.

Задача обработки решеток (реферат)

Язык: русский
Формат: курсова
Тип документа: Word Doc
0 1063
Скачать документ

Содержание

Введение 3

1.1 Задача обработки решетки 5

1.2 Продолжаемость 9

1.2.1 Спектральные основы и совместные множества 9

1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление 10

1.2.3 Oa?aeoa?enoeee i?iaeieaeaaiinoe 11

1.3 Граница и внутренняя часть 15

1.3.1 Функции спектральной плотности мощности 15

1.3.2 Дискретизация спектральной основы 16

1.4 Метод Писаренко 18

1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков 18

1.4.2 Вычисление оценки Писаренко 22

Резюме 25

2.1. Интегральное уравнение для открытого резонатора с осесимметричным
диском 26

2.2 Интегральное уравнение открытого резонатора с диэлектрическим
диском, несоосным с зеркалами [72] 32

Заключение, перспективы 39

3 Метод СВЧ контроля параметров полимеров 40

Литература 45

ПриложениЯ 47

Приложение А 48

Приложение В 50

Приложение С 52

Иллюстрации 54

Рассматривается вкратце задача обработки решеток и формулируется задача
абстрактной спектральной оценки. Эта задача включает оценку многомерного
спектра мощности частотно-волнового вектора по измерениям корреляционной
функции и знанию спектральной основы.

Исследование согласующихся по корреляции спектральных оценок приводит к
вопросу продолжаемости : существует ли любой положительный спектр на
спектральной основе, который в точности согласует данное множество
корреляционных выборок? Для ответа на этот вопрос разработана
математическая структура, в рамках которой следует анализировать и
разрабатывать алгоритмы спектральной оценки.

Метод спектральной оценки Писаренко, который моделирует спектр в виде
импульсов плюс шумовая компонента, распространяется со случая временной
последовательности на более общий случай обработки решеток. Оценку
Писаренко получают как решение линейной задачи оптимизации, которая
может быть решено при использовании линейного алгоритма
программирования, к примеру, симплекс – метода.

Введение

Подобно тому, как спектр мощности стационарной временной
последовательности описывает распределение мощности в зависимости от
частоты, спектр мощности частотно-волнового вектора однородного и
стационарного волнового поля описывает распределение мощности в
зависимости от волнового вектора и временной частоты или, что
эквивалентно, в зависимости от направления распространения и временной
частоты. Спектр частота – волновой вектор или информация, которая может
быть получена из него, является важной во многих применениях. В
радиоастрономии и гидролокации могут быть основаны на информации,
содержащейся в оценке спектра мощности. Следовательно, оценка спектра
мощности по данным решетки датчиков представляет больной практический
интерес.

Раздел II содержит краткий обзор волновых нолей и решеток датчиков, а
также введение в задачу спектральной оценки. Рассматриваются
альтернативные математические представления спектров мощности, как мер и
как функций спектральной плотности. В разделе II вводится термин
корешетки, множества разделений вектора и временных запаздываний, для
которых доступны корреляционные выборки, и спектральной основы, области
частоты-пространства волнового, вектора, содержащей мощность. к которой
чувствительны датчики. Никакой особой структуры не предполагается как и
для корешетки. Так и для спектральной основы. Раздел II завершается
Формулировкой абстрактной задачи: оценкой спектра мощности при условии
того, что он положителен на спектральной основе и равен нулю вне ее, а
также обладает некоторыми известными корреляциями для разделений в
корешетке. Хотя и проще многих задач, встречаемых на практике, ключевые
характеристики, которые отличают задачу решетки, от задачи спектральной
оценки мощности временной последовательности, сохраняются :
многомерность частотной переменной и неравномерность корешетки.

При условии этой формулировки проблемы естественно рассматривать
спектральные оценки, которые согласуются с известной информацией:
спектральные оценки, положительные на спектральной основе и равные нулю
вне её, в точности согласующиеся с измеренными корреляциями,
.исследование таких, согласованных с корреляцией, спектральных оценок
ставит два главных вопроса. Первый и более фундаментальный вопрос
касается существования любой такой оценки. Эта проблема, продолжаемости
имеет глубокие исторические корни [1] и недавно была поднята Дикинсоном
[2] относительно двумерной спектральной оценки по методу максимальной
энтропии, а также является темой некоторых недавних работ Цибенко[3 –
4]. Проблема продолжаемости исследуется в разделе III. Характеризуются
продолжаемые множества корреляционных измерений. Рассматривается также
их зависимость от спектральной основы и эффект дискретизации
спектральной основы. В попытке ответить на вопрос о продолжаемости
разработана необходимая математическая структура, позволяющая
анализировать специальные методы спектральной оценки и разрабатывать
алгоритмы для их вычисления.

Вторым поднятым вопросом является вопрос единственности:

имеется ли единственная согласованная с. корреляцией спектральная оценка
и, если нет, как выбрать нужную ? Действительно, единственная оценка не
существует, за исключением весьма специальных случаев; задача метода
спектральной оценки состоит в выборе одного из ансамбля спектров,
удовлетворяющего согласованию корреляции, положительности и ограничениям
спектральной основы. Раздел IУ касается метода Писаренко [5] , который
включает моделирование корреляционных измерений в виде суммы двух
компонентов. Один, шумовой компонент известной спектральной формы, но
неизвестной амилитуды, делается настолько большим, насколько это
возможно без превращения второго компонента в непродолжаемый. Показано,
что спектральная оценка по методу Писаренко решает линейную задачу
оптимизации. Решение этой задачи оптимизации будет всегда существовать,
если корреляционные измерения являются продолжаемыми. Показало, что
тактически метод Писаренко тесно связан с вопросом продолжаемости и
алгоритм вычисления оценки Писаренко будет также служить в качестве
теста продолжаемости. Показано, что оценка Писаренко не является всегда
единственной в общем случае, хотя она единственна для случая временной
последовательности, где задача линейной оптимизации сводится к задаче на
собственные значения.

1.1. Задача обработки решетки

[6].

(2.1)

обеспечивает необходимую гибкость для того, чтобы иметь дело с
диапазоном спектральных оснований унифицированным образом и обрабатывать
спектры, которые содержат импульсы: конечная мощность при единственном
волновом векторе.

. В этом представлении

(2.2)

– некоторая фиксированная мера, которая позволяет интерпретировать
выражение /2.2/ в виде многомерной поверхности или объемного интеграла,
возможно взвешенного, над частотно-волновым векторным пространством.

, то возможно определить соответствующую положительную меру путем
требования, чтобы мера подмножества В частотно-волнового векторного
пространства равнялась интегралу функции спектральной плотности по В:

(2.3)

Теперь будет сформулирована простая задача спектральной оценки. Особое
внимание будет уделено моделированию свойств процесса сбора данных,
которые являются общими для многих задач обработки решеток. Эти свойства
включают измерение корреляционной функции при конечном числе
неравномерно распределенных точек и ограничения на область пространства
частоты-воктора волны, в котором может присутствовать мощность.

Каждый из ПИП производит временную функцию, которая является волновым
полем U, подвергнутым выборке в точке пространства. Совокупность
временных функций, образуемых всеми ПИП, выход или отклик решетки,
должна быть обработана с тем, чтобы обеспечить оценку спектра мощности
частоты-волнового вектора. Стохастический характер волнового поля
неизменно приводит к случайным ‘изменениям любой спектральной оценки,
основанной на выходе решетки. Чтобы противодействовать этому эффекту,
спектральные оценки часто базируются на устойчивых статистиках,
получаемых с выхода решетки. Обычным примером такой статистики является
корреляционная оценка, вычисляемая посредством умножения выхода одного
ПИП на задержанный во времени выход второго ПИП с усреднением по
времени. Эта обработка дает в результате оценку корреляционной функции с
временной задержкой, соответствующей запаздыванию во времени и
пространственным разделением, которое является вектором расстояния между
ПИП. Процесс усреднения обеспечивает статистически стабильные оценки
корреляции, что дает в результате статистическую стабильность
спектральной оценки, основанной на этих корреляционных оценках. Важно
отметить, что оценки корреляций доступны только для конечного множества
междатчиковых расстояний и временных задержек [8]. Тема ошибок
корреляционных оценок не будет затрагиваться. Эта. статья касается
скорее свойств множеств истинных корреляционных выборок и спектральных
оценок, основанных на корреляционных выборка.

Предполагается известным, что спектр заключен в ограниченной области
пространства частота-волновой вектор, спектральной основе. Снаружи этой
основы предполагается, что спектр равен нулю. Ограниченная спектральная
основа может естественно возникнуть несколькими путями. Например, в
среде, которая поддерживает скалярные волны, известный источник, среда и
характеристики датчика могут быть использованы для построения
соответствующей спектральной основы. Источник может иметь известную
временную ширину полосы или известную конечную угловую протяженность.
Соотношение дисперсии и затухание в среде ограничивает область
пространства частота-волновой вектор, в которой может присутствовать
мощность. ПИП могут иметь конечную временную полосу могут быть
направленными. Все эти эффекты могут моделироваться посредством
предположения о том, что мощность отсутствует снаружи определенной
области пространства частота-волновой вектор. Известная спектральная
основа, базирующаяся на физике частной задачи, представляет собой важную
априорную информацию, которая может быть использовала в .задаче
спектральной оценки.

Во многих применениях значительно больше данных доступно во временном
измерении, чем в пространственном измерении. В этих случаях удобно
отделить временную переменную посредством анализа Фурье временной
последовательности выхода каждого датчика, а затем произвести раздельную
спектральную опенку волнового вектора для каждой временной частоты путем
использования коэффициентов Фурье в качестве данных для спектрального
оценивателя волнового вектора. Таким образом задача оценки стимулируется
для комплексных данных, даже хотя физические волновые поля имеют

будут опущены.

Простым примером модели спектральной оценки, разработанной выше,
является решетка ПИП, состоящая из одинаковым образом ориентированных
ИП.

.

ИП с диаметром d имеет полосу пропускания, которая грубо описывается
выражением

.

Полагая, что волновое поле удовлетворяет соотношению дисперсии

для однородной, недиспергирующей среды, основанием для спектральной
оценки должна быть полярная шапка, описываемая двумя уравнениями

и показанная на рис.2

Совместным множеством для этой задачи является только множество всех
3-мерных пространственных разделений между ИП в решетке.

1.2 Продолжаемость

В последнем разделе была построена простая модель задачи обработки
решетки: если даны некоторые корреляционные измерения и спектральная
основа, получить спектральную оценку. Естественно использование
известной информации о спектре для ограничения спектральной оценки
требованием того, чтобы она была согласована с измеренными корреляциями,
положительной и ограниченной спектральной основой. Такие, спектральные
оценки называются спектральными оценками согласованными с корреляцией.

Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией подымает
фундаментальный вопрос о существовании. Если задана, конечная
совокупность измеренных корреляций и спектральная основа, то существует
ли по крайней мере одна согласованная с корреляцией спектральная оценка
? Если такая спектральная оценка существует, то о измеренных корреляциях
говорят, что они продолжаемы. /Корреляционная функция, полученная
посредством обратного преобразования Фурье согласованной с корреляцией
спектральной оценки, является подходящим продолжением корреляционных
измерений на все пространственные разделения/. После некоторых
необходимых математических определений мы получим ответ на вопрос о
существовании путем характеризации множества продолжаемых корреляционных
измерений.

1.2.1 Спектральные основы и совместные множества

, т.е. К замкнуто и ограничено. Предположение относительно компактности
К приводит к некоторым техническим преимуществам: непрерывная функция на
компактном множестве достигает своей нижней и верхней грани. Кроме того,
компактность должна всегда содержаться в физической задаче. Как
обсуждалось в предыдущем разделе, знание источника, среды и
характеристик датчиков может быть использовано для построения
соответствующей спектральной основы.

со свойствами

;

является множеством линейно независимых функций на .

имеет вид

(3.1)

Условие II/ гарантирует, что корреляционные измерения независимы; каждое
измерение дает новую информацию о спектре.

то задача спектральной оценки является известным случаем временной
последовательности и вопрос продолжаемости сводится к известной задаче
тригонометрических моментов [9].

1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление

так и векторное f.

-полиномом P(k) ia E посредством соотношения

(3.2)

-полином./

Внутреннее произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р
полиномиальных коэффциентов будет определяться как

(3.3)

, что cooтветствует выражению соотношению Парсеваля.

1.2.3 Характеристики продолжаемости

, если

(3.4)

:

(3.5)

является выпуклой оболочкой компактного множества

(3.6)

является выпуклой оболочкой компактного множества

Итак, Е – замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат,
генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция
аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для
задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том,
что множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах
простого множества А. Это дает также ясную геометрическую картину
продолжаемости и будет полезно в доказательствах.

Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной
при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта,
что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств,
содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как
полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами
дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется
посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества

(3.7)

, т.е. q – член конуса Р. Наименьшее полупространство, содержащее Е
для такого q соответствует выбору с = 0. Итак,

(3.8)

или, словами, следующее.

для всех положительных p.

Таким образом, положительные полиномы естественно имеют место в задаче
продолжаемости, поскольку они определяют гиперплоскости основы множества
Е продолжаемых векторов корреляции. На языке функционального анализа
теорема о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11],
просто констатирует, что Е и Р – положительные сопряженные конусы.[10].
Эта теорема имеет важное следствие относительно перемещения простой
характеристики Р, в терминах положительности, на характеристику Е. Хотя
введение спектральной основы в рассматриваемую задачу является новым, по
существу та же характеристика продолжимости была первоначально
использована Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].

Рисунок 4 демонстрирует зависимость Е от спектральной основы. Существуют
две точки зрения на эту зависимость. Прямая точка зрения отмечает тот
факт, что Е является выпуклым конусом, генерированным А; поскольку К
уменьшилось, А сжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3. Косвенная точка
зрения включает ограничения; множество К ограничивает множество Р
посредством условия о положительности, а множество Р ограничивает
множество P посредством теоремы продолжимости. Итак, когда К сжимается,
Р растет, и Е сжимается.

Для случая временной последовательности теорема о продолжимости сводится
к тесту положительной определенности теплицевой матрицы, образованной из
корреляционных выборок. Следовательно, о продолжимости можно говорить
как об общем аналоге положительной определенности.

.B этом случае, проблема продолжимости сводится к проблеме
тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо в общем
случае, для случая временной последовательности, как следует из
фундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть
факторизован в виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического
полинома

.

было положительным для всех полиномов сводится к требованию
положительной определенности теплицевой формы, соответствующей
корреляционным измерениям.

1.3 Граница и внутренняя часть

Необходимо будет делать различие между границей и внутренней частью
множеств Е и Р. Рассмотрение метода Писаренко в разделе 17, к примеру,
включает векторы на границах Е и Р. Векторы во внутренней части Е и P
являются важными тогда, когда затрагиваются пункции спектральной
плотности, как например, в методе спектральной опенки по способу
максимальной энтропии [l4].

Граница замкнутого множества состоит из тех членов, которые находятся
произвольно близко к некоторому вектору снаружи множества. Внутренняя
часть замкнутого множества состоит из тех членов, которые не находятся
на границе. .

Граница и внутренняя часть конечного измеримого множества не зависит от
частного выбора нормы вектора [15]. Кроме того, поскольку Р и Е являются
выпуклыми множествами, особенно просто охарактеризовать их внутренний
части и границы.

, состоит из тех полиномов, которые строго положительны на К.

, состоит из тех корреляционных векторов, которые делают строго
положительными внутренние произведения с каждым ненулевым положительным
полиномом.

1.3.1 Функции спектральной плотности мощности

, которая определяет интеграл

(3.9)

, которое легко удовлетворяется на практике, модно показать, что
векторы, которые могут быть представлены таким образом, являются
векторами, находящимися во внутренней части Е. Кроме того, можно
показать, что любой век

.

Теорема продолжимости для функций спектральной плотности:

-меру, то

равномерно ограничена относительно нуля по К,

то

;

, то

.

Доказательство этой теоремы содержится в Приложении А.

1.3.2 Дискретизация спектральной основы

Многие представляющие интерес спектральные основы содержат бесконечное
число точек. Эти спектральные основы следует часто аппроксимировать в
вычислительных алгоритмах посредством конечного числа точек. Поэтому
важно понимать эффекты такой аппроксимации.

Рассмотрим дискретную спектральную основу

(3.10)

в каждой точке. Итак, обратный интеграл -Фурье сводится к конечной
сумме

(3.11)

Аналогично, для санкций спектральной плотности

(3.12)

может считаться определяющей квадратурное правило для интегралов по
спектральной основе.

, как показано на рис.3. Конусы, соответствующие выборочной основе
имеют /оба/ квадратное поперечное сечение. Границы новых и старых
конусов пересекаются у векторов, соответствующих точкам выборки.

1.4 Метод Писаренко

Писаренко описал метод спектральной оценки временной последовательности,
в котором спектр моделируется в виде суммы импульсов штос компонента
белого шума [5]. Если компонента белого шума выбирается настолько
большой, насколько это возможно, то, как он показал, положение и
амплитуды импульсов, необходимые для согласования измеренных корреляций,
определяются единственным образом. Метод Писаренко будет выведен для
более обшей ориентации ИП и для более общей шумовой компоненты. Связь
метода Писаренко с вопросом продолжимости будет продемонстрирована.

Продолженная оценка Писаренко будет получена как решение задачи
оптимизации, включающей минимизацию линейного функционала над выпуклой
областью, определенной линейными ограничениями.

Решение этой задачи оптимизации существует всегда, но оно может быть не
единственным. Получается задача двойственной’ оптимизации, которая для
случая временных последовательностей приводит к знакомой интерпретации
метода Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра с ограничениями
по методу наименьших квадратов. И опять, решение этой двойственной
задачи существует всегда, но может быть не единственным.

Рассматриваются алгоритмы для вычисления по методу Писаренко. Основная
задача оптимизации записывается, для спектральной основы, состоящее из
конечного числа точек, в воде линейной программы стандартного вида.
Рассматривается применение симплекс-метода для решения этой основной
линейной программы. Представлена двойственная линейная программа.
Рассматриваются также возможность создания вычислительных алгоритмов,
более быстрых, чем симплекс-метод.

1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков

на границе Е

(4.1)

существует и единственно. Рассмотрим однопараметрическое семейство
корреляционных векторов

(4.2)

может ‘быть использовало в качестве теста продолжимости.

следует

(4.3)

продолжаем, приводит к линейной задаче оптимизации

(4.4з)

так что

(4.45)

.

. Следовательно /4.1/ принимает вид

(4.5)

является положительной мерой, которая согласует корреляционные
измерения и которая имеет наиболее возможную шумовую компоненту.

находится на границе Е; следовательно, он дает нулевое внутреннее
произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом

(4.6)

с импульсным спектром. ^ .

имеет единственное спектральное представление, как сумма М или
меньшего числа импульсов[5].

.

в виде суммы не более чем 2М импульсов.

, так что

(4.7)

Доказательство теоремы представления можно найти в Приложении В. Это
представление и, таким образом, решение основной задачи оптимизации
могут быть не единственными. Дальнейшее обсуждение этой проблемы
единственности можно найти в Приложений С.

. Из теоремы продолжимости следует

(4.8)

, то отсюда следует, что

(4.9а)

на множестве

(4.9b)

. Решение этой двойственной задачи может не быть единственным даже в
случае временной последовательности, когда она сводится к задаче
собственного вектора, полученной Писаренко, и приводит к интерпретации
метода Писаренко в виде определения сглаживающего фильтра с
ограничениями по методу наименьших квадратов.

. Как в примере /3.1/

.

соответствует белому шуму единичной мощности,

.

[17].

1.4.2 Вычисление оценки Писаренко

При разработке алгоритмов вычисления оценки Писаренко можно столкнуться
с дискретной спектральной основой

Для такой основы основная задача /4.4/ может быть переписана в виде
линейное программы стандартного вида

(4.11з)

(4.11b)

не равны нулю, так называемое, базовое решение.

Двойственная линейная программа [l5]

(4.12з)

(4.12b)

эквивалентная двойственной задаче /4.9/ для дискретной спектральной
основы, где ограничение

(4.13)

.

Основная задача может быть решена при использовании симплекс-метода
[18]. Применение симплекс-метода к основной задаче приводит в результате
к существенно тому же результату /вычислительному алгоритму/, что и
применение, /одинарного/ метода замены к двойственной задаче [19].
Применив соответствующий метод для избежания зацикливания [20], может
быть получен алгоритм, который гарантирует сходимость к оптимальному
решению за конечное число шагов, хотя его воплощения обычно были
медленными .

Задача чебышевской аппроксимации связана с вычислением оценки Писаренко;
она может быть сформулирована, как минимизация линейного функционала на
выпуклом пространстве, определенном ограничениями типа линейных
неравенств [l6]. Она также решалась с использованием симплекс-метода
/одинарная замена/. Однако для частной задачи чебышевской аппроксимации
непрерывных функций полиномами с одной переменной существует
вычислительный метод, который значительно быстрее симплекс-метода, это
метод многократной замены Ремеза. Хотя были сделаны попытки
распространить этот метод на более общие задачи [21], появившиеся в
результате алгоритмы не достаточно хорошо понятны; в частности, не
доказана их сходимость.

И наконец, задачи недискретной оптимизации, включенные в вычисление
оценки Писаренко, /4.4/ к /4.9/, являются видом, известным, как
полубесконечные программы. Как теоретические, так и вычислительные
аспекты таких программ рассматриваются в сборнике статей, изданных
Геттичем [22].

Резюме

Эта статья связана с тем, что вероятно является наиболее простой и
интересной задачей в обработке антенных решеток; оценкой спектра
мощности с известной основой при условии, что даны некоторые выборки его
корреляционной функции. Хотя и простая, эта задача сохраняет несколько
черт, которые являются общими для многих задач обработки решеток:
многомерные спектры, корреляционные выборки с неравномерными отчетами и
произвольные спектральные основы.

Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией привели к
задаче продолжимости. Были даны две характеристики продолжаемости ста
задача, для случая временных последовательностей, известна как задача
тригонометрических моментов и ее решение включает рассмотрение
положительной определенности корреляционных выборок. Положительная
определенность может поэтому рассматриваться как специальный случай
продолжимости.

Базируясь на теоретической основе, разработанной при решении задачи
продолжаемости, метод Писаренко был распространен со случая временных
последовательностей на задачу обработки решетки. Было показано, что
метод Писаренко тесно .связан с задачек продолжимости. Было показано,
что вычисление оценки Писаренко включает решение линейной задачи
оптимизации. Было показало, что решение этой задачи не является
единственным в общем случае, хотя оно единственно для случая временной
последовательности, где задача линейном оптимизации сводится к задача
собственных значений.

Хотя рассмотренная в этой статье задача спектральной оценки была
разработала для обработки решетки, теоретическая структура и
результирующие алгоритмы должна быть полезными в других многомерных
задачах, например, обработке изображений.

2.1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ
ДИСКОМ

В § 9.3 было получено интегральное уравнение (9.39) для резонатора с
диэлектрическим телом в виде шара. Такая форма диэлектрика хороша для
анализа, но неудобна для практики.

Обычно приходится иметь дело с диэлектрическими образцами более сложной
формы, в частности с диэлектрическим диском. В такой ситуации получить
аналитическое выражение для ядра не удается, однако это не является
препятствием для нахождения решения задачи.

Действительно, ядро уравнения для резонатора с шаром (9.39) — это сумма
ядра для пустого резонатора и дополнительного члена, представляющего
собой поле, рассеянное шаром.

Запишем уравнение для резонатора с диском в аналогичном виде, поскольку
физическая картина явлении одна и та же:

(9.45)

и будем считать ортонормированными.

С первым слагаемым ядра все ясно, базисные функции являются его
собственными, и действие интегрального оператора с таким ядром
эквивалентно умножению на постоянную, являющуюся собственным значением
пустого резонатора:

(9.46)

, а рассеянное поле рассчитывается на поверхности зеркала. При решении
(9.39) расчет рассеянного шаром поля проводится аналитически. Однако ту
же процедуру можно произвести численно, и тогда ограничения на формулу
диэлектрического образца в значительной степени снимаются.

Для расчета рассеянного поля будем применять интегральное уравнение
(3.85). Диэлектрический образец может быть произвольным телом вращения,
в частности диском.

После этих общих соображений рассмотрим процедуру решения (9.45)
последовательно. Функция U(x) ищется в виде

(9.47)

и повторно интегрируем по образующей зеркала. С учетом
ортонормированности базисных функций имеет однородную СЛАУ

(9.48)

– собственные числа уравнения невозмущенного резонатора [см. (9.46)].

Элементы матрицы СЛАУ выражаются интегралами

(9.49)

Последнюю формулу надо понимать как символическую. Она эквивалентна
процедуре расчета рассеянного поля, описанной выше. Остановимся на ней
подробнее.

. Вблизи оси плотность тока, описываемая гиперсфероидальными функциями
(кривые 1), практически не отличаются от экспоненциальной функции,
умноженной на полиномы Лагерра (кривые 2), т. е. от гауссова пучка [68].
Радиальное распределение отличается только масштабом по радиусу.

Таким образом, будем описывать поле в резонаторе вблизи его центра
приближенным .выражением в виде гауссова пучка

(9.50)

где

;

R – радиус кривизны волнового фронта; W — радиус «освещенного пятна» в
пучке. Последняя величина определяется как радиус, на

Рис. 9.6. Сравнение точных и приближенных кривых для гиперсфероидальных
функций:

1 – точные, 2 – приближенные кривые

. Применительно к резонатору – это радиус «пятна» в центре, который
связан с длиной резонатора 1:

(9.51)

1 Как и ранее, все длины предполагаются умноженными на волновое число,
которое здесь соответствует действительной части собственной частоты
невозмущенного резонатора.

Величины W и R медленно меняются вдоль резонатора:

(9.52)

(9.53)

Естественно в резонаторе существуют не один, а два встречных гауссовых
пучка, и вблизи центра поле основной моды в приближении гауссова пучка
имеет вид

(9.54)

, и распределение тока имеет вид1

(9.55);

Для следующего колебания «1, 0, q» поле в центре резонатора
представляется формулой

(9.56)

и на зеркалах

(9.57)

Таким образом, поле в резонаторе без образца, соответствующее различным
модам, в приближении гауссова пучка нетрудно записать. Оно играет роль
первичного поля для задачи возбуждения диэлектрического образца.

. В обозначениях § 3.3 имеем:

(9.58)

этих токов известная. Если объединить токи первой и минус первой
гармоник, она будет такой же, как и у первичных токов (9.58).

, такой же, как и из основного ядра. Этот множитель, как и ранее, дает
основную частотную зависимость. Ядра без него от частоты зависят слабо,
и в них частота полагается равной действительной части собственной
частоты пустого генератора.

отыскиваются точно так же.

Далее решается задача на собственные значения, а затем с помощью формул
(9.40) и (9.41) находятся изменения добротности и сдвиг частоты.

2.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ
ДИСКОМ, НЕСООСНЫМ С ЗЕРКАЛАМИ [72]

При проведении измерений параметров диэлектрика образец в виде диска
часто удобнее расположить несоосно с зеркалами и, в частности, так,
чтобы оси резонатора и диска были перпендикулярны (рис. 9.7). Такое
расположение диска нарушает осевую симметрию задачи. В общем случае
отход от осевой симметрии очень -сильно усложняет решение, поскольку
теряется основное преимущество систем вращения — независимость отдельных
азимутальных гармоник полей.

Рис. 9.7. Геометрия открытого резонатора с несоосными зеркалом и диском

Однако в рассматриваемой задаче анализа полей в высокодобротном открытом
резонаторе несоосность вносит технические, но не принципиальные
затруднения. Действительно, для измерений параметров диэлектрический
образец берется небольшим по сравнению с размерами резонатора. Поэтому
его внесение в резонатор не приводит к переходу к другой моде, а лишь
несколько меняет добротность и резонансную частоту той моды, которая
существовала без диэлектрика. Таким образом, за счет фильтрующих свойств
резонатора новых азимутальных гармоник не появляется и основная
трудность в несоосных системах вращения снимается. Надо лишь следить за
тем, чтобы на других азимутальных гармониках у пустого резонатора не
было поблизости от частоты рабочей моды других высокодобротных мод.

Метод решения задачи остается в общих чертах тем же, что и в предыдущем
параграфе, но с некоторыми усложнениями. Главное из них — это
необходимость введения двух систем координат вращения: одной, связанной
с зеркалами резонатора (ось вращения у}, и второй, связанной с
диэлектрическим телом (ось вращения z) (рис. 9.7). Поле, рассеянное
диском, не обладает теперь осевой симметрией по отношению к зеркалам,
что существенно затрудняет интегрирование по поверхности зеркал,
необходимое при применении метода Галеркина.

Рассмотрим теперь этапы решения задачи. Как и ранее, в методе Галеркина
в качестве базиса используются собственные функции пустого резонатора, а
точнее, их приближенное представление в виде гауссова пучка.

Пусть центр диска по-прежнему совпадает с центром резонатора, а ось его
симметрии повернута на 90° по отношению к оси резонатора (см. рис. 9.6).
Решение начинается с нахождения азимутальных гармоник падающего по
отношению к диску поля и соответствующих ему первичных токов.

Падающее поле вблизи диска выражается функциями (9.54) и (9.56), которые
с учетом изменившейся системы координат запишем так:

(9.59)

(9.60)

. Эквивалентные токи в координатах вращения, связанных с диском, тогда
имеют вид:

(9.61)

Здесь, как и в (9.58), использованы обозначения § 3.3. Переход от
декартовых к координатам вращения дает

(9.62)

.

. Это позволяет представить экспоненты двумя членами ряда Тейлора

. (9.63)

После этого токи записываются в виде

(9.64)

Для следующего типа колебаний «10 q» выражения для первичных токов имеют
тот же вид, но A1=3A, D1=3D, B1=B. Далее поля разлагаются в ряд Фурье.
Поскольку тело невелико, можно ограничиться небольшим числом гармоник.
Используя формулы для коэффициентов ряда Фурье и интегральное
представление функции Бесселя (9.21), получаем выражения для гармоник
падающих токов. При этом в силу симметрии в случае синфазных токов на
зеркалах присутствуют только нечетные гармоники, что соответствует
максимуму поля резонатора в области диска:

(9.65)

Здесь

.

Переход к отрицательным индексам происходит так же, как и ранее.

После вычисления первичных токов используется алгоритм решения задачи
возбуждения тела вращения, основанный на уравнении (3.85). Результат
получается в виде распределения азимутальных гармоник плотностей
эквивалентных токов на поверхности диэлектрика.

в этих координатах имеет вид

. (9.66)

Существенные затруднения вызывает вычисление интегралов (9.49),
определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48).

.

берется численно. Таким путем приходим к интегралу

(9.67)

— гиперсфероидальные функции, которые берутся в приближении гауссова
пучка, т. е. в виде (9.55) и (9.57).

численным методом труда не представляет.

, когда омические потери в образце соизмеримы с потерями резонатора за
счет рассеяния на диске (рис. 9.8,6).

1 Окружность показана на рис. 9.7 тонкой линией

a) б)

диска

диска

Рис. 9.10. Сравнение параметров резонатора с диэлектрическим шаром и
диском

диэлектрического образца становится все более проблематичным (рис.
9.9).

.

Таким образом, методом открытого резонатора можно измерять потери только
очень плохих диэлектриков. Расчет связи параметров диэлектрика и
характеристик резонатора для шара все же проще, чем для диска. Поэтому
встает вопрос, нельзя ли установить соответствие между образцами в форме
шара и диска. В качестве параметра соответствия естественно взять объем
диэлектрического образца. С этой целью были рассчитаны смещения
собственной частоты и изменение обратной величины добротности для шара и
диска с одинаковым объемом. Оказалось (рис. 9.10), что эти зависимости,
качественно одинаковые, количественно различаются заметно. Поэтому для
получения приемлемой точности измерений необходимо тарировочные кривые
строить на основе адекватной математической модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ПЕРСПЕКТИВЫ

Метод интегральных уравнений в электродинамике появился сравнительно
недавно и быстро завоевал популярность. Этому способствовал целый ряд
его преимуществ: простота метода и, следовательно, его доступность;
единство подходов к решению весьма широкого круга задач; удобство
реализации в виде вычислительных программ алгоритмов, на нем основанных,
и, наконец, высокая степень универсальности.

Остановимся на указанных чертах метода несколько подробнее. Единство
подходов к большому кругу задач означает, как видно из гл. 2 и 3, что
интегральные уравнения, эквивалентные различным граничным задачам
электродинамики, составляются по одному и тому же стереотипу. При этом
для задач на телах вращения нет необходимости проходить стадию уравнений
для произвольных тел. Истокообразные представления (3.8) и (3.9) вместе
с формулами для элементов тензорной функции Грина позволяют” легко и
быстро, примерно так же как из крупных блоков строят дома, составлять
необходимые уравнения.

-функции для элементов тензора Грина и решения систем линейных
алгебраических уравнений позволяют достаточно быстро и просто
компоновать программы для всех сформулированных в книге задач и для
многих других. Те же подпрограммы дают возможность после численного
решения уравнений найти поле в любой точке пространства.

3 МЕТОД СВЧ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИМЕРОВ

Для контроля технологических параметров полимеров (качества смещения,
определение включений, вязкости) находят применение радиоволновые метода
СВЧ. Рассмотрим метод, который характеризуется определением объёмной
эффективной площади рассеяния ( ЭПР ).

, то удельная объёмная ЭПР

(1)

(2)

для частиц наполнителя.

Практически для большинства объектов полимерных структур

с наполнителем удельную ЭПР можно выразить формулой

(3)

Множитель

(4)

можно назвать отражаемостью, которая зависит от концентрации и размера
частиц в разрезаемом элементе.

) волн:

, (5)

, имеющей размерность длины, определяет интенсивность отражения.
Аргумент указывает на изменение фазы волны при отражении.

Если рассматривать прием и передачу на одну и туже антенну, т.е.
одинаковой ( согласованной) поляризацией, умножим выражение на
комплексно сопряженную величину

,

В результате получаем

.

, одинаковая для обеих составляющих, ив является поляризационными
характеристиками.

Следовательно состояние поляризации плоской волны можно полностью
определить двумя параметрами (рис.1 ).

Рис.1 Эллиптически поляризованная плоская волна

(рис.1).

. Такие ортогональные векторы – орты – называются поляризованным
базисом.

) вектор можно представить выражением

она эллиптическая. При круговой поляризации амплитуды составляющих
одинаковы, а фазы сдвинуты на 90°.

Поляризационные преобразования при отражении можно представить
уравнениями

). Пару этих выражений можно записать в матричной форме.

Таблицу комплексных величин

называют матрицей рассеяния. В данной записи матрица рассеяния
образована поляризационными составляющими эффективной длины цели.

В дальнейшем будем рассматривать в качестве основной характеристики цели
матрицу эффективной длины

Матрицу эффективной длины целесообразно представить в виде

.Для этог0 осуществляют излечение и прием сигналов для двух
составляющих выбранного поляризационного базиса раздельно.

. Для этого требуется излучать раздельно по времени либо по частоте два
зондирующих колебания: с горизонтальной и вертикальной поляризацией.

ЛИТЕРАТУРА

Фок В. А. Дифракция на выпуклом теле. – ЖЭТФ, 1945, т. 15, № 12, с. 693
– 698

Васильев Е. Н. Возбуждение гладкого идеально проводящего тела вращения.
– Изв. Вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1959, т. 2, № 4, с. 588 – 601.

Андерсеан А. Д. Рассеяние на цилиндрах с произвольным поверхностным
импедансом. – ТИИЭР, 1965, т. 53, № 8, с. 1007-1013.

Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. – М.: Мир, 1964. – 428
с.

Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. – М.:
Радио и связь, 1983 – 296 с.

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука,
1984. – 271 с.

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1972. – 735 с.

Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры. – М.: Мир,
1977. – 485 с.

Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Метод сингулярных
интегральных уравнений в двухмерных задачах дифракции. – Киев: Наукова
думка, 1984. – 343 с.

Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука,
1970, – 420 с.

Хижняк Н. А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред. –
ЖТФ, 1958, т. 28,№ 7, с. 1592 – 1604.

Кравцов В. В. Интегральные уравнения в задачах дифракции. – В кн.:
Вычислительные методы и программирование. – М.: Изд-во МГУ, 1966, вып.
У, с. 260 – 293.

Васильев Е. Н., Гореликов А. И., Фалунин А. А. Тензорная функция Грина
координатах вращения. – В кн.: Сб. научно-методических статей по
прикладной электродинамике. – М.: Высшая школа, 1980, вып. 3, с. 3 – 24.

Белостоцкий В. В., Васильев Е. Н. Интегральное уравнение сферического
открытого резонатора с диэлектрическим шаром. – В кн.: Вычислительные
методы и программирование. – М.: Высшая школа, 1978, вып. 2, с. 101 –
111

Васильев Е. Н., Серегина А. Р., Седельникова З. В. Дифракция плоской
волны на теле вращения, частично покрытом слоем диэлектрика. – Изв.
Вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1981, т. 24, № 6, с. 753 – 758

Хемминг Р. В. Численные методы. – М.: Наука, 1972. – 400 с.

Васильев Е. Н., Малов В. В., Солохудов В. В. Дифракция поверхностной
волны на открытом конце круглого полубесконечного диэлектрического
волновода. – Радиотехника и электроника, 1985, т. 30, № 5, с. 925 – 933.

Фокс А., Ли Т. Резонансные типы колебаний в интерферометре квантового
генератора. – В кн.: Лазеры. – М.: ИЛ, 1963. – 155 с.

Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Строгая постановка задачи о свободных и
вынужденных колебаниях открытого резонатора. – Радиотехника и
электроника, 1967, т. 12, 11, с. 1184- 1193.

Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. – М.: Сов.
радио, 1966. – 475 с.

Slерiаn В. Ргоbаtе spheroidal wave function, fourier analisis and
uncertainly – 1У. Extension to many dimension, generalised prolate
spheroidal functions. – Bell System Techn. J., 1964, v. 143, . 11, р.
1042- 1055.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Теорема продолжимости для функций спектральной плотности

-меру. Это условие гарантирует, что корреляционные векторы,
соответствующие импульсам в К, могут быть аппроксимированы посредством
корреляционных векторов, соответствующим непрерывным, строго
положительным функциям спектральной плотности.

, то

равномерно ограничено от нуля по К, то

,

, то

.

, определяемый путем

(А1)

-полиномов

(А2)

при /A1/, является окрестность О. Поэтому отражением

(А3)

.

.

корреляционных векторов, соответствующих функциям спектральной
плотности, которые являются интегрируемыми, непрерывными и строго
положительными /следовательно, с ограничением от нуля/,

Приложение В

Теорема представления

Теорема представления раздела IУ-А является простым распространением
теоремы Каратеодори [16] для корреляционных векторов на границе Е с
использованием теоремы о продолжимости. Это обобщение “теоремы С”
Каратеодори [9, гл. 4] для многократных измерений. Ввиду вывода метода
Писаренко в разделе 1У, как линейной программы, теорема представления
может также рассматриваться, как вид фундаментальной теоремы линейного
программирования. [l8].

:

(В1)

. По теореме Каратеодори,. любой элемент в Е может быть выражен в виде
выпуклой комбинации 2М+1 элементов А

(B2)

, такой что

(В3)

.

Тогда

(B4)

, завершает доказательство.

может быть выражен в виде суммы не более, чем М комплексных
экспоненциалов, в то время, как вышеприведенная теорема гарантирует
только представление в терминах 2М экспоненциалов, Это не недостаток
доказательства, а подлинная особенность проблемы, как показывает
следующий одномерный пример.

находится на прямой части границы и, как показа-

,

Приложение С

Единственность оценки Писаренко

(С1)

, таких что

(С2)

– строго положительное и одно – строго отрицательное. Итак,

(С3)

является ненулевым вектором корреляции на границе Е с, по крайней мере,
двумя спектральными представлениями.

Поэтому оценка Писаренко является единственной тогда и только тогда,
когда множество корреляционных векторов, соответствующих нулю каждого
ненулевого положительного полинома, линейно независимо. В частности,
чтобы оценка Писаренко была единственной, никакой ненулевой
положительный полином не может иметь более 2М нулей, это условие
подобно, хотя и не так строго, условию Хаара [23], которое включает все
полиномы, а не только положительные.

.

Однако, простой пример показывает,, что нет гарантии того, что оценка
Писаренко будет единственной в большинстве многомерных ситуаций.
Рассмотрим ненулевой положительный полином

(С4)

включает часть гиперплоскости

(С5)

которая находится в К. Многие спектральные основы, имеющие практический
интерес, пересекают эту гиперплоскость в бесконечном числе точек,
подразумевая существование некоторого корреляционного вектора на границе
Е с неединственным спектральным представлением. Эта проблема
неединственности аналогична неединственности в многомерной чебышевской
аппроксимации [24].

ИЛЛЮСТРАЦИИ

Рис.1 ПИП из трех ИП

Рис.2 Спектральная основа для решетки ПИП : I – основа

.

.

.

.

l/2

y

a

z

t

R0

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020