.

Параметрическая оптимизация в задачах проектирования РЭС (реферат)

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 953
Скачать документ

1. Основные понятия и определения

Оптимальное проектирование – это процесс принятия наилучших (оптимальных
в некотором смысле) решений с помощью ЭВМ. Данная проблема возникает и
требует решения на всех этапах проектирования и во многом определяет
технико-экономическую эффективность и технологичность проектируемых
изделий.

Большинство задач принятия решений можно сформулировать в терминах
теории математического программирования, то есть в виде совокупности
критериев качества и ограничений /1-8/.

В соответствии с общепринятыми обозначениями выделим управляемые
(внутренние) параметры объекта проектирования X=(x1,…,xn) и выходные
параметры Y=(y1,…,ym).

Как правило, при оптимизации целесообразно изменять не все внутренние
параметры, а только те из них, которые оказывают наиболее существенное
влияние на выходные параметры.

Выбор управляемых параметров осуществляют либо по результатам анализа
чувствительности, либо в интерактивном режиме по желанию проектировщика
/ 2 /.

Для нахождения оптимальных решений должна быть известна математическая
модель объекта проектирования, задающая зависимость выходных параметров
Y от управляемых параметров X , адекватно описывающая работу объекта
проектирования:

Y = F (X), (1.1)

где вектор F = (f1,f2.,…,fm) в качестве компонент может включать как
функциональные, так и алгоритмические зависимости. В скалярном виде
формула (1.1) примет вид:
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Оптимизационная задача не может быть сформулирована при отсутствии
математической модели объекта проектирования, при этом вид
математической модели во многом определяет целесообразность и
возможность применения того или иного метода.

На каждом этапе проектирования конструкции или технологии РЭС в начале
работы приходится принимать решения в условиях неопределенности. Чаще
всего это относится к построению или выбору варианта структуры объекта
проектирования в рамках блочно-иерархического подхода /2, 3,7,8/, то
есть к задачам структурной оптимизации.

Выбор варианта структуры во многом снимает неопределeнность, что
позволяет строить математическую модель (1.1), (1.2) и проводить на ее
основе параметрическую оптимизацию, то есть подбор наилучшего набора
значений управляемых параметров (например, номиналов индуктивностей,
емкостей, резисторов, параметров активных элементов, координат
компонентов на плате и др.), при которых выполняются ограничения
(технические требования технического задания) и достигают своих
экстремальных значений (максимума или минимума) критерии качества
объекта проектирования (наиболее важные с точки зрения проектировщика
схемные и конструктивные выходные параметры объекта проектирования, по
которым оценивается его качество), например, частотные характеристики,
коэффициент передачи, потребляемая и выходная мощности, габариты, длина
соединительных проводников, перегрев, температура и т. п.). Если
параметрическая оптимизация проходит достаточно с небольшими временными
затратами (несложные устройства, использование упрощенных математических
моделей, отсутствие жестких требований на точность результатов и т. д.),
может быть выполнен некоторый перебор различных структур построения
проектируемого объекта, т.е. осуществлена структурная оптимизация
устройства.

Решение задачи проектирования радиоэлектронного устройства с
оптимальными характеристиками с использованием методов параметрической
оптимизации /2,8/ включает три этапа: 1 – компьютерное моделирование
устройства; 2 – составление целевой функции с выбором критериев
оптимальности; 3 – поиск экстремума полученной целевой функции и
определение оптимальных внутренних параметров устройства.

Моделирование (анализ) РЭС требует на соответствующих уровнях наличия
математических моделей и проводится в основном численными методами /8/.
Главным критерием моделирования наряду с необходимой точностью и
адекватностью модели является быстродействие, скорость расчета на ЭВМ
выходных параметров устройства.

Этап составления целевой функции при оптимизации устройства является
самым творческим и неформальным /2,7,8/. Целевая функция строится на
основе выходных параметров устройства (характеристик), которые
необходимо оптимизировать.

Таким образом, оптимальное проектирование РЭС сводится к составлению или
выбору целевой функции, многократному анализу характеристик (выходных
параметров) устройств и затем минимизации или максимизации целевой
функции с применением в различных методов оптимизации, выбор конкретного
из которых обусловлен спецификой данной решаемой задачи.

2. Постановка задачи параметрической оптимизации на основе анализа
требований ТЗ

Критерии качества и ограничения задачи параметрической оптимизации прямо
либо опосредованно зависят от выходных параметров объекта проектирования
Y = (y1,y2.,…,ym).

В простейшем случае в качестве критериев качества могут быть выбраны
наиболее существенные с точки зрения проектировщика выходные параметры.

Все остальные выходные параметры при этом необходимо учесть в виде
ограничений.

Критерии качества в литературе принято называть также целевыми
функциями, критериями оптимальности, частными критериями качества,
функциями цели и т.п. /2, 5-8/.

Обозначим критерии качества Ki = Ki(x1,x2.,…,xn), i = 1,…,s, где s –
количество критериев качества, а Ki(X) – либо один из выходных
параметров Y = (y1,y2.,…,ym), либо Ki(X) = ?(Y), где ?(Y) – заданная
функциональная зависимость.

Все ограничения задачи параметрической оптимизации получаем на основе
анализа технических требований к параметрам объекта проектирования,
содержащихся в ТЗ. Рассмотрим формализацию ограничений на примере
выходных параметров Y (для внутренних параметров Х справедливы
аналогичные рассуждения).

Технические требования обычно имеют вид yj = TTj + ?j, где TTj –
желаемое значение параметра yj,? а ?j – его допустимый разброс ( j =
1,…,m ). Таким образом, справедливы двойные неравенства TTj – ?j ?? yj ?
TTj + ?j( j = 1,…,m ), то есть Yj -TTj – ?j??? TTj – ?j – yj????( j =
1,…,m ). Таким образом, получаем L=2?m неравенств вида gl(X)???, l=
1,…,L.

Общая математическая постановка задачи параметрической оптимизации, как
задачи математического программирования /2, 5-8/ , имеет вид
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Множество наборов значений управляемых параметров Х, удовлетворяющих
ограничениям gl(X) ?? ?, l = 1,…,L, называют областью работоспособности,
или областью допустимых значений управляемых параметров: XР = X = x1,
x2, …, xn)

gl(X)???, l=1,…,L .

Если функция Ki(X) имеет один минимум или максимум в заданной области
работоспособности, то ее называют одноэкстремальной (унимодальной), если
несколько, то – многоэкстремальной. Каждый минимум (максимум)
многоэкстремальной функции называют локальным, наименьший (наибольший)
из них – глобальным.

Если ограничения на внутренние параметры gl(X) отсутствуют, то задача
оптимизации называется безусловной, в противном случае – условной.

При практическом проектировании РЭС встают задачи поиска как
безусловных, так и условных экстремумов унимодальных и
многоэкстремальных функций.

Рассмотрим в качестве примера типичное ТЗ на разработку аналогового
устройства – усилителя: ”Коэффициент усиления Кo на средних частотах
должен быть не менее 10000, входное сопротивление R-вых не менее 1 МОм,
выходное сопротивление R-вых не более 200 кОм, верхняя граничная частота
fв не менее 100 кГц, температурный дрейф нуля Uдр не более 50 мкВ/град;
усилитель должен нормально функционировать в диапазоне температур от –50
до +60 градусов Цельсия, напряжения источников питания +5 и –5 В,
предельные отклонения напряжений не более +0,5%, усилитель
эксплуатируется в стационарной установке, габариты платы 60х40 мм”. В
данном случае выходными параметрами являются Y= Кo,Rвх, Rвых, fв, Uдр .

К внешним воздействиям относятся температура окружающей среды и
напряжения источников питания. Управляемыми параметрами являются
параметры элементов схемы.

Область работоспособности XР = X?10000 – Кo ????,

1-Rвх ??, Rвых-200 ???, 100- fв????, 50- Uдр ???. Особенность
технического задания для дискретных объектов (например, цифровых
устройств) заключается в форме записи ограничений (условий
работоспособности), которые могут иметь вид логических уравнений, таблиц
истинности или даже текстовую форму.

Целью решения задачи параметрической оптимизации (1.3) является
определение такого набора значений параметров X*=(x1*, x2*.,…,xn*),
X*?ХР, при котором критерии качества Ki(X*), i=1,…,s достигают своих
наилучших (минимальных или максимальных ) значений.

3. Классификация задач параметрической оптимизации

Задача параметрической оптимизации (1.3) является многопараметрической,
многокритериальной и содержит ограничения, все эти факторы определяют
особенности, возникающие в процессе ее решения. В зависимости от вида
критериев качества и ограничений проводят классификацию задач
параметрической оптимизации (задач математического программирования)
/2,5-8/.

Если целевая функция и ограничения линейные функции вида

С0 + С1?Х1+ С2?Х2+…+ Сn?Хn., (1.4)

то задача оптимизации вида (1.3) называется задачей линейного
программирования, в противном случае – задачей нелинейного
программирования.

Если целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные функции, то
задача (1.3) называется задачей квадратичного программирования.

Если целевая функция и ограничения имеют вид Х1?Х2?…?Хn., то задача
(1.3) – это задача геометрического программирования.

Если целевую функцию можно представить в виде суперпозиции функций, то
задача (1.3) – это задача динамического программирования.

Если целевая функция и ограничения целочисленные функции, то задача
(1.3) – это задача целочисленного программирования.

В большинстве случаев при проектировании РЭС целевая функция нелинейно
зависит от внутренних параметров, поэтому соответствующие задачи
параметрической оптимизации относятся к задачам нелинейного
программирования, для решения которых используются методы
математического нелинейного программирования /2, 5-8/. Кроме того, в
некоторых частных случаях (например, при топологическом проектировании
РЭС) в силу высокой трудоемкости задач применение методов
математического программирования затруднено, тогда используются
различные приближенные способы получения решений, приближающихся к
оптимальным, например, эвристические алгоритмы и т. д. /8-12/.

?????Кроме того, в зависимости от вида используемых математических
моделей, задача оптимизации может быть детерминированной или
стохастической, непрерывной или дискретной, аналитической или
алгоритмической, при этом для каждого класса задач имеется свой, в
достаточной степени апробированный, математический аппарат /2,5-10/.
Так, для задач линейного программирования успешно применяется
симплекс-метод /7, 8/.

Характерной особенностью задач оптимизации в САПР является тот факт, что
классические методы нахождения экстремума, требующие аналитического
выражения для целевой функции, практически неприменимы, так как в
большинстве случаев используются алгоритмические модели, в которых
вычисление значений целевых функций (критериев оптимальности) и их
производных производится численными методами. Поэтому наиболее
универсальными и эффективными для задач нелинейного программирования
являются методы поисковой оптимизации /2,7,8/.

Для обеспечения возможности применения методов поиска к решению задачи
оптимизации в постановке (1.3) необходимо некоторым образом упростить
математическую постановку задачи: перейти от многокритериальной задачи
оптимизации к однокритериальной и от задачи с ограничениями – к задаче
безусловной оптимизации.

4. Многокритериальная оптимизация в задачах с ограничениями

4.1. Методы перехода от многокритериальной задачи оптимизации к
однокритериальной

Для того, чтобы оценить насколько хорошо удовлетворяют требованиям ТЗ
значения частных критериев качества при заданном наборе значений
внутренних параметров X = (x1, x2.,…,xn), нужно построить обобщенный
критерий качества (обобщенную целевую функцию) f(Х), которая
одновременно учитывает требования ко всем частным критериям.

Иными словами, от многокритериальной задачи параметрической оптимизации
в виде:
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необходимо перейти к однокритериальной задаче:
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Наиболее часто на практике используются следующие методы построения
целевой функции (методы векторной свертки частных критериев): метод
главного критерия, аддитивный, мультипликативный, минимаксный и
вероятностный /7-9/.

В методе выделения главного критерия проектировщик выбирает один,
наиболее важный с его точки зрения частный критерий качества, который и
принимается за обобщенную целевую функцию, а требования к остальным
частным критериям учитывают в виде ограничений f(X)=Kt(X), (1.7)

где t – номер наиболее важного частного критерия. Например, задана
принципиальная электрическая схема логического элемента и условия
работоспособности на следующие выходные параметры: y1 – коэффициент
нагружения, y2 – запас помехоустойчивости, y3 – средняя рассеиваемая
мощность, y4- задержка распространения сигнала. Необходимо рассчитать
параметры пассивных элементов, то есть управляемые параметры – это
сопротивления резисторов. В качестве целевой функции может быть выбран
один из выходных параметров, например, y4 ( f(X)= y4 ).

В аддитивном методе каждому из частных критериев качества ставится в
соответствие весовой коэффициент (вес i-го частного критерия
0?????1??i=1,…,s,), характеризующий важность данного критерия с точки
зрения проектировщика (сумма весовых коэффициентов должна быть равна 1).

При построении целевой функции в аддитивном методе используется
соотношение: если f (X)???max, то -f (X)???min. Каждый частный критерий
можно включить в аддитивную целевую функцию по правилу: умножить на
весовой коэффициент и включить в целевую функцию со знаком плюс или
минус.

Чтобы построить минимизируемую целевую функцию f ?(X)??min, все
минимизируемые частные критерии K?i (X) (K?i (X)??? min, i = 1,…,t)
включают в аддитивную функцию со знаком плюс, то есть прибавляют к
целевой функции, а все максимизируемые критерии K+i(X) ( K+i(X)??? min,
i = t+1,…,s) включают в аддитивную функцию со знаком минус, то есть
вычитают из целевой функции:
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или для максимизируемой целевой функции:

t _ s +

f (X)=?-? ???? Ki(X)+?? ???? Ki(X) )??? max, (1.9)

i=1 i=t+1

где s – общее число частных критериев, а t – количество минимизируемых
критериев.

В нашем примере четыре частных критерия, то есть s = 4, t = 2:

K1(X)???max,

K2(X)??? max,

K3(X)??? min,

K4(X) ?? min.

Пусть ?? ? ?? ? ?? ???? ? 0?????тогда

?? f(X) = ?????K1(X) ???????K2(X)????????K3(X) ???????K4(X) ?? max,

или

f(X) = ???????K1(X) ???????K2(X) ???????K3(X) ???????K4(X) ?? min.

В мультипликативном методе используется правило: если f (X)???max, то 1/
f (X)???min при условии, что f (X)??????

В отличие от аддитивного метода, частные критерии не складывают, а
перемножают. Кроме того, в мультипликативном методе не используют
весовые коэффициенты. Целевая функция строится в виде дроби.

Если f(X)??min, то в числитель дроби включают произведение всех
минимизируемых критериев, а в знаменатель – произведение всех
максимизируемых критериев:
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или если целевую функцию нужно максимизировать:
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В нашем примере с применением мультипликативного метода свертки
критериев целевые функции:

picscalex1000100090000030202000002008a01000000008a01000026060f000a03574d
46430100000000000100d6850000000001000000e802000000000000e802000001000000
6c00000000000000000000002c000000710000000000000000000000f42c000091110000
20454d4600000100e80200000e0000000200000000000000000000000000000061130000
681b0000d200000029010000000000000000000000000000503403002888040016000000
0c000000180000000a00000010000000000000000000000009000000100000009f0a0000
27040000250000000c0000000e000080120000000c000000010000005200000070010000
010000009cffffff00000000000000000000000090010000000000cc0440001254006900
6d006500730020004e0065007700200052006f006d0061006e0000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000cb300930
00000000040000000000ae30083109300000000047169001cc0002020603050405020304
877a0020000000800800000000000000ff01000000000000540069006d00650073002000
000065007700200052006f006d0061006e00000000000000bd2d093050bbae3000331400
010000000000000004481100aab40230044811004c3eaf301c4811006476000800000000
250000000c00000001000000180000000c00000000000002540000005400000000000000
000000002c0000007100000001000000e174874039768740000000005a00000001000000
4c0000000400000000000000000000009f0a0000270400005000000020002d002d000000
46000000280000001c0000004744494302000000ffffffffffffffffa00a000027040000
000000004600000014000000080000004744494303000000250000000c0000000e000080
0e000000140000000000000010000000140000000400000003010800050000000b020000
0000050000000c0299008901040000002e0118001c000000fb020200010000000000bc02
000000cc0102022253797374656d00000000000000000000000000000000000000000000
00000000040000002d01000004000000020101001c000000fb02f2ff0000000000009001
000000cc0440001254696d6573204e657720526f6d616e00000000000000000000000000
00000000040000002d010100050000000902000000020d000000320a0d00000001000400
0000000089019a0020070700040000002d010000030000000000

Минимаксный метод построения обобщенной целевой функции получил свое
название потому, что в нем минимизируется максимальное отклонение
частного критерия качества от его наилучшего, желаемого значения
(технического требования, оговоренного в ТЗ).
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где X = (x1, x2.,…,xn), то есть
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Логика минимаксного построения целевой функции заключается в том, что в
каждый момент времени в качестве главного выбирается тот из частных
критериев качества Ki(X), который в наибольшей степени удален от своего
желаемого (оптимального) значения Ki*. В нашем примере (s = 4) при
желаемых значениях K1* = 0,2; K2* = 1000; K3* = 25; K4* = 1 по
минимаксному методу получим:
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Другими словами, минимизируется “самый плохой” из частных критериев.

Рассмотрим три ситуации, изображенные на рис. 1.1. На оси у
откладывается величина ?Ki(X)?Ki*?/Ki* ?для всех частных критериев (i =
1,2,3,4 для нашего примера). В случае а) хуже всего удовлетворяет
требованиям ТЗ критерий K3(Х), поэтому f(X)=?K3(X)? K3*?/ K3*, то есть в
течение некоторого времени усилия оптимизации будут направлены на
приближение критерия K3(X)?к его желаемому значению K3*??При этом могут
ухудшиться значения других критериев. Например, в случае б) для
дальнейшей оптимизации будет выбран критерий K1(X).
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Рис. 1.1

Процесс продолжают до тех пор, пока все частные критерии не будут
достаточно (с требуемой точностью) близки к своим желаемым значениям (
случай в), изображенный на рис. 1.1). При этом приведение критериев к
нормированному виду ?Ki(X)?Ki*?/ Ki*?необходимо, чтобы в равной степени
учитывать изменение критериев независимо от их абсолютных величин (как
слишком больших, так и слишком малых, возможно различающихся на
несколько порядков).

В случае вероятностного (статистического) метода построения обобщенной
целевой функции выбирают

f(X) = P(X) ??max, (1.16),

где P(X) – вероятность выполнения условий работоспособности, то есть
вероятность того, что при наборе значений внутренних параметров X = (x1,
x2.,…,xn ) выходные параметры объекта проектирования будут удовлетворять
требованиям ТЗ. Для определения вероятности Р(Х) на практике обычно
используют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) / 5 /.

4.2. Методы перехода от задачи с ограничениями к задаче безусловной
оптимизации

Для перехода от задачи параметрической оптимизации с ограничениями (1.6)
к задаче без ограничений, или задаче безусловной оптимизации

Ф(Х) ??? extr , (1. 17)

используется один из следующих методов: метод неопределенных множителей
Лагранжа; метод штрафных функций; метод барьерных функций /5-8/.

В методе неопределенных множителей Лагранжа вводятся дополнительные
переменные y1,y2.,…,yL, которые называют неопределенными множителями
Лагранжа. Их количество равно числу ограничений L в задаче оптимизации
(1.6).

Формула (1.18) применима, если задача (1.6) ставится как задача
максимизации, при этом для полученной целевой функции Ф(X,Y) необходимо
найти седловую точку, то есть по переменным X = x1, x2.,…,xn) проводится
поиск максимума, а по переменным Y = ( y1,y2.,…,ym) – поиск минимума, то
есть
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Основной проблемой при использовании метода Лагранжа является
значительное увеличение размерности задачи параметрической оптимизации.

В методе штрафных функций целевую функцию задачи безусловной оптимизации
получают по формуле:

Ф(Х)=f(X)+?? k(X) ??? extr, (1. 20)

где X = (x1, x2.,…,xn) – набор управляемых параметров, ? k(X) –

штрафная функция, k-номер итерации (шага) в методе поисковой
оптимизации.

На практике задачи параметрической оптимизации решаются в основном
итерационными (пошаговыми) методами, которые называют методами поисковой
оптимизации. При этом на каждом шаге поиска значение штрафной функции ??
k(X) уточняется (рассчитывается заново) по формуле:
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где r k=10 k. Формула (1.21) применима, если задача (1.6) ставилась как
задача минимизации.
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Логика построения штрафной функции заключается в следующем: внутри
области работоспособности ХР g l (X) ???,

L = 1,…,L, на границе – g l (X) ???, а вне ХР g l (X) > ?? (рис. 1.2).

Целевая функция задачи безусловной оптимизации Ф(Х) должна быть
максимально близкой к целевой функции f(Х) задачи с ограничениями внутри
области работоспособности

XР = X = (x1,x2.,…,xn)?gl(X)???, l = 1,…,L и быть значительно хуже
(больше) функции f(Х) вне области работоспособности, то есть при gl(X) >
?.

Действительно, внутри области работоспособности ХР gl(X)?????, l =
1,…,L, поэтому max0, gl(X) = 0 для всех ограничений, то есть внутри
области работоспособности Ф(Х) = f(Х). Если ограничения выполнены, то
никакого штрафа на целевую функцию не накладывается. В противном случае,
если имеются нарушения одного или нескольких ограничений g t (X) > ??
1??t ??L, то каждое из них дает свой вклад в штрафную функцию ?k(X) в
виде квадрата слагаемого [ max0,gt(Х)], где max0,gt(Х)=gt(Х). Метод
штрафных функций часто называют методом внешней точки, потому что при
проведении дальнейшей оптимизации поисковыми методами для метода
штрафных функций не важно, принадлежит ли начальная точка поиска области
работоспособности ХР.

В методе барьерных функций на границе области работоспособности ХР
ставится непреодолимый барьер (целевая функция задачи безусловной
оптимизации Ф(Х) возрастает до бесконечности на границе области ХР).
Поэтому начальная точка поиска обязательно должна принадлежать области
работоспособности, если при построении целевой функции задачи
безусловной оптимизации был применен метод штрафных функций, или метод
внутренней точки. Целевую функцию Ф(Х) в методе барьерных функций
получают по формуле

Ф(Х)=f(X)+?? k(X) ??? extr, (1.22)

где k- номер итерации поискового метода, весовой коэффициент rk=10 -k ,
а барьерная функция ?? k(X) вычисляется по формуле
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Действительно, при приближении к границе ХР gl(Х) 0, так как Х?ХР (метод
внутренней точки) gl (X) ???, l = 1,…,L, поэтому gl(Х) ? – . Именно
поэтому в формуле (1.23) используется знак минус: ?k(X) возрастает до
бесконечности при приближении к границе области работоспособности.

Главный недостаток метода барьерных функций заключается в том, что
начальную точку поиска приходится выбирать внутри области
работоспособности ХР, что представляет собой сложную задачу при малых
размерах области ХР.

Таким образом, при небольшом количестве управляемых параметров Х и
ограничений gl(X), целесообразно применять метод неопределенных
множителей Лагранжа, если проверка принадлежности начальной точки поиска
области ХР не слишком трудоемкая задача, то применяем метод барьерных
функций, в противном случае – метод штрафных функций, который, хотя и
является более универсальным, но впоследствии, в ходе поисковой
оптимизации требует большего числа итераций по сравнению с методом
барьерных функций.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019