Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский государственный университет информатики и
радиоэлектроники
кафедра РЭС
РЕФЕРАТ
на тему:
«Основные матмодели в теории надежности. Выбор числа показателей
надежности. Достоверность статистической оценки показателей надежности»
МИНСК, 2008
Основные математические модели, используемы в теории надежности
В приведенных выше математических соотношениях зачастую использовалось
понятие плотности вероятности и закон распределения.
Закон распределения – устанавливаемая определенным образом связь между
возможными значениями случайной величины и соответствующими их
вероятностями.
Плотность распределения (вероятностей) – широко распространенный способ
описания закона распределения
Распределение Вейбулла
Распределение Вейбула является двухпараметрическим распределением.
Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа
picscalex1000100090000036502000002001c0000000000050000000902000000000500
0000020101000000050000000102ffffff00050000002e0118000000050000000b020000
0000050000000c028002200e1200000026060f001a00ffffffff000010000000c0ffffff
aaffffffe00d00002a0200000b00000026060f000c004d61746854797065000050001c00
0000fb0220ff0000000000009001000000cc0402001054696d6573204e657720526f6d61
6e004615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d01000008000000320a34018a0d
01000000297908000000320a3401a00b01000000287908000000320a34010f0901000000
31791c000000fb0280fe0000000000009001000000cc0402001054696d6573204e657720
526f6d616e004615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d01010004000000f001
000008000000320ae0014a0201000000297908000000320ae00148010100000028791c00
0000fb0260ff0000000000009001010000020402001053796d626f6c007f40000000f009
0af64615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d01000004000000f00101000800
0000320ad000fd0c0100000064791c000000fb0220ff0000000000009001010000020402
001053796d626f6c007f4000000048120ac64615017f4f15017f20e0037f000030000400
00002d01010004000000f001000008000000320a3401f90b010000006c7908000000320a
340109080100000064791c000000fb0280fe000000000000900101000002040200105379
6d626f6c007f40000000f0090af74615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d01
000004000000f001010008000000320ae001d40501000000647908000000320ae0014204
010000006c791c000000fb0220ff0000000000009001010000cc0402001054696d657320
4e657720526f6d616e004615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d0101000400
0000f001000008000000320a3401b20c0100000074791c000000fb0280fe000000000000
9001010000cc0402001054696d6573204e657720526f6d616e004615017f4f15017f20e0
037f00003000040000002d01000004000000f001010008000000320ae001530a01000000
657908000000320ae0017e0701000000747908000000320ae001c6010100000074790800
0000320ae00182000100000066791c000000fb0220ff0000000000009001000000020002
001053796d626f6c007f4000000048120ac84615017f4f15017f20e0037f000030000400
00002d01010004000000f001000008000000320a3401810c01000000d77908000000320a
3401160b010000002d7908000000320a3401a308010000002d791c000000fb0280fe0000
000000009001000000020002001053796d626f6c007f40000000f0090af94615017f4f15
017f20e0037f00003000040000002d01000004000000f001010008000000320ae001c909
01000000d77908000000320ae001fa0601000000d77908000000320ae0015c0501000000
d77908000000320ae0011f03010000003d790a00000026060f000a00ffffffff01000000
00001c000000fb021000070000000000bc02000000cc0102022253797374656d00000000
0a0021008a010000000001000000f0f31200a411017f040000002d01010004000000f001
0000030000000000 (1)
где д – параметр формы (определяется подбором в результате обработки
экспериментальных данных, д > 0);
л – параметр масштаба,
От значения коэффициента формы во многом зависит график функции
плотности вероятности.
Интенсивность отказов определяется по выражению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 (2)
Вероятность безотказной работы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 (3)
Отметим, что при параметре д = 1 распределение Вейбулла переходит в
экспоненциальное, а при д = 2 – в распределение Рэлея.
При д 1 монотонно возрастает (период износа). Следовательно, путем
подбора параметра д можно получить, на каждом из трех участков, такую
теоретическую кривую л(t), которая достаточно близко совпадает с
экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей
надежности можно производить на основе известной закономерности.
Экспоненциальное распределение
Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной
работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр
формы д = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи
расчетного выражения достаточно одного параметра л = const . Для этого
закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов
постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени
подчиняется экспоненциальному закону: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 (4)
Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе
распределения интервала безотказной работы выражается формулой: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 (5)
Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т1 (или постоянную
интенсивность отказов л), можно в случае экспоненциального распределения
найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента
включения объекта до любого заданного момента t.
Распределение Рэлея
Плотность вероятности в законе Рэлея имеет следующий вид
picscalex100010009000003a902000004001c0000000000050000000902000000000500
0000020101000000050000000102ffffff00050000002e0118000000050000000b020000
0000050000000c026005c00a1200000026060f001a00ffffffff000010000000c0ffffff
baffffff800a00001a0500000b00000026060f000c004d61746854797065000000010800
0000fa0200001000000000000000040000002d01000005000000140200034e0405000000
13020003580608000000fa0200000800000000000000040000002d010100050000001402
97014c080500000013029701080a1c000000fb0220ff0000000000009001000000020002
001053796d626f6c007f40000000d3070a744615017f4f15017f20e0037f000030000400
00002d01020008000000320a4802300a01000000f77908000000320aa301300a01000000
f77908000000320ad702300a01000000f87908000000320a1401300a01000000f6790800
0000320a4802470701000000e77908000000320aa301470701000000e77908000000320a
d702470701000000e87908000000320a1401470701000000e67908000000320acf01c407
010000002d791c000000fb0280fe0000000000009001000000020002001053796d626f6c
007f4000000061070a194615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d0103000400
0000f001020008000000320a60031f03010000003d791c000000fb0260ff000000000000
9001000000cc0402001054696d6573204e657720526f6d616e004615017f4f15017f20e0
037f00003000040000002d01020004000000f001030008000000320a3102990901000000
327908000000320ad6024509010000002a7908000000320adb0021090100000032791c00
0000fb0220ff0000000000009001000000cc0402001054696d6573204e657720526f6d61
6e004615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d01030004000000f00102000800
0000320a9e025b0801000000327908000000320ae003a90501000000327908000000320a
08052705010000002a791c000000fb0280fe0000000000009001000000cc040200105469
6d6573204e657720526f6d616e004615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d01
020004000000f001030008000000320a60034a0201000000297908000000320a60034801
0100000028791c000000fb0220ff0000000000009001010000020402001053796d626f6c
007f4000000061070a1b4615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d0103000400
0000f001020008000000320a9e02cd080100000064791c000000fb0280fe000000000000
9001010000020402001053796d626f6c007f40000000d3070a774615017f4f15017f20e0
037f00003000040000002d01020004000000f001030008000000320aa804500401000000
64791c000000fb0220ff0000000000009001010000cc0402001054696d6573204e657720
526f6d616e004615017f4f15017f20e0037f00003000040000002d01030004000000f001
020008000000320a3f01cc080100000074791c000000fb0280fe00000000000090010100
00cc0402001054696d6573204e657720526f6d616e004615017f4f15017f20e0037f0000
3000040000002d01020004000000f001030008000000320a60038b060100000065790800
0000320a7002110501000000747908000000320a6003c60101000000747908000000320a
600382000100000066790a00000026060f000a00ffffffff0100000000001c000000fb02
1000070000000000bc02000000cc0102022253797374656d000000000a0021008a010000
000003000000f0f31200a411017f040000002d01030004000000f0010200030000000000
(6)
где д* – параметр распределения Рэлея.
Интенсивность отказов равна: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. (7)
Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика
л(t), начинающаяся с начала координат.
Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по
выражению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 (8)
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности
вида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 (9)
где mx, уx – соответственно математическое ожидание и
среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.
При анализе надежности РЭСИ в виде случайной величины, кроме времени,
часто выступают значения тока, электрического напряжения и других
аргументов. Нормальный закон – это двухпараметрический закон, для записи
которого нужно знать mx и sx.
Вероятность безотказной работы определяется по формуле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(10)
а интенсивность отказов – по формуле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 (11)
В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы
распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же
используемых в расчетах надежности: гамма-распределение,
ч2-распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.
Определение закона распределения и выбор числа показателей надежности
Определение закона распределения
Во многих случаях возникает задача определения на основе имеющихся
статистических данных закона распределения некоторой случайной величины
X.
Необходимо сразу же подчеркнуть, что в настоящее время не существует
никакого способа непосредственно получить из некоторых статистических
данных математическую модель закона распределения X. Известные методы
позволяют лишь подтвердить (или не подтвердить) соответствие данного
статистического материала некоторой заранее выдвинутой гипотезе о законе
распределения. Таким образом, процедура нахождения хорошей (в некотором
смысле) математической модели закона распределения случайной величины по
статистическим данным всегда слагается из двух этапов:
• Выдвижение гипотез о математических моделях распределения.
• Проверка соответствия выдвинутых гипотез имеющимся статистическим
данным.
Гипотезы о законе распределения могут выдвигаться на основе
теоретического анализа физической природы и свойств рассматриваемой
случайной величины. Источником этих гипотез может служить также
предварительный анализ имеющихся статистических данных
Проверка соответствия гипотезы статистическим данным сводится к
установлению степени близости гипотетического и статистического
распределений X. Для проверки гипотез о законе распределения применяются
специально разработанные количественные критерии, получившие название
критериев согласия. Наиболее широкое применение нашли два критерия
-критерий Пирсона и критерий Колмогорова.
Выбор числа показателей надежности
Остановимся на вопросе о выборе числа показателей для каждой
составляющей надежности объекта.
Выбор числа показателей той или иной составляющей надежности в
большинстве технических документов (в том числе и стандартов) на
различные изделия производится без достаточного обоснования. В то же
время, если рассматривать эти показатели не как изолированные величины,
а как носители информации о законе распределения некоторой случайной
величины, то вопрос о выборе числа показателей для каждой составляющей
надежности получает достаточно простое и четкое решение.
Известно, что для однозначного определения закона распределения,
относящегося к некоторому типу, необходимо задать столько независимых
чисел, сколько параметров имеет этот тип законов распределения. Этими
числами могут быть, в частности, числовые характеристики распределения,
т. е. показатели некоторой составляющей надежности. Таким образом, выбор
числа показателей некоторой составляющей надежности связывается с числом
параметров того типа законов распределения, к которому относятся
распределение определяющей эту составляющую надежности случайной
величины.
Такой – достаточно строгий и общий – подход может применяться по
отношению к любой составляющей надежности. Однако, во-первых, в
настоящее время предъявляются различные требования к полноте описания
различных составляющих надежности объектов. Во-вторых, не для всех
составляющих надежности в достаточной мере изучены типы законов
распределения соответствующих случайных величин.
Описанный выше подход достаточно широко применяется при выборе числа
показателей безотказности, поскольку для большинства объектов в
настоящее время считается необходимым знать весь закон распределения. В
качестве примера можно указать рекомендации по выбору номенклатуры и
числа показателей безотказности изделий ГСП, приведенные в ГОСТ 13216-
74.
Реже такой же подход используется при выборе числа показателей
ремонтопригодности. Это связано с тем, что пока еще лишь для небольшой
номенклатуры промышленных изделий считается необходимым задавать
распределение вероятности восстановления.
Что же касается таких составляющих надежности, как сохраняемость и
долговечность, то в настоящее время знание всего закона распределения не
считается необходимым. В связи с этим для описания каждой из этих
составляющих выбирается обычно один показатель (редко. два), и выбор
этот не связывается с типом закона распределения соответствующей
случайной величины.
В таблице 1 для каждой составляющей надежности указаны случайных
величины (показатели) а также типы законов распределения, используемые
при их описании.
Таблица 1
Составляющая надежностиСлучайная величинаИспользуемый закон
распределенияПоказатели надежности для объектов
невосстанавливаемыхвосстанавливаемыхБезотказностьВремя безотказной
работы ТЭкспоненциальный Нормальный ГаммаT1 – средняя наработка до
отказа P(t)- вероятность безотказной работы Х- интенсивность
отказовpicscalex100010009000003b300000003001c000000000005000000090200000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 – наработка на отказ P(t)- вероятность безотказной
работы
щ- параметр потока отказовРемонтопригодностьВремя восстановления
ТвЭрланга Нормальный
Экспоненциальный—picscalex100010009000003df00000003001c00000000000500000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- среднее время
восстановления Р(tB)- вероятность восстановленияСохраняемостьВремя
хранения до потери объектом своих характеристик ТНормальный
Логарифмически-нормальный Гамма Вейбула ЭкспоненциальныйАналогично с
восстанавливаемымиpicscalex100010009000003df00000003001c0000000000050000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- средний срок
сохраняемости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 –
гамма-процентный срок сохраняемости
Р(tс)- вероятность сохраненияДолговечностьВремя от начала эксплуатации
до предельного
СОСТОЯНИЯ ТДНормальный Логарифмически-нормальный Гамма Вейбула
ЭкспоненциальныйСовпадают с показателями безотказностиt c – средний срок
службы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- средний ресурс
tpг- гамма-процентный ресурс
Точность и достоверность статистической оценки показателей надежности
Как было показано выше, показатели надежности представляют собой
числовые характеристики случайных величин или их комбинации.
Результат эксперимента над случайными величинами всегда случаен. Если на
основе этого результата определяются некоторые числовые характеристики
исследуемой случайной величины, то следует ясно понимать, что получаемые
таким образом цифры могут отличаться от искомых истинных значений. В
связи с этим значения числовых характеристик, получаемые путем
статистических исследований, принято называть оценками, подчеркивая тем
самым возможность несовпадения их с истинными значениями.
В математической статистике различаются два вида статистических оценок:
• точечные
• интервальные.
Как следует из теории вероятностей, основными показателями качества
статистической оценки являются точность и достоверность.
Общепринятым количественным показателем достоверности оценки показателей
надежности является доверительная вероятность. Причем, ввиду того, что
очень часто принимается условие симметричности доверительного интервала
(равенство односторонних доверительных вероятностей по верхней и по
нижней доверительным границам), в качестве количественной меры
достоверности оценки можно принять одно значение односторонней
доверительной вероятности:
QB=QH=Q. (12)
Сложнее обстоит дело с выбором количественной меры точности
статистической оценки показателей надежности. Во всех случаях (т. е. при
любом оцениваемом показателе надежности а) количественную меру точности
оценки естественно связать с шириной доверительного интервала, т. е. со
значениями его границ аН и аВ. Тогда относительную доверительную ошибку
показателя а можно записать как: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 (13)
Особенности программ на надежность
Испытания на надежность позволяют определить показатели надежности РЭСИ
в заданных условиях эксплуатации. Это необходимо для:
• установления соответствия вновь разрабатываемой РЭСИ требованиям ТЗ;
• для оценки эффективности применения схемных и
конструктивно-технологических решений при модернизации РЭСИ;
• для выявления недостатков производства, влияющих на надежность.
По назначению испытания на надежность могут быть определительными и
контрольными. Группа определительных испытаний подразделяется на
испытания по определению запасов надежности, параметров безотказности,
сохраняемости, ремонтопригодности, долговечности. Указанные
характеристики определяют уровень качества разработки. Задачей
контрольных испытаний является показ неизменности уровня качества
продукции, изготавливаемой на конкретном призводстве. Обычно проводят
для получения одной из указанных характеристик надежности, по которой
оценивают уровень кпачества изделия.
Общими чертами испытаний на надежность с другими видами испытаний
являются:
• испытания являются, преимущественно, выборочными;
• характеризуются большим объемом испытаний.
Выборочный метод испытаний позволяет судить о характеристиках всей
генеральной совокупности изделий по характеристикам выборки, взятой из
этой совокупности. Основным требованием к выборке являетсято, что
изделия, входящие в выборку, должны в полной мере отражать характер и
структуру генеральной совокупности, т. е. выборка должна быть
представительной или репрезентативной.
Выборки различают по:
• способу образования – повторные и бесповторные;
• по преднамеренности отбора – преднамеренные и случайные;
• по отношению ко времени образования – единовременные и текущие.
Повторная выборка образуется путем извлечения изделий из генеральной
совокупности с последующим их возвращением после определения параметров
качества.
Такое извлечение и возвращение может быть многократным.
При бесповторной выборке извлеченные изделия не могут быть возвращены в
генеральную совокупность. Обычно используется в тех случаях, когда
вырабатывается ресурс изделия, что гарантирует невозможность попадания
одного изделия в выборку.
Если изделие отбирается преднамеренно (по заранее оговоренным признакам,
характеристикам), то такую выборку называют преднамеренной.
Случайная выборка образуется при отборе изделий из партии генеральной
совокупности, если для любого изделия обеспечивается равная вероятность
быть отобранным и включенным в выборку.
Единовременная выборка образуется из партии изделий после их
изготовления независимо от того, в какой момент времени изготовлено
каждое изделие.
Текущая выборка состоит из изделий, последовательно изготовленных за
определенный промежуток времени. Методику текущей выборки применяют при
анализе стабильности производства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глудкин О.П. Методы и устройства испытания РЭС и ЭВС. – М.: Высш.
школа., 2001 – 335 с
2. Испытания радиоэлектронной, электронно-вычислительной аппаратуры и
испытательное оборудование/ под ред. А.И.Коробова М.: Радио и связь,
2002 – 272 с.
3. Млицкий В.Д., Беглария В.Х., Дубицкий Л.Г. Испытание аппаратуры и
средства измерений на воздействие внешних факторов. М.: Машиностроение,
2003 – 567 с
4. Национальная система сертификации Республики Беларусь. Мн.:
Госстандарт, 2007
5. Федоров В., Сергеев Н., Кондрашин А. Контроль и испытания в
проектировании и производстве радиоэлектронных средств – Техносфера,
2005. – 504с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
