20

1. Анализ устойчивости замкнутой системы

1.1 Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:
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. (1)

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
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.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:
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 (2)

Корни характеристического уравнения (2):
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Характеристическое уравнение (2) имеет два правых корня, следовательно,
данная замкнутая система неустойчива.

1.2 Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию

Для характеристического уравнения (2) замкнутой системы коэффициенты
ai, i=0..3,

а0=0.00008,

a1=0.0078,

a2= – 0.03,

a3=48.

Необходимым условием устойчивости системы является:

ai>0, i=0..3

Данное условие не выполняется (a2

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Расчетно-графическая работа №1

По курсу “Теория автоматического управления”

Студент: Стариков Д.А.

Группа: АС-513

Преподаватель: кандидат технических наук, доцент

Кошкин Юрий Николаевич

К защите: 1 декабря 1997г

Оценка:_________________________

Подпись преподавателя: __________

Новосибирск, 1997 г.

Вариант 25V

Вид воздействия: V(p)

Виды передаточных функций:

Параметры схемы:

Показатели качества управления:

1. Найти передаточные функции системы в разомкнутом и замкнутом
состоянии по управляющему V(p) и возмущающему F(p) воздействиям,
характеристическое уравнение и матрицы А,В и С.

Для записи характеристического уравнения приравняем знаменатель
передаточной функции замкнутой системы к нулю.

Переходим к записи дифференциального уравнения, описывающему поведение
исследуемой системы в динамике

Используя переменные состояния в виде:

можно перейти к дифференциальным уравнениям состояния в форме Коши:

Из этого определяем матрицы А,В,С :

2. Определение устойчивости исследуемой системы двумя критериями.

2.1 Частотный критерий Найквиста в логарифмическом масштабе.

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

Данная система состоит из 3 типовых звеньев:

Расчетная таблица для ЛАХ и ЛФХ:

Из графиков ЛАХ и ЛФК видно, что точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс
лежит правее точки, где фазовый сдвиг достигает значения равного –180.

Значит система неустойчива.

2.2 Критерий Гурвица

Приравниваем знаменатель передаточной функции замкнутой системы к нулю и
записываем характеристическое уравнение:

Составляем определитель Гурвица:

Для того, чтобы линейная динамическая система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя
Гурвица и сам определитель имели знаки, одинаковые со знаком первого
коэффициента характеристического уравнения, т.е. были положительными:

3. Определяем значение критического коэффициента усиления разомкнутой
системы, при котором САУ будет находиться на границе устойчивости, с
помощью критерия Гурвица

Выпишем знаменатель ПФ в замкнутом состоянии и приравняем его к нулю,
получим характеристическое уравнение:

Для определения критического коэффициента приравняем к нулю (n – 1)
диагональный минор в определители Гурвица для данного
характеристического уравнения и получим выражение:

4. Исследовать влияние одного из параметров системы на устойчивость
системы (метод Д-разбиения).

Исследуем влияние параметра T1 на устойчивость системы методом
Д-разбиения.

Для получения кривой Д-разбиения решим характеристическое уравнение
(знаменатель ПФ в замкнутом состоянии) относительно T1.

Задаваясь частотой –( ( ( ( +( строим кривую Д-разбиения и штрихуем
левую сторону кривой при движении по ней с увеличением частоты от –( до
+(.

В 1 области К правых корней

Из 1 во 3 (К+1) правых корней

Из 3 во 2 (К+2) правых корней

Из 2 в 3 (К+1) правых корней

Из 3 в 1 К правых корней

Из 1 в 4 (К-1) правых корней

Далее проводим анализ полученных полуплоскостей с точки зрения выделения
полуплоскости, претендующей на устойчивость, т.е. такой, которая будет
содержать наименьшее число правых корней.

Таким образом, полуплоскость 4 – полуплоскость претендент на
устойчивость. Проверим по критерию Гурвица устойчивость для того
значения параметра, который находиться внутри полуплоскости –
претендента, т.е. в отрезке лежащем на вещественной оси от 19 до +(.

Расчетная таблица:

Возьмем T1=25

Тогда, характеристическое уравнение будет:

Составляем определитель Гурвица:

Все определители больше нуля значит, система устойчива при 19(T1((.

5.Синтез корректирующего устройства, обеспечивающее требуемые показатели
качества в установившемся и переходном режимах.

Синтезируем корректирующее устройство для заданной системы, т.к.
согласно п.2 она неустойчива. По заданным показателям качества строим
желаемую ЛАХ разомкнутой системы.

Определяем (по графику для определения коэффициента K0 по допустимому
перерегулированию):

Проводим асимптоту с наклоном -20 дб/дек через частоту среза до
пересечения с заданной ЛАХ. В высокочастотной области проводим асимптоту
с наклоном –80 дб/дек и получаем желаемую ЛАХ.

Вычитание ЛАХ исходной системы из ЛАХ желаемой системы получаем ЛАХ
корректирующего устройства. По полученной ЛАХ подбираем корректирующее
устройство, его передаточная функция имеет вид:

Строим структурную схему скорректированной системы:

Записываем ПФ скорректированной системы в разомкнутом и замкнутом
состояниях:

где L4(w) – ЛАХ и F4(w) – ЛФК скорректированной системы.

Запас устойчивости по фазе (=15(

По построенным ЛФХ и ЛАХ видно, что скорректированная система устойчива
(критерий Найквиста).

Для проверки показателей качества скорректированной системы строим ВЧХ
замкнутой системы:

Трапеции будут выглядить так:

Получили четыре трапеции, теперь определим параметры для каждой из
трапеций.

Wd1 12

Wd2 18

Wd3 19

Wd4 23

Wp1 18

Wp2 19

Wp3 23

Wp4 30

P1 -1,8

P2 12,2

P3 -9,07

P4 -1,6

X1 0,666

X2 0,9

X3 0,82

X4 0,766

h1 h2 h3 h4 x1( ) x2( ) x3( ) x4( ) t1 t2 t3 t4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,5 0,269 0,304 0,286 0,277 -0,4842 3,7088 -2,145 -0,443 0,02778 0,026
0,022 0,0167

1 0,515 0,593 0,5545 0,536 -0,927 7,2346 -4,1588 -0,858 0,05556 0,053
0,043 0,0333

1,5 0,732 0,832 0,785 0,76 -1,3176 10,1504 -5,8875 -1,216 0,08333 0,079
0,065 0,05

2 0,909 1,003 0,965 0,94 -1,6362 12,2366 -7,2375 -1,504 0,11111 0,105
0,087 0,0667

2,5 1,04 1,12 1,087 1,069 -1,872 13,664 -8,1525 -1,71 0,13889 0,132
0,109 0,0833

3 1,127 1,176 1,159 1,144 -2,0286 14,3472 -8,6925 -1,83 0,16667 0,158
0,13 0,1

3,5 1,168 1,175 1,1725 1,168 -2,1024 14,335 -8,7938 -1,869 0,19444 0,184
0,152 0,1167

4 1,169 1,131 1,1525 1,163 -2,1042 13,7982 -8,6438 -1,861 0,22222 0,211
0,174 0,1333

4,5 1,148 1,071 1,105 1,129 -2,0664 13,0662 -8,2875 -1,806 0,25 0,237
0,196 0,15

5 1,108 1,001 1,045 1,071 -1,9944 12,2122 -7,8375 -1,714 0,27778 0,263
0,217 0,1667

5,5 1,06 0,951 0,9865 1,018 -1,908 11,6022 -7,3988 -1,629 0,30556 0,289
0,239 0,1833

6 1,043 0,92 0,9415 0,958 -1,8774 11,224 -7,0613 -1,533 0,33333 0,316
0,261 0,2

6,5 0,956 0,903 0,915 0,938 -1,7208 11,0166 -6,8625 -1,501 0,36111 0,342
0,283 0,2167

7 0,951 0,915 0,9095 0,919 -1,7118 11,163 -6,8213 -1,47 0,38889 0,368
0,304 0,2333

7,5 0,936 0,946 0,9235 0,913 -1,6848 11,5412 -6,9263 -1,461 0,41667
0,395 0,326 0,25

8 0,945 0,986 0,9495 0,938 -1,701 12,0292 -7,1213 -1,501 0,44444 0,421
0,348 0,2667

10 1,016 1,062 1,054 1,038 -1,8288 12,9564 -7,905 -1,661 0,55556 0,526
0,435 0,3333

12 1,036 0,96 1,0075 1,027 -1,8648 11,712 -7,5563 -1,643 0,66667 0,632
0,522 0,4

14 0,997 0,976 0,963 0,976 -1,794???????????????????????????

Методом трапеций строим график переходного процесса.

Переходной процесс:

=0.5с, что удовлетворяет заданным требованиям.

Литература

Теория автоматического управления / Под ред. А.А.Воронова. – М. : Высшая
школа. -1977.-Ч.I.-304с.

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. – М.
: Наука, 1974.

Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. – М. : “Энергия”,
1967

PAGE

PAGE 16

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter