СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§1. Логика предикатов с одним переменным . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .5
§2. Практика по решению проблемы разрешимости формул, содержащих
предикаты от одного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
ВВЕДЕНИЕ
Проблема разрешимости — эта проблема ставится для формул исчисления
предикатов, лишённых символов постоянных предметов и символов
индивидуальных предикатов. В последующем изложении предполагается, что
рассматриваемые формулы таковы (если не сделано специальных оговорок).
Каждая такая формула представляет собой определённое утверждение,
истинное или ложное, когда оно относится к определённому полю M.
Если такая формула истинна для некоторого поля M и некоторых предикатов,
на нём определённых, мы будем называть её выполнимой.
Если формула истинна для данного поля M и для всех предикатов,
определённых на M, мы будем называть её тождественно истинной для поля
M.
Если формула истинна для всякого поля M и для всяких предикатов, будем
называть её тождественно истинной или просто истинной.
ложна, и наоборот.
Постановка проблемы разрешимости для логики предикатов аналогична
постановке этой проблемы для алгебры высказываний. Её решение и является
целью данной курсовой работы. Итак, проблема ставится следующим образом:
дать эффективный способ для определения — является ли данная формула
выполнимой или нет.
, мы тем самым проверим истинность U. Проблема разрешимости для логики
предикатов является усилением проблемы разрешимости для исчисления
высказываний, так как все формулы исчисления высказываний входят в число
формул логики предикатов. Однако в то время как решение проблемы
разрешимости для исчисления высказываний никаких трудностей не
представляет, проблема разрешимости для логики предикатов оказалась
связанной с серьёзными трудностями.
Современные исследования пролили свет на природу этих затруднений. В
настоящее время представляется достаточно ясным, что решение этой
проблемы в указанном смысле вообще невозможно. Иначе говоря, не может
существовать никакого конструктивного правила, которое позволяло бы
определять для любой формулы логики предикатов, является ли она
тождественно истинной или нет. Для некоторых частных типов формул,
однако, проблема разрешимости решается. Мы рассмотрим наиболее важный
тип формул, для которых решение проблемы разрешимости может быть
осуществлено, это формулы логики предикатов, зависящие от одного
переменного.
Основные понятия
Пусть M – некоторое множество предметов и a, b, c, d – какие-то
определённые предметы из этого множества. Тогда высказывания об этих
предметах мы будем обозначать в виде
P(a), Q(b), R(c, d) и т.д.
P(a) обозначает высказывание о предмете a, Q(b) – высказывание о
предмете b, R(c, d) – высказывание о предметах c и d и т.д.
Такие высказывания могут быть как истинны, так и ложны, обозначаемые
соответственно символами И и Л. Эти значения ставятся в соответствие
определённым предметам или группам предметов.
Пусть M – произвольное непустое множество, а x представляет собой
произвольный предмет из этого множества. Тогда выражение F(x) обозначает
высказывание, которое становится определённым, когда x замещено
определённым предметом из M. F(a), F(b), … уже представляют собой
вполне определённые высказывания. Например, если M натуральный ряд, то
F(x) может обозначать: ” x есть простое число”.
Это неопределённое высказывание становится определённым, если x заменить
некоторым числом, например: “3 простое число”, “4 простое число” и т. д.
Пусть S(x,y) обозначает: ” x меньше y”.
Это высказывание становится определённым, если x и y заменить числами:
“1 меньше 3”, “5 меньше 2″ и т. д.
Так как с нашей точки зрения каждое определённое высказывание
представляет собой И или Л, то выражение F(x) означает, что каждому
предмету из M поставлен в соответствие один из двух символов И или Л.
Иначе говоря, F(x) представляет собой функцию, определённую на множестве
M и принимающую только два значения И и Л. Таким же образом
неопределённое высказывание о двух и более предметах H(x, y), G(x, y, z)
и т. д. предвтавляет собой функцию двух, трёх и т. д. переменных. При
этом переменные x, y, z пробегают множество M, а функция принимает
значения И и Л. Эти неопределённые высказывания, или функции одного или
нескольких переменных, мы будем называть логическими функциями или
предикатами. Предикатом с одним переменным можно выразить свойство
предмета, например ” x есть простое число”, ” x – прямоугольный
треугольник” и т.д.
Все понятия, которые мы будем вводить, относятся всегда к некоторому
произвольному множеству M, которое мы будем называть полем. Элементы
этого поля будем обозначать малыми латинскими буквами (иногда эти буквы
мы будем снабжать индексами). Буквы конца латинского алфавита
x, y, z, u, v, x1, x2, …
обозначают неопределённые предметы поля. Их мы будем называть
предметными переменными. Буквы начала алфавита
a, b, c, a1, a2, …
обозначают определённые предметы поля. Их мы будем называть
индивидуальными предметами или предметными постоянными.
Большими латинскими буквами
A, B, …, X, A1, A2, …
мы будем обозначать переменные, принимающие значения И и Л. Их мы
назовём переменными высказываниями. Мы будем также рассматривать и
постоянные высказывания. Их мы будем также обозначать большими
латинскими буквами, как-нибудь отмеченными или просто с дополнительной
оговоркой.
Большие латинские буквы и символы предикатов как индивидуальных
предметов, так и от предметных переменных мы будем называть
элементарными формулами.
Мы будем говорить, что в формулах
((х) U(х) и ((х) U(х)
кванторы ((х) и ((х) относятся к переменному х или что переменное х
связано соответствующим квантором.
Предметное переменное, не связанное никаким квантором, мы будем называть
свободным переменным.
, а знаки отрицания относятся только к элементарным предикатам и
высказываниям, будем называть приведёнными формулами.
Приведённая формула называется нормальной, если она не содержит
кванторов или если при образовании её из элементарных формул операции
связывания квантором следуют за всеми операциями алгебры высказываний.
Если две формулы U и B, отнесённые к некоторому полю M, при всех
замещениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных
предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами,
определёнными на M, индивидуальными высказываниями и индивидуальными
предметами из M, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем
говорить, что эти формулы равносильны на поле M.
Если две формулы равносильны на любых полях M, то мы будем их называть
просто равносильными.
Нормальную формулу, равносильную некоторой формуле U, мы будем называть
нормальной формой формулы U.
§1. Логика предикатов с одним переменным
Мы будем рассматривать формулы логики предикатов, содержащие предикаты,
которые зависят только от одного переменного. Логика, в которой
употребляются только такие выражения, соответствует той, которая описана
Аристотелем и вошла как традиционный элемент в систему гуманитарного
образования. Известные формы высказываний этой логики и формы
умозаключений, так называемые «модусы силлогизмов», выражаются полностью
в символике логики предикатов от одного переменного.
элементов, где n – число предикатов, входящих в рассматриваемую
формулу.
Пусть формула U(A1, …, An), содержащая только символы предикатов A1,
…, An, каждый из которых зависит от одного переменного, выполнима на
некотором поле M. эту формулу мы можем предполагать представленной в
нормальной форме, а все предметные переменные в ней связанными. В самом
деле, какова бы ни была формула U, мы можем, произведя над ней
преобразования, привести её к виду, в котором все кванторы предшествуют
остальным символам формулы, при этом состав её предикатов и предметных
переменных не изменяется. Если в U есть свободные предметные переменные,
то можно связать их квантором общности.
Итак, допустим, что U – нормальная формула. Тогда мы можем представить
её следующим образом:
(( x1)(( x2)…(( xp) B(A1, …, An, x1, …, xp),
где каждый из символов (( xi) обозначает квантор ((xi) или ((xi), а
формула
B(A1, …, An, x1, …, xp)
кванторов не содержит.
В формуле B(A1, …, An, x1, …, xp) все переменные x1, …, xp входят
в предикаты A1, …, An, и её можно записать в виде
)),
где i1, …, in – числа от 1 до p. Однако, будет удобнее пользоваться
выражением
B(A1, …, An, x1, …, xp),
.
Покажем, что если для некоторого поля M существуют индивидуальные
предикаты
,
(x) совпадает с данной последовательностью символов И и Л.
n
i представляет собой И или Л, а соответствующий этой последовательности
класс элементов x обозначим
.
. Выберем из каждого непустого класса по одному элементу и обозначим
эти элементы
a1, a2, …, aq.
.
Легко видеть, что имеет место следующая равносильность:
(х)).
, и поэтому всякое предметное переменное входит только под знаком
одного из этих предикатов.
Пусть R (x, y, …, u) – предикат, определённый на поле M. Введём
обозначение
R (x, y, …, u).
, и принимающий значение Л в противоположном случае. Введём также
выражение
R (x, y, …, u),
будем называть ограниченными кванторами. Если мы все переменные
предиката R (x, y, …, u) свяжем ограниченными кванторами, например
R (x, y, …, u),
. покажем, что выражение
(х), y, …, u)
равносильно выражению
R (x, y, …, u).
.
Аналогичным образом можно показать, что выражения
) R (x, y, …, u)
также равносильны.
), которую можно представить в форме
, x1, …, xp).
, x1, …, xp)
(хi), то получим равносильное выражение:
(xp)).
Отсюда следует, что
(xp)).
Далее можно заключить, что
(xp)) (
(xp-1), xp).
Рассуждая аналогичным образом, мы получим
, x1, …, xp-1 , xp) (
(xp-2), xp-1, xp)
и, наконец, придём к следующему:
, x1, …, xp) (
, x1, …, xp).
, представляет не что иное, как формулу
, x1, …, xp),
.
, и теорема, таким образом, доказана.
выполнима. Следовательно, U не может быть истинной на этом поле, что
противоречит условию. Итак, предположение, что U не является
тождественно истинной, приводит к противоречию, что и требовалось
доказать.
§2. Практика по решению проблемы разрешимости формул,
содержащих предикаты от одного переменного
элементов.
элементов. Это следует из того, что для формул рассматриваемого типа
имеет место следующее: если формула U тождественно истинна на некотором
поле, то она тождественно истинна на всякой его части.
. Легко видеть, что всякая формула, имеющая вид:
((x) B(x),
отнесённая к данному полю, равносильна формуле
).
А формула, имеющая вид:
x) B(x),
равносильна формуле
).
, как формулы алгебры высказываний с переменными высказываниями Ai(xj).
элементов. В таком случае в силу высказанного выше положения мы можем
решить также и вопрос о том, будет формула U тождественно истинной или
нет.
Разберём это конкретно на примерах.
П Р И М Е Р 1: Итак, пусть дана формула U, имеющая вид:
P(x))],
элементов (см. выше). В данном случае число предикатов (n) равно 2,
т.е. L может быть представлено как { a1, a2, a3, a4 }.
))].
, мы сможем сказать, является ли формула U тождественно истинной или
нет.
элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.
П Р И М Е Р 2: Доказать, что формула U, отнесённая к некоторому полю L,
представленная как
P(x)],
является тождественно истинной.
элементов. В данном случае n = 2, т.е. L можно опять определить как {
a1, a2, a3, a4 }.
)].
тождественно истинной?
(по определению дизъюнкции) будет тождественно истинной. Составим
таблицу истинности:
P
0 0 1 0
1
0 1 1 1
0
1 0 0 1
1
элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.
ЛИТЕРАТУРА
П. С. Новиков, “Элементы математической логики”, государственное
издательство физико-математической литературы, М., 1959
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
