Анализ и проведение статистических расчетов (курсовая)

Министерство высшего и среднего образования РФ

Московская Государственная академия приборостроения и информатики

Курсовая работа

по предмету теория измерений

на тему: “Анализ и проведение статистических расчетов ”

Выполнил студент III- курса

Алещенко Денис

Руководитель: Смыков И.Т.

Углич 1999 г.

1. Задание предполагает проведение трех серий экспериментов, предварительную обработку результатов наблюдений, корректировку данных и статистические расчеты .

• На плоской горизонтальной поверхности укладывается лист бумаги с первым квадрантом координатной сетки и обозначается точкой «А», имеющей координаты (X,Y) или (R, j) .
• Проводятся три эксперимента :

Эксперимент №1 :

С  расстояния около полуметра на первый лист бумаги в направлении точки А(x, y) сбрасывается заостренный предмет с целью попадания в эту точку. Координаты отметины записываются в таблицу №1.

A(x,y)=A(60,60)                                                       _{таблица №1.}

Эксперимент №2 :

С  расстояния около одного метра на второй лист бумаги в направлении точки А(X,Y) сбрасывается заостренный предмет с целью попадания в эту точку. Координаты отметины записываются в таблицу №2.

A(R,j)=A(60,60)                                                                             _{таблица  №2.}

Эксперимент №3 :

С  расстояния около двух метров на третий лист бумаги в направлении точки А(X,Y) сбрасывается заостренный предмет с целью попадания в эту точку. Координаты отметины записываются в таблицу №3.

A(X,Y)=A(60,60)

            _{таблица №3.}

2.Обработка и анализ полученных данных.

Рассчитать для переменных (X,Y) и (R, j) для всех серий среднее арифметическое отклонение от среднего, оценку дисперсии , СКО.

2.1.1. Для Эксперимента №1:

среднее арифметическое:

X_x=60,4    X_t=64,4

среднее арифметическое отклонение от среднего:

                                                                                  _{таблица №4.}

оценка дисперсии:

D(x_i) _X=10,8     D(x_i)_Y =11,3

средне квадратическое отклонение:

s_X=3,28   sy=3,36

2.1.2.  Для Эксперимента №2:

среднее арифметическое:

X_R =87,5        Xj=47,95

среднее арифметическое отклонение от среднего:

_{таблица №5.}

оценка дисперсии:

D(x_i)_R=411,7    D(x_i)_j= 102,3

средне квадратическое отклонение:

s_К =20,29          s_f =10,11

2.1.3. Для Эксперимента №3:

среднее арифметическое:

X_X=62,02      X_Y=75,72

среднее арифметическое отклонение от среднего:

_{таблица №6}.

оценка дисперсии:

D(x_i) _X=247,77    D(x_i)_Y =320,88

средне квадратическое отклонение:

_X=15,7              y=17,27

2.2 Провести отсев промахов для всех серий.

2.2.1 Для Эксперимента №1:

По критерию Шовенье :

при n=5 , К_Ш=1.65, s_X=3,28 sy=3,36

К_Шs_X =1,65*3,28= 5,577

К_Шs_Y =1,65*3,36 = 5,544

промахов необнаружено.

2.2.2 Для Эксперимента №2:

По критерию Шарлье :

при n=20 , К_Ш=1.99, s_К =20,29          s_f =10,11

К_Шs_К =1,99*20,29= 40,3771  т.о. №5   и   №12  (табл.№5) -промах

К_Шs_f =1,99*10,11= 20,1189 т.о. №12  (табл.№) -промах

Проводим  ещё  одну  корректировку оценок(пересчитываем!!!).

среднее арифметическое:

X_R =87,6            X_f=48,8

среднее арифметическое отклонение от среднего:         D_i= x_i-x

                                  _{таблица №7.}

оценка дисперсии:

D(x_i)_R=247,54     D(x_i)_f=83,08

средне квадратическое отклонение:

s_R =15,73     s_f =9,11

По критерию Шарлье :

при n=20 , К_Ш=1.99, s_R =15,73     s_f =9,11

К_Шs_R =1,99*15,73= 31,30

К_Шs_f =1,99*9,11=18.12    т.о. промахов нет!!!!!!!

• Для Эксперимента №3:

По критерию Шарлье :

при n=50 , К_Ш=2.32   _X=15,7             y=17,27

К_Шs_Ч =2.32*15,7= 36,424   т.о. №15 (табл.№6) -промах

К_Шs_Н =2.32*17,27= 40,066  -промахов нет.

Проводим  ещё  одну  корректировку оценок(пересчитываем!!!).

среднее арифметическое:

X_X =62,77            X_Y=76,04

среднее арифметическое отклонение от среднего:         D_i= x_i-x

_{таблица №8.}

оценка дисперсии:

D(x_i) _X=224,29     D(x_i)_Y=322,28

средне квадратическое отклонение:

s_X=14,82     s_Y=17,65

По критерию Шарлье :

при n=50 , К_Ш=2.32   s_X=14,82     s_Y=17,65

К_Шs_X =2.32*14,82= 34,3824

К_Шs_Y =2.32*17,65= 40,948   т.о. промахов нет.

2.3 Способом последовательных  разностей  определить  наличие  систематических   погрешностей   для  всех  серий.

Если  в  процессе  измерений  происходило  смещение  центра  группирования  результатов  наблюдений , т.е.  имелась  временная  систематическая   погрешность , величина  дисперсии   (D )  даёт  преувеличенную  оценку  дисперсии . Величина A_q=D_i(x_i)/ D(x_i)           называется  критерием  Аббе .

Если  полученное  значение  А< А_q , то  существует  систематическое  смещение  результатов  измерений  численное  значения  критерия  Аббе.

2.3.1 Для Эксперимента №1:

D_i(x_i)_X=13,25                                                                   D(x_i) _X=10,8

D_i(x_i)_Y =5,25                                                                     D(x_i) _Y =11,3

A_qX=13,25/10,8= 1,22

A_qY=5,25/11,3= 0,46

                                                                                              _{таблица №9}.

2.3.2 Для Эксперимента №2:

D_i(x_i)_R=113.972                                                  D(x_i)_X=247,54

D_i(x_i)_f= 84.528                                                    D(x_i)_Y=83,08

A_qX=113,9/247,54=0,46

A_qY=84,528/83,08=1,01

_{таблица №10}.

2.3.3 Для Эксперимента №3:

D_i(x_i)_X=231.875                                                        D(x_i) _X=224,29

D_i(x_i)_Y =218.458                                D(x_i)_Y=322,28

A_qR=231,875/224,29= 1,033

A_qj=218,458/322,28= 0,677

_{таблица №11.}

2.4 В  третьей  серии  разбить  все  результаты   на  5  групп   и  выявить  наличие  оценок  серии.

D_i(x_i)_X=253.278                                 D(x_i)_X=506.556

D_i(x_i)_Y =409.278                            D(x_i)_Y=818.556

A_qX=253.278/506.556= 0,5 При погрешности 0,05 существует смещение

A_qY=409.278/818,556= 0,5 При погрешности 0,05 существует смещение

D_i(x_i)_X=181.5                                            D(x_i) _R=363

D_i(x_i)_Y=35.071                                           D(x_i) j=70.143

A_qX= 5,175 При погрешности 0,05 существует смещение

A_qY= 5,1752 При погрешности 0,05 существует смещение

D_i(x_i)_X=405.444                            D(x_i) _X=810.889

D_i(x_i) _Y =586.056                           D(x_i) _Y=1172

A_qX= 0,499 При погрешности 0,05 существует смещение

A_qY= 0,50 При погрешности 0,05 существует смещение

D_i(x_i)_R=124.778                D(x_i)_X=249.556

D_i(x_i) j =109.667              D(x_i)_Y=219.333

A_qR= 0,50 При погрешности 0,05 существует смещение

A_qj= 0,50 При погрешности 0,05 существует смещение

D_i(x_i)_X=253.778                            D(x_i) _X=507.556

D_i(x_i)_Y=253.722                             D(x_i) _Y=507.444

A_qR= 0,5 При погрешности 0,05 существует смещение

A_qj=0,5 При погрешности 0,05 существует смещение

Ансамбль  значений  разбивается   по  правилу   Штюргеса  с  округлением   до  целого  нечётного  числа.  В  каждом  интервале  определяется  количество  (частота)        попавших  значений  и  строится  вариационный  ряд  в  виде  таблицы.

            _{таблица №12.}

внутрисерийная  дисперсия:

D(x_i)_X=198.063     D(x_i)_Y=328.521

средне квадратическое отклонение:

s_X = 14,073         s_Y = 18,1251

межсерийная    дисперсия:

D(x_i) _X=9507/4=2377     D(x_i)_Y=15769/4=3942

s_X = 48,75           s_Y = 62,78

• Ансамбль результатов эксперимента  по  каждой  серии   разбить  на  интервалы, определить абсолютную, относительную и относительные  накопленные  частоты.

Для эксперимента №1 :

X(мм):57,57,61,63,64

Y(мм):60,62,65,67,68

– абсолютная  частота – количество попаданий в интервал :

n_абс1X=2                                                   n_абс1Y=1

n_абс2X=2                                                   n_абс2Y=2

n_абс3R=1                                                   n_абс3Y=2

– относительная частота :

n_отн1X=0,4                                                n_отн1Y=0,2

n_отн2X=0,4                                                n_отн2Y=0,4

n_отн3X=0,2                                                n_отн3Y=0,4

– относительная накопленная частота :

n_{отн.накX}=1                                                n_{отн.накY}=1

Для эксперимента №2 :

К:60,64,68,70,77,77,82,83,92,93,96,99,101,101,102

f:35,43,43,43,44,49,49,51,51,52,53,55,56,57,

A(R,j)=A(84,45)

• абсолютная частота – количество попаданий в интервал :

            n_абс1R=2           n_абс2R=2           n_абс3R=4           n_абс4R=2           n_абс5R=2           n_абс6R=3

относительная частота :

n_отн1R=0.1, n_{отн 2R}=0.1, n_{отн 3R}=0,2, n_{отн 4R}=0,1 n_{отн 5R}=0,1 n_{отн 6R}=0,16

относительная накопленная частота :

n_{отн.накR}=0.76,

абсолютная  частота – количество попаданий в интервал :

n_абс1j=1          n_абс2j=4          n_абс3j=5          n_абс4j=5          n_абс5j=3                     

относительная частота

n_отн1j= 0,05,   n_{отн 2}j=0.2, n_{отн 3}j=0.27, n_{отн 4}j=0.27, n_{отн 5}j=0,16

относительная накопленная частота :

n_{отн.нак}j= 0,95

Для эксперимента №3 :

A(X,Y)=A(60,60)

X: 32,35,35,41,45,48,48,49,49,51,54,55,55,55,55,55,56,56,56,58,58,59,59,60,60,61,61,62,63,63,66,67,67,68,70,71,71,75,75,76,77,78,83,84,85,88,96,100

Y:

36,38,39,45,45,49,55,59,60,60,60,61,67,67,70,70,71,73,74,75,75,75,76,80,80,80,80,81,82,83,83,83,84,84,84,88,89,90,90,91,91,92,98,100,101,103,109,110

абсолютная  частота – количество попаданий в интервал :

n_абс1X=3           n_абс2X=2           n_абс3X=6           n_абс4X=17         n_абс5X=7                                   n_абс6X=5           n_абс7X=4            n_абс8X=1           n_абс9X=1

– относительная частота :

n_отн1X= 0,06     n_{отн 2X}= 0,04    n_{отн 3X}= 0,12    n_{отн 4X}= 0,32    n_{отн 5X}= 0,14                            n_отн6X=0,102    n_{отн 7X}= 0,081 n_{отн 8X}= 0,02 n_{отн 9X}= 0,02

относительная накопленная частота :

n_{отн.накX}= 0,903

абсолютная  частота – количество попаданий в интервал :

n_абс1X=3           n_абс2X=3           n_абс3X=2           n_абс4X=7           n_абс5X=8                                   n_абс6X=10 n_абс7X=10 n_абс8X=2            n_абс9X=3          n_абс9X=2

– относительная частота :

n_отн1Y= 0,061   n_{отн 2Y}= 0,061  n_{отн 3Y}= 0,04    n_{отн 4Y}= 0,14    n_{отн 5Y}= 0,163

n_отн6Y= 0,2       n_{отн 7Y}= 0,2 n_{отн 8Y}= 0,04 n_{отн 9Y}= 0,061 n_{отн 9Y}= 0,04

относительная накопленная частота :

n_{отн.накY}= 0,98

• Провести проверку нормальности  распределения    результатов   по  полученным  данным.

Для выборки, имеющей приближенно нормальный вид должно выполняться соотношение : , где :

V_ср – среднее абсолютное отклонение от среднеарифметического

n – число наблюдений

D(x_i) – несмещенная оценка дисперсии

Для эксперимента №1 :

V_срX =0                     V_срY=0

D(x_i) _X=10.8     D(x_i) _Y =11.3

Нормальность  распределения подтверждается и отпадает необходимость пересчитывать  исходные  данные  и   приводить  их к  нормальному  виду.

Для эксперимента №2 :

V_срR =0                     V_ср.j=0

D(x_i)_X=247,77    D(x_i)_Y=320,88

Нормальность  распределения подтверждается и отпадает необходимость пересчитывать  исходные  данные  и   приводить  их к  нормальному  виду.

Для эксперимента №3 :

V_срX =128/49=2.61               V_срY=76.04/49=1.55

D(x_i) _X=224.29     D(x_i) _Y=322.28

Нормальность  распределения подтверждается и отпадает необходимость пересчитывать  исходные  данные  и   приводить  их к  нормальному  виду.

2.8  Учитывая, что  в  первой  серии  проводились  всего  5  наблюдений,   определить  коэффициент  Стьюдента, рассчитать  оценки  доверительные  интервалы  при  уровне значимости  0,5%.

n=5

a=0,995

X_X =60.4        X_Y=64.4

s = 0,005

Определяем среднеквадратическую погрешность серии измерений :

Задаваясь значением a из таблицы находим значение t _a ,   t _a=

2.10  Во  второй  серии  проводились   косвенные  измерения  пересчитать  оценки   в  размерность  соответствующую  первой  и  третьей  сериям.

X = Rcos(j)

Y = Rsin(j)

_{таблица №13.}

среднее арифметическое:

X_X= 55,88            X_Y= 67,27

среднее арифметическое отклонение от среднего:         D_i= x_i-x

_{таблица №14}.

оценка дисперсии:

D(x_i) _X= 70.588       D(x_i)_Y = 338.235

средне квадратическое отклонение:

s_X =  8,40            s_Y =  18,39

2.11Оценить  равноточность    всех  серий   эксперимента   Рассчитать  оценки   результатов   наблюдений  для  эксперимента  в целом.

Для каждого ряда значений, полученных при проведении n₁ и n₂ наблюдений вычисляют оценки дисперсий. Затем вычисляют критерий Романовского :

где :

Результаты наблюдений n₁ и n₂ считаются равноточными, если критерий Романовского меньше трех, т.е. R < 3.

Для эксперимента №1 :

q_X = 0,5           s[ q ]=0.5

q_Y = 0,5

R=[ 0,5 -1]/0.5= -1

Для эксперимента №2 :

D₁(x_i)_R=411,7    D₁(x_i)_j=102.3

D₂(x_i)_R=247,54     D₂(x_i) _j=83,08

q_X = 1.56                    s[ q ]=0.503

q_j = 0,972

R_R=0.982

R_j= -0.056

Для эксперимента №3 :

D₁(x_i) _X=247.77    D₁(x_i) _Y=320.88

D₂(x_i) _X=224,29     D₂(x_i) _Y=322,28

q_X =1.037                   s[ q ]=0,293

q_Y =0.935

R_X= 0.074

R_Y=-0.129

Вывод :

Результаты наблюдений считаем равноточными, т.к. критерий Романовского меньше трех, т.е. R < 3.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter