Сущность метода наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений
Изложим идею этого способа, ограничиваясь случаем линейной зависимости. Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y, Произведем обследование n видов и представим результаты исследования в виде таблицы:
x x1 … xn
y y1 … yn
Из анализа таблицы нелегко обнаружить наличие и характер зависимости между x и y. Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки, взятые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить, что между x и y существует линейная зависимостьy= ax+b, где a и b – коэффициенты, подлежащие определению,y – теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”, можно графически найти b и a=tg , однако это будут весьма неточные результаты. Для нахождения a, b применяют метод наименьших квадратов.
Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b -y=0. Точки, построенные на основе опытных данных, вообще говоря, не лежат на этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x иy заданные величины xi и yi, то окажется, что левая часть уравненияравна какой-то малой величине i=yi -yi; а именно: для первой точкиax1 + b – y1 = 1, для второй – ax2 + b – y2 = 2, для последней axn + b – yn = n. Величины 1, 2,…, n, не равные нулю, называются погрешностями. Геометрически это разность между ординатой точки на прямой и ординатой опытной точки с той же абсциссой. Погрешности зависят от выбранного положения прямой, т.е. от a и b. Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u = была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим в выражение для u вместо i их значения.
u = (ax1 + b – y1) 2 + (ax2 + b – y2) 2 +… + ( axn + b – yn)2, или u = u(a,b), где xi, yi известные величины, a и b – неизвестные, подлежащиеопределению. Выберем a и b так, чтобы u(a,b) имело наименьшеезначение. Необходимые условия экстремума , . Имеем: = 2(ax1 + b – y1)x1 +… +2 (ax1 + b – y1)xn, = 2(ax1 + b – y1) +… + 2 (ax1 + b – y1). Получаем систему:
.
Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическую формулу y = ax + b.
Принцип работы и основные разновидности полевых транзисторов
Полевые транзисторы представляют собой класс полупроводниковых приборов, в которых величина выходного тока изменяется под действием электрического поля ,создаваемого входным напряжением, благодаря чему полевые транзисторы имеют очень высокое (1-10МОМ) входное сопротивление. Указанное обстоятельство является главным достоинством этих приборов, что подчёркивается в их названии. Различают два подкласса полевых транзисторов: с управляющим p-n переходом и с изолированным затвором со структурой металл-диэлектрик-полупроводник (МДП-структура).
В полевых транзисторах первого типа управление величиной тока осуществляется поперечным электрическим полем, создаваемым напряжением, приложенным к входному электроду. Полевой транзистор с управляющим р-п переходом состоит из тонкой пластинки полупроводникового материала с одним р-п переходом в центральной части и с невыпрямляющими контактами по краям Работа этих транзисторов основана на модуляции эффективного сечения канала, которую осуществляют изменением толщины запирающего слоя обратно смещённого р-п перехода. Область, от которой начинают движение основные носители называют истоком, а область, к которой движутся основные носители – стоком. Область, используемая для управления током, протекающим через канал, называют затвором. Источник Е1 создаёт отрицательное напряжение на затворе. Ток, протекающий через канал Iс можно модулировать переменным входным напряжением. Постоянное отрицательное напряжение, при котором токопроводящий канал окажется перекрытым, называют пороговым или напряжением отсечки. К параметрам, характеризующим максимально допустимые режимы, относятся максимально допустимое напряжение между стоком и истоком, между затвором и истоком и максимально допустимая мощность рассеивания в транзисторе. На рис.25 приведены примерные выходные характеристики транзистора этого типа:
Рис.25 Cемейство выходных характеристик полевого транзистора с n-каналом и p – n переходом
В качестве основного параметра полевого транзистора используется крутизна характеристики Iс =f(Uзи) в пологой области семейства выходных характеристик:
S = dIс/dUзи при Uси = Const.
Полевые транзисторы с изолированным затвором (ПТИЗы) бывают двух типов: с встроенным каналом и с индуцируемым каналом, рассмотрим их физические модели (рис.26)
Рис. 26 Физические модели МДП полевых транзисторов
Семейства выходных характеристик указанных транзисторов приведены на рис.27.
Выходные характеристики МДП полевых транзисторов
1. Изобразить временные диаграммы входного и выходного напряжений схемы, представленной на рисунке, а также напряжений на входах логических элементов ЛЭ1 и ЛЭ2 при воздействии на вход схемы прямоугольного импульса с амплитудой, равной напряжению питания схемы и найти величину задержки переднего фронта. Логические элементы ЛЭ1 и ЛЭ2 КМОП-типа.
РАСЧЕТЫ ДАНЫ НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ ПРИ ОДНОМ ЛЭ1
В исходном состоянии на входе схемы присутствует уровень напряжения логического нуля. В соответствии с рис. 12.5 на входе ЛЭ1, т.е. на резисторе R действует напряжение UR0, равное
.
Очевидно, должно выполняться UR0 TХ, преобразователи с частотно-импульсным преобразованием являются интегрирующими. И так, в частотно-импульсных преобразователях
где k — коэффициент (крутизна) преобразования.
Значение fХ преобразуется в цифровой код за время TИ:
. (4.27)
Обобщенная структурная схема частотно-импульсного преобразователя
(ПНЧ – преобразователь напряжение − частота), реализующего рассмотренный алгоритм преобразования, приведена на рисунке 4.17. Основными функциональными узлами являются преобразователь напряжение − частота (ПНЧ) и преобразователь частота − цифровой код. Рисунок 4.17 – Структурная схема частотно-импульсного преобразователя В настоящее время известно большое число схем ПНЧ. В зависимости от метода преобразования UХ= → fХ все схемы подразделяются на две группы: с непосредственным преобразованием и с косвенным преобразованием. В ПНЧ первой группы напряжение UХ= непосредственно используется для формирования выходного сигнала частоты fХ, а в ПНЧ второй группы оно влияет на параметр, определяющий частоту выходного сигнала генератора самовозбуждения (гармонического или релаксационного). ПНЧ второй группы имеют относительно невысокие метрологические характеристики. Поэтому основное применение в частотно-импульсных преобразователях нашли ПНЧ на основе интегрирующих звеньев с замкнутым контуром. Упрощенная структурная схема такого преобразователя приведена
АЦП временного преобразования RC
В АЦП, реализующих времяимпульсный метод преобразования, измеряемая величина (в данном случае UХ=) предварительно преобразуется в пропорциональный ей интервал времени путем сравнения со значением известной величины, изменяющейся по определенному закону. Затем полученный интервал времени (также аналоговая величина) непосредственно преобразуется в цифровой код. Таким образом, преобразователи, реализующие этот метод, должны быть отнесены к средствам измерения прямого преобразования. Среди них встречаются как преобразователи мгновенного значения, так и преобразователи с аналоговым интегрированием и усреднением результатов преобразования.
Неинтегрирующий преобразователь – это преобразователь мгновенного значения с типовой структурной схемой, приведенной на рисунке 4.11.
Синхронная работа всех узлов вольтметра обеспечивается с помощью управляющего устройства (УУ), причем управление может быть как ручным, так и автоматическим. В первом случае измерения будут однократными, а во втором – периодически повторяющимися с определенным промежутком времени.
Рисунок 4.11 – Неинтегрирующий преобразователь, реализующий метод время-импульсного преобразования
Тактовый импульс УУ сбрасывает на нуль показания счетчика, полученные во время предыдущего такта, и запускает генератор линейно изменяющегося напряжения Uл (ГЛИН), с которым и осуществляется сравнение UХ= при преобразовании его во временной интервал (рисунок 4.12,а). Это сравнение производится в сравнивающих устройствах – компараторах К1 и К2, причем компаратор К1 имеет уровень срабатывания U0, а компаратор К2 – уровень срабатывания UХ=+ U0. При UЛ = U0 срабатывает К1 и образуется старт – импульс (рисунок 4.12,б), который открывает селектор. С этого момента времени начинается подсчет счетчиком импульсов, поступающих через открытый селектор от генератора счетных импульсов (ГСчИ). Импульсы следуют с периодом T0, определяющим шаг квантования в данной схеме (рисунок 4.12,г). Подсчет их продолжается до тех пор, пока UЛ не возрастет до значения UЛ = UХ= + U0. В этот момент времени срабатывает компаратор К2 и образуется стоп-импульс (рисунок 4.12,б), который закрывает селектор.
Подсчет импульсов генератора счетных импульсов прекращается, счетчик фиксирует некоторое число импульсов N, которое по команде УУ подается на выход преобразователя (например, для воспроизведения результата измерения в цифровой форме или для дальнейшего преобразования). Как видно из рисунка 4.12, измеряемое напряжение UХ= преобразовалось в интервал времени ΔtХ, причем UХ= = kΔtХ, где dt
k = dUЛ . В свою очередь, ΔtХ = N⋅T0, т.е. в результате UХ= = kT0N. При kT0 = const показание счетчика прямо пропорционально UХ=, а при kT0 = 1 – равно преобразованному напряжению в вольтах. На примере схемы (рисунок 4.11) можно указать основные источники погрешностей времяимпульсных преобразователей: – погрешность дискретности; – погрешность меры (T0 ≠ const), в качестве которой в современных типах преобразователей применяют кварцевые ГСчИ;
– погрешность преобразования UХ= в ΔtХ, определяемая нелинейностью UЛ
(k ≠ const) и погрешностью компараторов (временное положение старт- и стоп-импульса). Применение двух компараторов позволяет исключить с помощью U0 начальный нелинейный участок UЛ и значительно компенсировать нестабильность их характеристик; – погрешность за счет наложения на UХ= гармонической помехи UП с амплитудой Unm. В неблагоприятном случае эта погрешность может оказаться равной Unm/UХ=, т.е. должны предусматриваться эффективные меры обеспечения помехозащищенности.
а – сравнение напряжений UХ и UЛ при преобразовании во временной интервал ΔtX; б – импульсы на выходе компараторов; в – времязадающий импульс на выходе триггера; г – счетные импульсы Рисунок 4.12 – Временные диаграммы, характеризующие работу интегрирующего преобразователя с времяимпульсным преобразованием Преобразователи с аналоговым интегрированием позволяют определить среднее значение измеряемого напряжения за определенный фиксированный интервал времени (интервал интегрирования). Распространенным способом аналогового интегрирования является двухтактное интегрирование, называемое еще двойным, двукратным, двухшаговым и поочередным. Упрощенная структурная схема такого преобразователя приведена на рисунке 4.13, а временные диаграммы его работы показаны на рисунке 4.14.
В чем состоят особенности статистических характеристик случайных величин? Назовите числовые характеристики случайных процессов и приведите алгоритмы измерения этих величин. Приведите аналитическое выражение, графическое изображение и структурную схему системы для измерения функции распределения.
Статистические измерения, или измерения вероятностных ха-рактеристик случайных процессов, — это широкий круг методов и средств, применяемых в различных областях народного хозяйства.
Под вероятностными характеристиками случайных процессов будем понимать математическое ожидание, дисперсию, законы распределения вероятностей, корреляционные и спектральные функции.
На рис. 10.18, а изображен стационарный случайный процесс; на рис. 10.18, б — нестационарный случайный процесс с пере¬менным во времени математическим ожиданием; на рис. 10.18, в — нестационарный случайный процесс с переменной во времени дисперсией; на рис. 10.18, г — нестационарный случайный про¬цесс с переменным во времени математическим ожиданием и дисперсией
Если рассматривать стационарный случайный процесс, при¬веденный на рис. 10.19, а, то функция распределения опреде¬ляется как вероятность Р в интервале – оо
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
