13
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(государственный технический университет)
ФИЛИАЛ «ВЗЛЕТ»
Кафедра РЭВС
РАЛДЫГИН И.К.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ
«Основы теории цепей». Часть 2.
Четырехполюсники, электрические фильтры.
Учебное пособие для студентов радиотехнической специальности.
Ахтубинск – 2003
Предисловие ко 2-й части
Во второй части конспекта по Основам теории цепей (ОТЦ) кратко изложена
теория четырехполюсников (4х-П) и более подробно изложена теория
электрических фильтров.
Анализ и синтез простейших электрических фильтров проводится с
применением прикладной программы Mathcad 2000 (МС). Все расчеты,
выполненные в среде Mathcad, проверены путем электронного моделирования
по программе Electronics Workbench. Конспект, с его многочисленными
примерами, может быть использован студентами при проектировании
электрических фильтров на этапах разработки курсовых и дипломных
проектов.
Работа написана на основе 4-х-летнего опыта применения упомянутых
программ в учебном процессе.
Глава 1. Четырехполюсники
1.1 Основные определения и классификация четырехполюсников (4х-П)
Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к любым двум
парам ее зажимов, называется 4х-П, Рис.1.1.
’
’
1
1’
Рис.1.1. Схема 4х-П. Его токи и напряжения.
Понятием 4х-П пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями
на входе «1-1’» и на выходе «2-2’».
В качестве 4х-П могут быть представлены: трансформатор, выпрямитель,
электрический фильтр и другие устройства с двумя парами зажимов.
Четырехполюсники делятся на активные и пассивные. В составе активных
4х-П имеются источники энергии. Пассивные 4х-П не содержат источников
энергии.
Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Если в состав 4х-П
входит хотя бы один нелинейный элемент, то такой4х-П называется
нелинейным. В данной работе рассматриваются только линейные 4х-П.
По схеме внутренних соединений различают Г-образные, Т-образные,
П-образные и другие 4х-П, Рис.1.2.
Рис.1.2. Электрические схемы 4х-П.
Основной смысл теории 4х-П заключается в том, что, пользуясь некоторыми
обобщенными параметрами, можно находить ток и напряжение на выходе 4х-П,
не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы.
1.2 Системы уравнений четырехполюсников
Уравнениями 4х-П называют комплексные уравнения, связывающие комплексные
действующие значения токов и напряжений на его входе и выходе.
Линейный пассивный 4х-П, естественно, описывается линейными уравнениями.
Из четырех величин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характеризующих 4х-П, две должны быть заданы, а две другие определяются
из уравнения 4х-П. Всего, таким образом, может быть составлено шесть
форм записи уравнений.
Если 4х-П выполняет роль передаточного звена между источником и
приемником электрической энергии, то обычно пользуются уравнениями в
форме А: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В этих уравнениях А11, А12, А21, А22 называются коэффициентами формы А.
Они, в общем случае, являются комплексными числами, модули которых
зависят от частоты.
Физический смысл коэффициентов формы А можно пояснить, если мысленно
выполнить опыты холостого хода и короткого замыкания.
В режиме холостого хода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.
Уравнение (1.1.) принимает следующий вид:
Отсюда получаем:
– отношение входного напряжения к выходному в режиме холостого хода;
– передаточная проводимость в режиме холостого хода.
В режиме короткого замыкания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.
Уравнения (1.1) принимают вид:
Отсюда получаем:
– передаточное сопротивление в режиме короткого замыкания;
– отношение тока на входе к току на выходе в режиме короткого замыкания.
Основное свойство коэффициентов формы А состоит в том, что определитель,
составленный из этих коэффициентов, равен единице:
Из этого уравнения следует, что для составления системы (1.1) в форме А
необходимо и достаточно определить только любые три коэффициента.
Четвертый коэффициент определяется из (1.2).
Рассмотрим Г-образный 4х-П, изображенный на Рис.1.3, и определим для
него коэффициенты формы А.
1 2
1’ 2’
Рис.1.3. Схема Г-образного 4х-П.
При определении коэффициентов формы А будем считать, что комплексные
сопротивления Z1 и Z2 заданы.
Проведем опыт холостого хода: зажимы 2-2’ – разомкнуты,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В этом случае ток на входе и напряжение на выходе определяются по закону
Ома в комплексной форме:
Эти выражения можно записать так:
Отсюда получаем значения А11 и А21, выраженные через сопротивления Z1 и
Z2:
Теперь проведем опыт короткого замыкания: зажимы 2-2’ закорочены,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При этом в цепи осталось только одно сопротивление Z1 и, следовательно:
Таким образом, коэффициенты формы А Г-образного 4х-П можно представить в
виде следующей матрицы
Аналогичным образом можно получить матрицу коэффициентов формы А для
Т-образного4х-П:
Кроме формы А (1,1) существуют еще пять форм записи уравнений 4х-П.
Приведем еще две формы.
Форма Z.
Форма Y.
Полный перечень форм записи уравнений 4х-П приводится в учебниках,
задачниках и справочниках по ОТЦ.
Если известны коэффициенты хотя бы одной формы записи уравнений 4х-П, то
можно найти коэффициенты любой другой формы, решив систему уравнений,
например (1,1) относительно искомых токов или напряжений.
1.3 Входное сопротивление, сопротивления холостого хода и короткого
замыкания
Рассмотрим произвольный 4х-П с известными коэффициентами формы А,
который нагружен активным сопротивлением R, Рис.1.4.
’
’
1
R
1’
Рис.1.4. Схема 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R
Определим входное сопротивление 4х-П Рис.1.4., т.е. сопротивление со
стороны зажимов 1-1’.
По закону Ома в комплексной форме входное сопротивление есть отношение
входного напряжения к входному току (1.1):
Полученное выражение входного сопротивления показывает, что 4х-П может
быть применен для преобразования сопротивления между источником и
приемником.
Сопротивление холостого хода 4х-П представляет собой частный случай
входного сопротивления (1.5) при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Сопротивление короткого замыкания получается из (1.5) при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1.4 Передаточная функция четырехполюсника
При проектировании радиотехнических устройств широко применяются
электрические фильтры, которые удобно рассматривать как 4х-П,
предназначенные для передачи сигналов от входа к выходу с определенной
избирательностью.
Передаточной функцией по напряжению называется отношение выходного
напряжения к входному:
Модуль этого отношения представляет собой амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ), а аргумент – фазо-частотную характеристику (ФЧХ).
Эти характеристики являются основными при выборе электрических фильтров.
Амплитудно-частотная характеристика показывает, во сколько раз выходное
напряжение меньше (или больше) входного, ФЧХ дает сдвиг фаз между
входным и выходным напряжениями.
Определим АЧХ и ФЧХ произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы
А, нагруженного активным сопротивлением R, Рис.1.4. С этой целью запишем
первое уравнение системы (1.1) в следующем виде:
Поскольку коэффициенты формы А, в общем случае, являются комплексными
числами, зависящими от частоты, постольку выражение в скобках (1.6)
можно записать в алгебраической форме:
где а(щ) – действительная часть;
b(щ) – мнимая часть.
После этого связь входного и выходного напряжений (1.6) можно выразить
следующим образом:
Для определения ФЧХ 4х-П за начало отсчета сдвига фаз между входным и
выходным напряжениями примем вектор выходного напряжения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, который направим по оси абсцисс, т.е. горизонтально.
При таком выборе начала отсчета положение вектора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 на комплексной плоскости целиком определяется величинами а(щ)и b(щ)
и их знаками:
Расчет ФЧХ по (1.8) дает сдвиг фаз, выраженный в радианах. Ключ для
определения этого угла показан на Рис.1.5:
j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ц
0 +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-j
Рис.1.5. Ключ для определения сдвига фаз между входным и выходным
напряжениями
На основании (1.7) комплексная передаточная функция по напряжению
произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А и нагруженного
активным сопротивлением R, принимает вид:
Модуль передаточной функции 4х-П, т.е. его АЧХ:
Таким образом, по формулам (1.8) и (1.10) можно рассчитать АЧХ и ФЧХ
любого 4х-П при известных коэффициентах формы А и нагрузке R.
Пример 1.1. Задана электрическая схема Г-образного 4х-П (Рис.1.6) и его
параметры R, L, C. Данный 4х-П подключен к источнику синусоидального
напряжения. Необходимо найти формулы для расчета АЧХ и ФЧХ этого 4х-П.
L
1 2
Z1
Z2 C R
1’ 2’
Рис.1.6. Электрическая схема г-образного 4х-П, нагруженного активным
сопротивлением R
Решение. Комплексные сопротивления плеч 4х-П:
Коэффициенты формы А (1.3):
Комплексная передаточная функция:
Модуль передаточной функции:
где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Фазо-частотная характеристика
Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов по формулам
(1.11), (1.12) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ
Г-образного 4х-П, изображенного на Рис.1.6.
1.5 Каскадное соединение четырехполюсников
Рассмотрим так называемое каскадное соединение 4х-П (Рис.1.7), при
котором входные зажимы каждого последующего 4х-П присоединяются к
выходным зажимам предыдущего.
’
’’
’
’’
Рис.1.7. Каскадное соединение 4х-П
Эти два 4х-П, взятые вместе, можно рассматривать как один эквивалентный.
Определим параметры эквивалентного 4х-П через известные параметры
первого и второго четырехполюсников.
Пусть заданы матрицы коэффициентов формы А двух каскадно соединенных
4х-П.
Из теории известно, что матрица коэффициентов формы А двух каскадно
соединенных 4х-П равна произведению матриц отдельных 4х-П:
Это правило, распространяется на случай каскадного соединения любого
числа 4х-П. При этом матрицы, подлежащие перемножению, записываются в
порядке следования 4х-П, т.к. умножение матриц не подчиняется
переместительному закону.
1.6 Одноэлементые четырехполюсники
Простейшими 4х-П являются одноэлементные 4х-П, состоящие из
последовательного (Рис.1.8а) и параллельного (Рис.1.8б) двухполюсника.
Z1 Z2
а) б)
Рис.1.8. Одноэлементный 4х-П
Матрицы коэффициентов формы А одноэлементных 4х-П:
С помощью этих матриц М1 и М2 можно получить коэффициенты формы А любого
4х-П, построенного по лестничной схеме. Для этого необходимо перемножить
матрицы М1 и М2 столько раз, сколько раз встречаются параллельный и
последовательный 2х-П.
Например, коэффициенты формы А Г-образного 4х-П получаются после
перемножения матриц М1 и М2 (см.1.3):
Глава 2. Электрические фильтры нижних частот
2.1 Основные определения и классификация электрических фильтров
Электрическим фильтром называется устройство, при помощи которого
электрические колебания разных частот отделяются друг от друга.
Электрический фильтр представляет собой пассивный 4х-П, пропускающий
сигналы в некоторой полосе частот с малым затуханием, а за пределами
этой полосы сигналы проходят в нагрузку с большим затуханием.
Полоса частот, в пределах которой передаточная функция по напряжению
(1.10) принимает не менее заданного значения
называется полосой пропускания. Остальная область частот называется
полосой задерживания. Частоты, разделяющие эти полосы, называются
граничными.
В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры разделяются на:
l фильтры нижних частот (ФНЧ);
l фильтры верхних частот (ФВЧ);
l полосовые фильтры (ПФ);
l заграждающие фильтры (ЗФ).
В зависимости от электрической схемы фильтры разделяются на Г-образные,
Т-образные, П-образные и другие.
В зависимости от числа реактивных элементов, входящих в состав фильтра,
различают фильтры первого порядка, второго порядка и т.д.
По составу элементов фильтры делятся на активные и пассивные. Активные
фильтры содержат источники электрической энергии, а пассивные их не
содержат.
По способу обработки сигналов фильтры делятся на аналоговые и цифровые.
В данном курсе рассматриваются только пассивные электрические фильтры,
построенные на идеальных линейных R, L, C-элементах.
2.2 Общий принцип действия линейных пассивных электрических фильтров
Рассмотрим электрический фильтр, частотные характеристики которого
известны и описываются формулами (1.8)и (1.10).
Пусть на вход данного фильтра поступает сигнал в виде суммы различных
частот
Определим структуру сигнала на выходе фильтра.
В силу линейности фильтра, сигнал на выходе будет также представлять
сумму синусоидальных напряжений. При этом изменятся амплитуды и
начальные фазы составляющих, а частоты составляющих на выходе фильтра
одинаковы:
Амплитуды составляющих на выходе определяются передаточной функцией
фильтра (1.10):
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями определяется
фазо-частотной характеристикой фильтра (1.8):
В дальнейшем будем полагать, что на вход фильтра подается синусоидальное
напряжение, частота которого изменяется от нуля до бесконечности.
2.3 Общая характеристика фильтров нижних частот
Фильтры нижних частот (ФНЧ) предназначены для пропускания в нагрузку
сигналов малой частоты и подавления сигналов большой частоты.
Полоса пропускания ФНЧ определяется его граничными частотами:
f1=0 – нижняя граница полосы пропускания;
f2 – верхняя граница полосы пропускания, которая определяется
назначением данного конкретного фильтра.
В теории фильтров рассматриваются идеальные и реальные фильтры.
Идеальным ФНЧ называется фильтр, передаточная функция которого (1.10) в
полосе пропускания равна единице, а за пределами полосы пропускания она
равна нулю:
Передаточная функция реального фильтра в полосе пропускания не равна
единице, а в полосе задерживания – не равна нулю.
Передаточные функции по напряжению идеального и реального фильтров
нижних частот показаны на Рис.2.1.
H(f)
Передаточная функция идеального ФНЧ
Передаточная функция реального ФНЧ
H1
Полоса
пропускания Полоса задерживания
H22
f2 f22 f
Рис.2.1. Передаточные функции идеального и реального фильтров нижних
частот
Количественную оценку избирательности фильтра целесообразно производить
с помощью коэффициента прямоугольности передаточной функции по
напряжению или мощности.
Для расчета коэффициента прямоугольности передаточной функции фильтра
введем в рассмотрение передаточную функцию по мощности, которую
определим следующим образом.
Максимально возможная мощность, которая может быть выделена в нагрузке в
случае идеального фильтра, определяется по формуле:
где U1 – действующее значение входного напряжения;
R – сопротивление нагрузки.
Фактическая мощность, выделяемая в нагрузке реального фильтра,
определяется действующим значением выходного напряжения, которое зависит
от частоты входного напряжения:
Передаточной функцией по мощности будем называть отношение мощности,
выделяемой в нагрузке реального фильтра (2.2) к мощности, выделяемой в
нагрузке, идеального фильтра:
Таким образом, передаточная функция по мощности есть квадрат
передаточной функции по напряжению (2.3).
Отметим, что в известных учебниках по ОТЦ частотные характеристики
фильтров оцениваются затуханием, которое выражается в децибелах (дБ):
Из этой формулы следует, что фактически производится оценка затухания
(ослабления) сигнала по мощности.
Поскольку физический смысл формулы (2.4) спрятан под знаком логарифма,
постольку в дальнейшем будем пользоваться более простой формулой (2.3),
физический смысл которой более прост и понятен.
Расчет коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности ФНЧ
будем производить следующим образом.
Определим частоту, на которой передаточная функция по мощности
составляет 5% от максимума:
За пределами этой частоты будем считать, что передаточная функция равна
нулю
Определим полную площадь под кривой передаточной функции (Рис.2.1):
Определим также площадь под кривой передаточной функции в пределах
полосы пропускания (0…f2), где передаточная функция по напряжению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 а передаточная
функция по мощности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 (Рис.2.1):
Коэффициентом прямоугольности передаточной функции по мощности будем
называть отношение найденных площадей:
По физической сущности коэффициент прямоугольности представляет собой
коэффициент полезного использования площади под кривой передаточной
функции по мощности и дает представление о степени соответствия
реального фильтра идеальному с той же полосой пропускания.
2.4 Емкостной фильтр нижних частот
2.4.1 Частотные характеристики емкостного фильтра нижних частот первого
порядка (ФНЧ-1)
Рассмотрим электрическую схему, изображенную на Рис.2.3, которая
представляет собой простейший фильтр нижних частот первого порядка
(ФНЧ-1).
.
1 2
С R
1’ 2’
Рис.2.3. Емкостной фильтр нижних частот (ФНЧ-1)
Работа ФНЧ-1:
При
При
На малых частотах емкость обладает большим сопротивлением и поэтому весь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 проходит только через резисторы r, R, не ответвляясь в емкость.
На больших частотах емкость обладает малым сопротивлением. Она
закорачивает нагрузку и поэтому выходное напряжение мало.
Определим для этого фильтра АЧХ и ФЧХ, рассматривая его как Г-образный
4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6):
где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 –
эквивалентное сопротивление при параллельном соединении R и r.
Из (2.8) получаем фазо-частотную характеристику ФНЧ-1: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Передаточные функции ФНЧ-1 принимают вид: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где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 –
значение передаточной функции на частоте щ=0.
Теперь, по формулам (2.9) и (2.10) можно, при известных значениях R, r,
C-элементов, рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ простейшего
фильтра нижних частот (ФНЧ-1).
При изучении частотных характеристик фильтров удобно пользоваться АЧХ
ФЧХ в параметрической форме. Для этого необходимо ввести в рассмотрение
приведенную, или так называемую нормированную частоту, которая, в данном
случае, определяется по формуле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где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 – граничная частота, на которой реактивное сопротивление емкости
равно активному сопротивлению
picscalex100010009000003c801000003001c0000000000050000000902000000000500
0000020101000000050000000102ffffff00050000002e01180000000500000031020100
0000050000000b0200000000050000000c02600400071200000026060f001a00ffffffff
000010000000c0ffffffb9ffffffc0060000190400000b00000026060f000c004d617468
547970650000000108000000fa0200001000000000000000040000002d01000005000000
14020002400005000000130200023b031c000000fb0280fe000000000000900100000000
0402001054696d6573204e657720526f6d616e00ae87ed77d067ef775a040ab600000a00
040000002d01010008000000320a60026506010000002e7908000000320a6d015e010100
000031791c000000fb0220ff0000000000009001000000000402001054696d6573204e65
7720526f6d616e00ae87ed77d067ef7768030aa300000a00040000002d01020004000000
f001010008000000320ac002ca050100000030791c000000fb0280fe0000000000009001
010000000402001054696d6573204e657720526f6d616e00ae87ed77d067ef775a040ab7
00000a00040000002d01010004000000f001020008000000320a6002d804010000005279
1c000000fb0280fe0000000000009001010000cc0402001054696d6573204e657720526f
6d616e00ae87ed77d067ef7768030aa400000a00040000002d01020004000000f0010100
08000000320a8e03130201000000d1791c000000fb0220ff000000000000900101000000
0402001054696d6573204e657720526f6d616e00ae87ed77d067ef775a040ab800000a00
040000002d01010004000000f001020008000000320aee0377010100000067791c000000
fb0280fe0000000000009001000000020002001053796d626f6c000068030aa5a587ed77
ae87ed77d067ef7768030aa500000a00040000002d01020004000000f001010008000000
320a6002a103010000003d791c000000fb0280fe00000000000090010100000200020010
53796d626f6c00005a040ab9a587ed77ae87ed77d067ef775a040ab900000a0004000000
2d01010004000000f001020008000000320a8e033d000100000077790a00000026060f00
0a00ffffffff0100000000001c000000fb021000070000000000bc02000000cc01020222
53797374656d00775504669707008a0100000a0007008a0107008a0100000a0004000000
2d01020004000000f0010100030000000000
Запишем (2.9) и (2.10) в параметрической форме: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Параметрические функции (2.11) и (2.12) позволяют проводить общий анализ
АЧХ и ФЧХ фильтра при заданных значениях R, r-элементах и произвольном
значении емкости С.
Пример 2. Рассчитать и построить графики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 при следующих
исходных данных:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника.
Оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Результаты расчетов представлены на Рис.2.4 и Рис.2.5.
Из этих рисунков видно, что передаточная функция по мощности при частоте
н=0 принимает значение H(0)=0,98, а затем плавно уменьшается с
увеличением частоты. Коэффициент прямоугольности этой функции составляет
всего П=0,545. Это означает, что данный фильтр соответствует идеальному
фильтру на 54,5%.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями изменяется от 0 до 900.
При этом выходное напряжение опережает входное.
2.4.2 Синтез емкостного фильтра нижних частот первого порядка
Синтез (проектирование) любого технического устройства начинается с
разработки технического задания (ТЗ), в котором приводятся исходные
данные и формулируются требования к устройству.
Применительно к ФНЧ-1 техническое задание на его проектирование можно
изложить следующим образом:
1. Спроектировать емкостной фильтр нижних частот, схема которого
приведена на Рис.3.2.
2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота
которых изменяется от 0 до ?.
3. Сопротивление нагрузки R, а внутреннее сопротивление источника r,
(R>>r).
4. Передаточная функция по напряжению на нижней границе полосы
пропускания (f1=0) должна принимать значение, близкое к единице, а на
верхней границе f2 передаточная функция должна принимать значение
H(f2)=H1.
5. Определить потребное значение емкости, рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра,
оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
В условиях данной задачи неизвестной величиной является только емкость,
которую достаточно просто можно найти из уравнения передаточной функции.
Однако, в интересах общности изложения последующего материала
воспользуемся передаточной функцией в параметрической форме (2.14), из
которой найдем значение приведенной частоты 2, на которой передаточная
функция (2.12) принимает заданное значение H1:
Очевидно, что (2.14) имеет смысл только при H1
Теперь формулу (2.11) можем записать в виде
откуда находим потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2:
Пример 2.2. Спроектировать ФНЧ-1 Рис.2.3 при следующих исходных данных:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника;
f2=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H1=H(f2)=0,707 – значение передаточной функции на верхней границе полосы
пропускания;
1=(f2)=0,5 – значение передаточной функции по мощности на верхней
границе полосы пропускания.
Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности
передаточной функции по мощности.
Результаты расчетов представлены на Рис.2.6 и Рис.2.7.
Из этих рисунков видно, что на верхней границе полосы пропускания
f2=1000 Гц передаточная функция по мощности (f2)=0,5, что соответствует
требованиям технического задания.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями (f2)=42,071 град.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет
П=0,545.
Потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2 составляет
С=30,17 мкФ.
2.5 Г-образный фильтр нижних частот (ФНЧ-2)
2.5.1 Частотные характеристики ФНЧ-2
В целях повышения коэффициента прямоугольности передаточной функции по
мощности применяют фильтры нижних частот второго порядка, в состав
которых входят два реактивных элемента: L и C.
Рассмотрим Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на Рис.2.8
(см.также Рис.1.6).
L
Z1
Z2 C R
Рис.2.8. Электрическая схема Г-образного ФНЧ
Работа Г-образного ФНЧ:
при
при
На малых частотах индуктивное сопротивление мало, а емкостное
сопротивление велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым
ослаблением, не ответвляясь в емкость.
На больших частотах индуктивное сопротивление велико, а емкостное
сопротивление мало. Ток, прошедший через индуктивность, закорачивается
емкостью. Поэтому выходное напряжение мало.
Определим АЧХ и ФЧХ Г-образного ФНЧ, рассматривая его как Г-образный
4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Комплексные сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6) принимает вид:
Обозначим, как и ранее, действительную и мнимую части (2.16):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 – действительная часть;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 – мнимая часть.
Уравнение (2.16) запишем в виде:
Фазочастотная характеристика ФНЧ-2 определяется по формуле:
Комплексная передаточная функция по напряжению определяется из (2.17):
Модули передаточных функций по напряжению и мощности принимают вид:
Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов, по формулам
(2.18), (2.20) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ
Г-образного ФНЧ.
С целью общего анализа частотных характеристик Г-образного ФНЧ
представим передаточные функции (2.20) в параметрической форме, для чего
обозначим:
После подстановки обозначений в (2.20) получим передаточные функции в
параметрической форме:
Пример 2.3. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции
по мощности в параметрической форме для трех значений коэффициента
нагрузки:
Определить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности
при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Расчет передаточной функции по мощности, выполненный по формуле (2.21)
приведен на Рис.2.9.
Из Рис.2.9 следует, что при Q1=0,8 передаточная функция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достигает своего максимума, равного 1,86, а затем плавно уменьшается,
Этот всплеск передаточной функции может быть желательным или
нежелательным в зависимости от конкретного назначения фильтра.
При Q2=1 всплеск передаточной функции
picscalex1000100090000030a01000002001c0000000000050000000902000000000500
0000020101000000050000000102ffffff00050000002e01180000000500000031020100
0000050000000b0200000000050000000c022002e0031200000026060f001a00ffffffff
000010000000c0ffffffa6ffffffa0030000c60100000b00000026060f000c004d617468
54797065000050001c000000fb0280fe0000000000009001000000000402001054696d65
73204e657720526f6d616e00ae87ed77d067ef7707050a9b00000a00040000002d010000
08000000320a8001190301000000297908000000320a8001c3010100000028791c000000
fb0220ff0000000000009001000000000402001054696d6573204e657720526f6d616e00
ae87ed77d067ef7749040af800000a00040000002d01010004000000f001000008000000
320ae00116010100000032791c000000fb0280fe00000000000090010100000200020010
53796d626f6c000007050a9ca587ed77ae87ed77d067ef7707050a9c00000a0004000000
2d01000004000000f001010008000000320a80011702010000006e7908000000320a8001
10000100000068790a00000026060f000a00ffffffff0100000000001c000000fb021000
070000000000bc02000000cc0102022253797374656d0077f504662507008a0100000a00
07008a0107008a0100000a00040000002d01010004000000f0010000030000000000
значительно меньше и при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 он вовсе отсутствует.
Таким образом, характер изменения передаточной функции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 Г-образного ФНЧ целиком
определяется значением коэффициента нагрузки Q, который, в свою очередь,
зависит от комбинации значений RLC-элементов. Следовательно, путем
соответствующего выбора LC-элементов можно изменить форму кривой
передаточной функции.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности при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 составляет П=0,807, что значительно больше, чем у
ФНЧ-1.
2.5.2 Синтез Г-образного фильтра нижних частот
Техническое задание на проектирование Г-образного ФНЧ формулируется
следующим образом.
1. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена на
Рис.2.8.
2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота
которых изменяется от нуля до бесконечности.
3. Передаточные функции по напряжению и мощности в полосе пропускания
(0…f2), должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь всплесков,
превышающих единицу, и на верхней границе полосы пропускания должны
принимать значения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.
4. Сопротивление нагрузки чисто активное, равное R.
5. Рассчитать потребные значения индуктивности и емкости для построения
фильтра. Построить графики АЧХ и ФЧХ, оценить коэффициент
прямоугольности передаточной функции по мощности.
Порядок проведения расчетов состоит в следующем.
Из анализа ТЗ и формул передаточных функций (2.20) следует, что при
заданных значениях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 необходимо найти два неизвестных параметра L и C, при которых
фильтр будет удовлетворять требованиям технического задания.
Другими словами, необходимо найти такие значения L, С-элементов, при
которых передаточная функция H() проходит через точку на плоскости с
координатами 2, H1.
Математически это означает, что для определения двух неизвестных
необходимо составить два независимых уравнения и решить эту систему
относительно L и С.
Для составления первого уравнения необходимо из семейства кривых Рис.2.9
выбрать кривую, которая соответствует требованиям ТЗ, и по ней при
заданном значении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 найти значение приведенной частоты 2.
В данном случае требованиям ТЗ удовлетворяет передаточная функция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,
построенная при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.
Точное значение приведенной частоты определяется путем решения
уравнения:
Результаты расчетов по формуле (2.22) при
picscalex1000100090000036a01000004001c0000000000050000000902000000000500
0000020101000000050000000102ffffff00050000002e01180000000500000031020100
0000050000000b0200000000050000000c02800280051200000026060f001a00ffffffff
000010000000c0ffffffb6ffffff40050000360200000b00000026060f000c004d617468
547970650000600008000000fa0200001000000000000000040000002d01000005000000
140264017a030500000013024801ab0308000000fa020000200000000000000004000000
2d0101000500000014025001ab03050000001302d001f203040000002d01000005000000
1402d001fa03050000001302520058040500000014025200580405000000130252003e05
1c000000fb0280fe0000000000009001000000000402001054696d6573204e657720526f
6d616e00ae87ed77d067ef7713040ab300000a00040000002d01020008000000320ac001
70040100000032791c000000fb0220ff0000000000009001000000000402001054696d65
73204e657720526f6d616e00ae87ed77d067ef7716050a7f00000a00040000002d010300
04000000f001020008000000320a200247010100000033791c000000fb0280fe00000000
00009001000000020002001053796d626f6c000013040ab4a587ed77ae87ed77d067ef77
13040ab400000a00040000002d01020004000000f001030008000000320ac00141020100
00003d791c000000fb0280fe0000000000009001010000000402001054696d6573204e65
7720526f6d616e00ae87ed77d067ef7716050a8000000a00040000002d01030004000000
f001020008000000320ac0012f000100000051790a00000026060f000a00ffffffff0100
000000001c000000fb021000070000000000bc02000000cc0102022253797374656d0077
4c05661607008a0100000a0007008a0107008a0100000a00040000002d01020004000000
f0010300030000000000 приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1.
H10.7070.60.50.40.30.20.121.01.551.3161.5131.7832.2133.154
Найденная приведенная частота 2 связана с верхней границей полосы
пропускания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 и
неизвестной резонансной частотой 0 следующим соотношением:
Отсюда получаем первое независимое уравнение для определения неизвестных
LC-элементов
Выбранная кривая передаточной функции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построена при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.
Следовательно, второе независимое уравнение можно записать в виде:
Совместное решение (2.23) и (2.24) дает формулы для определения
неизвестных LC-элементов:
Теперь по формулам (2.18), (2.20), и (2.25) можно рассчитать потребные
значения LC-элементов для построения Г-образного ФНЧ, а также рассчитать
и построить графики АЧХ и ФЧХ этого спроектированного фильтра.
Пример 2.4. Спроектировать Г-образный ФНЧ, схема которого представлена
на Рис.2.8:
Исходные данные:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
f2=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H(f2)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней
границе полосы пропускания.
Требование к фильтру: передаточные функции по напряжению и мощности в
полосе пропускания должны быть максимально плоскими, т.е. не иметь
всплесков и провалов.
Решение. Из Рис.2.9. выбираем кривую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,
которая удовлетворяет требованиям технического задания.
Из таблицы 2.1 по заданному значению Н1=Н(f2)=0,707 выбираем
соответствующее значение приведенной частоты 2=1.
По формулам (2.25) определяем потребные значения LC-элементов для
построения Г-образного ФНЧ.
По формулам (2.18) и (2.20) рассчитываем АЧХ и ФЧХ спроектированного
фильтра и оцениваем коэффициент прямоугольности передаточной функции по
мощности этого фильтра.
Результаты расчетов приведены на Рис.2.10 и Рис.2.10а.
Из этих результатов главными являются найденные значения индуктивности и
емкости: L=23 мГн и С=1,125 мкФ, при которых передаточные функции на
верхней границе полосы пропускания принимают заданные значения: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Следовательно, спроектированный Г-образный ФНЧ удовлетворяет требованиям
технического задания.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Г-образного
ФНЧ составляет П=0,807.
Отметим, что изложенный порядок проектирования носит общий характер и
может применяться в среде Mathcad при любой комбинации исходных данных:
H1, f2, R, Q.
2.6 Т-образный фильтр нижних частот
2.6.1 Частотные характеристики Т-образного фильтра нижних частот
В целях дальнейшего повышения коэффициента прямоугольности применяют
фильтры третьего порядка, к числу которых относится Т-образный ФНЧ,
изображенный на Рис.2.11.
L1 L2
Z1 Z3
Z2 C R
Рис.2.11. Электрическая схема Т-образного ФНЧ
Работа Т-образного ФНЧ
На малых частотах индуктивные сопротивления Z1, Z3 малы, а емкостное
сопротивление Z2 велико, поэтому ток проходит в нагрузку с малым
ослаблением.
На больших частотах на пути тока в нагрузку стоят два больших
сопротивления индуктивностей L1 и L2, а ток, прошедший через L1
закорачивается малым емкостным сопротивлением.
Определим АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, рассматривая его как Т-образный
4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Комплексные сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
где – коэффициент асимметрии фильтра, который может быть выбран в
пределах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Уравнение связи входного и выходного напряжений:
Фазо-частотная характеристика фильтра определяется по формулам (1.8), а
передаточная функция по напряжению рассчитывается по формуле (1.10).
Таким образом, при известных значениях RLC – элементов можно рассчитать
и построить графики АЧХ и ФЧХ Т-образного ФНЧ, используя формулы (1.8),
(1.10) и (2.26).
Представим, как и ранее для Г-образного ФНЧ, передаточные функции по
напряжению и мощности в параметрической форме:
Пример 2.5. Рассчитать и построить семейство кривых передаточной функции
по мощности в параметрической форме (2.27) для трех значений
коэффициента нагрузки:
Результаты расчетов представлены на Рис.2.12.
Из Рис.2.12 следует, что для Т-образного несимметричного ФНЧ оптимальным
значением коэффициента нагрузки следует считать Q2=1,0 при коэффициенте
асимметрии
picscalex1000100090000030a01000002001c0000000000050000000902000000000500
0000020101000000050000000102ffffff00050000002e01180000000500000031020100
0000050000000b0200000000050000000c020002a0051200000026060f001a00ffffffff
000010000000c0ffffffc6ffffff60050000c60100000b00000026060f000c004d617468
54797065000050001c000000fb0280fe0000000000009001000000000402001054696d65
73204e657720526f6d616e00ae87ed77d067ef77e9040a4100000a00040000002d010000
08000000320a6001ed0302000000343508000000320a60018703010000002c3508000000
320a6001cc020100000030351c000000fb0280fe00000000000090010000000200020010
53796d626f6c000002040a12a587ed77ae87ed77d067ef7702040a1200000a0004000000
2d01010004000000f001000008000000320a6001a701010000003d351c000000fb0280fe
0000000000009001010000020002001053796d626f6c0000e9040a42a587ed77ae87ed77
d067ef77e9040a4200000a00040000002d01000004000000f001010008000000320a6001
46000100000062350a00000026060f000a00ffffffff0100000000001c000000fb021000
070000000000bc02000000cc0102022253797374656d00772c05667d07008a0100000a00
07008a0107008a0100000a00040000002d01010004000000f0010000030000000000,
который был определен в результате предварительных исследований.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности Т-образного
несимметричного ФНЧ при Q=1 и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равен П=0,905.
2.6.2. Синтез Т-образного фильтра нижних частот
Поставим задачу спроектировать Т-образный несимметричный ФНЧ по ТЗ на
проектирование Г-образного ФНЧ.
Из Рис.2.11 видно, что в состав Т-образного фильтра входят три
неизвестных реактивных элемента: L1, L2 и С, которые необходимо
определить.
Следовательно, для определения трех неизвестных необходимо составить
три независимых уравнения.
Порядок определения L1 и С аналогичен порядку определения этих элементов
для Г-образного ФНЧ.
Из семейства кривых Рис.2.12 выбираем кривую, которая удовлетворяет
требованиям ТЗ. В данном случае выбираем кривую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которая построена при Q2=1.
После этого определяем значение приведенной частоты 2, на которой
Н(2)=Н1. Для этого решаем следующее уравнение:
в результате получим таблицу 2.2.
Таблица 2.2.
Н10,7070,60,50,40,30,20,121,50361,6151,7301,8672,0492,3272,890
Далее, как и для Г-образного ФНЧ, можем записать два уравнения для
определения L1 и С:
Совместное решение этих уравнений дает формулы для определения L1 и С:
Значение второй индуктивности L2 определяется из условия выбранного
коэффициента асимметрии
Пример 2.6. Спроектировать Т-образный ФНЧ, схема которого показана на
Рис.2.11.
Исходные данные:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
f2=1000 Гц – верхняя граница полосы пропускания;
H1=H(f2)=0,707 – значение передаточной функции по напряжению на верхней
границе полосы пропускания.
Передаточные функции H(f) и (f) в полосе пропускания не должны иметь
всплесков и провалов.
Решение. Из таблицы 2.2 по заданному значению H1=H(f2)=0,707 при Q=1
выбираем значение приведенной частоты 2=1,5036.
Потребные значения индуктивностей и емкости определяем по (2.28),
(2.29).
Расчет передаточной функции по мощности проведем по формуле (1.10), ФЧХ
– по формуле (1.8) с учетом (2.26).
Результаты расчетов представлены на Рис.2.14, Рис.2.14а.
Из этого рисунка видно, что потребные значения индуктивностей и емкости
для построения несимметричного Т-образного ФНЧ составляют: L1=24мГн,
L2=11 мГн, C=2,389 мкФ.
Передаточные функции на верхней границе полосы пропускания принимают
значения: Н(f2)=0,707, (f2)=0,5, что и требовалось по техническому
заданию.
Коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности составляет
П=0,905.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
