтеграла:
Тоді сумарне значення мат. сподівання на виході безінерційного
симетричного обмежувача запишемо так:
можна побачити, що математичне сподівання на виході нелінійної системи
буде нульовим.
Тепер приступимо до розрахунку кореляційної функції на виході
обмежувача. Для розрахунку кореляційної функції скористаємось такою
формулою:
обмежувача отримуємо:
Так як в нас використовується нормована кореляційна функція, знайдемо її
значення заздалегідь:
Тепер безпосередньо почнемо шукати кореляційну функцію процесу на виході
обмежувача:
З цієї формули ми зразу ж можемо знайти математичне сподівання на виході
нелінійної системи (нехай S=0.5)
Тепер вибираємо значення коефіцієнтів а, обмежимося трьома значеннями
цих коефіцієнтів (враховуємо те, що ми маємо симетричне обмеження):
Тоді запишемо математичний вигляд кореляційної функції на виході
симетричного обмежувача:
Це ми розрахували параметри характеристик випадкового процесу на виході
нелінійного безінерційного перетворювача. Тепер наша задача полягає у
розрахунку лінійної системи, що є вихідною у нашому типовому
радіотехнічному пристрої. Вихідні параметри нелінійної системи будуть
вхідними параметрами для другої лінійної системи
Обчислення характеристик випадкового процесу на виході типового
радіотехнічного пристрою.
Маємо такі вхідні параметри:
;
Нам потрібно знайти такі параметри системи:
;
Розрахуємо вихідне значення математичного сподівання. Математичне
сподівання стаціонарного вихідного процесу обчислюємо за таким
співвідношенням:
Знаходити інтеграл безпосередньо в даному випадку недоцільно, так як
одним із співмножників є величина вхідного математичного сподівання. Ця
величина вхідного математичного сподівання дорівнює нулеві, в зв’язку з
чим добуток вхідного математичного сподівання на інтеграл буде теж
дорівнювати нулеві. Тобто, математичне сподівання на виході типового
радіотехнічного пристрою:
обчислюємо згідно із таким виразом:
Так як вище приведений інтеграл є доволі громіздким доцільно буде
розбити його на декілька більш простих інтегралів, знайти ці інтеграли,
а потім просумувати результати інтегрування.
Тепер будемо знаходити другий інтеграл. Його для більш простого і
точного інтегрування доцільно буде теж розбити на декілька інтегралів
(інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів).:
, то зважаючи на цю умову знайдемо значення усіх коефіцієнтів:
, тоді знайдемо параметри кола, у відповідності з припущенням:
. Тепер розрахуємо ще деякі елементи кола:
до знайденого загального виразу кореляційної функції на виході
пристрою. Тоді отримаємо такі значення:
Тоді кореляційна функція набуде такого вигляду:
Тепер наша задача полягає у знаходженні дисперсії на виході системи.
Тепер знайдемо спектр вхідного сигналу. Відомо, що енергетичний спектр
та кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу зв’язані між
собою формулами Хінчіна-Вінера. Використовуючи їх, а також
використовуючи властивість парності кореляційної функції, можна
записати:
Це ми знайшли енергетичний спектр сигналу на виході пристрою. Будуємо
тепер графіки вихідних кореляційної функції (рис.3.1) та енергетичного
спектру сигналу (рис.3.2).
Висновки
В даній курсовій роботі ми дослідили проходження випадкового процесу
через типовий радіотехнічний пристрій, який складався з двох лінійних
(вхід та вихід) і однієї нелінійної системи (безінерційний симетричний
обмежувач). Як видно і розрахунків, а також із графічних побудов, то
параметри сигналу після проходження усіх ланок змінюють свої параметри.
Якщо проаналізувати два графіка – вхідний, та вихідний енергетичний
спектр процесу – то можна побачити, що спектр на виході набагато менший
спектра на вході. Це свідчить про те, що наш пристрій понизив енергію
вхідного сигналу, тобто понизив енергію завади. Тим самим, якщо на вхід
нашого пристрою діє як випадковий процес, так і якась корисна дія, то на
виході ми отримаємо значно менший рівень завад, ніж на вході, тобто,
відбувається елементарна фільтрація завад, про що свідчать графічні
побудови.
Перелік використаної літератури:
Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника:
Примеры и задачи. Учебное пособие для вузов/Под ред.В.И. Тихонова. – 2-е
издание, переработанное и дополненное. М. Сов.радио, 1980.
Тихонов В. И.. Статистическая радиотехника. – Сов.радио, 1966.
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей: основные понятия,
предельные теоремы, случайные процессы. – 2-е издание, переработанное, –
М. Наука, 1973
Тихонов В. И. Воздействие электрических флуктуаций на нелинейные
радиотехнические устройства: Докт.дисц./ВВИА им. Н. Е. Жуковского.
-М.-1956.
Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической
статистики: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1971.
рис.1.1
рис.1.2
рис.3.1
рис.3.2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
