.

Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента

Язык: русский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 582
Скачать документ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Международная «Лига развития науки и образования» (Россия)

Международная ассоциация развития науки, образования и культуры России
(Италия)

Международный «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»

(г. Архангельск)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Информатика и программирование»

Тема : «Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему
значения функции для заданного аргумента»

Выполнил: студент экономического факультета, группы 12-И Воробьев А.А.

Проверил: Горяшин Ю.В.

Архангельск

2004

Аннотация

Цель курсовой: для функции заданной в таблице построить интерполяционный
многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения
аргумента. Составить блок схему алгоритма и программу на одном из языков
высокого уровня (С++) для вычисления заданного интерполяционного
многочлена. В программе предусмотреть возможности ввода любого числа
значений функции для чего организовать хранение ее значении при помощи
линейного списка.

Содержание

Аннотация

Содержание

Глава №1

Глава №2

Заключение

Список литературы

Приложение

Программа

Введение.

Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к
существенному ускорению процессов математизации науки и техники, к
постоянному расширению области приложения современных разделов
математики. Количественные методы внедряются практически во все сферы
человеческой деятельности, что приводит к расширению круга профессий,
для которых математическая грамотность становится необходимой. Однако,
развитие науки и техники, современная технология производства ставят
перед специалистами задачи, для которых либо не возможно, либо крайне
громоздко и сложно получение алгоритма классическими методами
математического анализа. Отсюда стремление использовать различные
численные методы, разрабатываемые вычислительной математикой и
позволяющие получить конечный числовой результат с приемлемой для
практических целей точностью.

Численный метод решения задачи – это определенная последовательность
операций над числами, т.е. вычислительный алгоритм, языком которого
являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка
позволяет реализовать численные методы на ЭВМ, что делает их мощными и
универсальными инструментами исследования. Численные методы используются
в тех случаях, когда не удается найти точное решение возникающей
математической задачи. Это происходит главным образом, потому, что
искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах или
других известных функциях. Даже для достаточно простых математических
моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической
форме. В таких случаях основным инструментом решения многих
математических задач выступают численные методы, позволяющие свести
решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над
числами, при этом результаты получаются также в виде числовых значений.

Многие численные методы разработаны давно, однако при ручных вычислениях
они могли использоваться лишь для решения узкого круга не слишком
сложных задач, и только с появлением высоко производительных ЭВМ начался
период бурного развития методов вычислительной математики и их внедрения
в практику. Численные методы приобрели важнейшее значение как мощное
математическое средство решения практических задач в различных областях
науки и техники.

Интерполирование, интерполяция,- приближенное или точное нахождение
какой-либо величины по известным отдельным значениям или других величин,
связанных с ней. В первоначальном понимании- восстановление функции
(точное или приближенное) по известным ее значениям или значениям ее
производных в заданных отрезках.

Основное применение интерполяции – это вычисление значении
табулированной функции для неузловых (промежуточных) значений аргумента,
поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между
строками». (П.Ф. Фильчаков)

Глава 1

Основные направления исследования: разрешимость задачи
интерполирования, простейших интерполяционных формул, применение
интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул,
применение интерполяции для построения приближенных и численных методов
решения различных задач математики и ее приложений.

.

стоится в виде

,

.

ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или
показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на
бесконечности и т.д.

. Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных
многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

.

Эффективным аппаратом приближения функции являются интерполяционные
сплайны, но их построение в ряде частных случаях требует значительных
вычислительных затрат.

, принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и
удовлетворяющую условиям

.

, или некоторые другие.

и их производных до некоторого порядка.

определяют исходя из требования минимизации суммы

.

Такое построение функции называют интерполированием по методу
наименьших квадратов.

лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой
порядка n.

и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных
определяются по многомерной сетке при соответствующих изменениях по
аналогии с одномерным случаем.

Интерполирование функций и численные методы. Интерполирование функции
используется:

для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще

для приближенного восстановления функции на всей области задания по
значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам

для получения сглаживающих функций

для приближенного нахождения предельных значений функции

в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других
вопросах.

=0.

, приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих

,

.

.

Численное интегрирование. Аппарат интерполирования функции лежит в
основе построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода
формулы строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или
на её составных частях интерполяционными многочленами того или иного
вида и последующим интегрированием этих многочленов. Например
квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, так
называемые квадратурные формулы Гаусса:

многочлена степени n.

Изложенная выше схема построения формул для приближенного вычисления
интегралов применима и в многомерном случае

F

H

L

P

V

ae

J

L

N

P

R

T

V

ae

??a

&

&

в основе которых лежит интерполирование, получаются в результате
дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости
задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования
значений функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с
погрешносьтью значений функций. Поэтому на практике нередки случаи,
когда известная на густой сетке функция используется в данной задаче не
во всех точках, а на более редкой сетке.

находятся соответственно из нелинейной системы.

более простой в каком- то смысле функцией

попаро различных значений аргумента:

, – узлами интерполяции.

.

, о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком
сложна для непосредственного использования.

Интерполяционная формула Эверетта:

.

К интерполяционным формулам с центральными разностями относятся формулы
Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта и многие другие; формула Эверетта
получила наибольшее распространение, она была получена 1900 г.:

.

Формуле Эверетта так же можно придать форму, наиболее удобную для
вычисления:

если для ее коэффициентов ввести обозначения

:

Таблица разностей:

, число разностей зависит от количества значений y. Таблица разностей
высчитывается

, и так далее(можно заметить такую систему в приведенной выше таблице)

Тестовый пример.

.

Р е ш е н и е. По данным значениям функции составляем таблицу разностей
(табл. 1), из которых видно, что четвертые разности в данном примере
практически равны постоянны, а пятые разности практически равны нулю, и
поэтому мы их в дальнейших вычислениях не будем принимать во внимание.

=0,874.

=0,05, то

Т а б л и ц а 2

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00 0.9120049

0.8971316

0.8812009

0.8642423

0.8462874

0.8273695

0.8075238

0.7867871

0.7651977 -0.0148733

-0.0159307

-0.0169586

-0.0179549

-0.0189179

-0.0198457

-0.0207367

-0.0215894 -0.0010574

-0.0010279

-0.0009963

-0.0009630

-0.0009278

-0.0008910

-0.0008527 0.0000295

0.0000316

0.0000333

0.0000352

0.0000368

0.0000383 0.0000021

0.0000017

0.0000019

0.0000014

0.0000015

-0.0000004

0.0000002

-0.0000005

0.0000001

Т а б л и ц а 2

0

1

2 0.52000

-0.06323

0.01179 0.82273695

-0.0009278

0.0000014

0

1

2 0.48000

-0.06157

0.01160 0.8075238

-0.0008910

Все вычисления по формуле Эверетта представлены в табл. 2.

.

, как сумму произведений

ГЛАВА №2

Заключение

Удалось построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему
значение функции для заданного значения аргумента. Составлена блок схема
алгоритма и программа на языке С++ (Приложение) для вычисления заданного
интерполяционного многочлена. В программе предусмотрена возможность
ввода любого числа значений функции для чего организованно хранение ее
значения при помощи линейного списка.

Список литературы

Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах.
М.: МАИ, 1976.

Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. М.:
Наука,1988.

Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в
математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика,
1999.

Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка,
1974.

Фильчаков П.Ф., Численные методы. Киев: Наукова думка, 1976.

Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука,
1970.

Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.

Калиткин Н.Н., Численные методы. М.: Наука, 1987.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.

PAGE

PAGE 17

Начало

l_msp=NULL;l_fll=NULL;l_f=NULL;

w_u=NULL;r_u=NULL;l_u=NULL;

w_v=NULL;r_v=NULL;l_v=NULL;

h=FileFunction();

w_f=l_f;

TableMin();

TableMax();

BBEDuTE X=

x

u=UX(x,h);

VX(u);

p=Summa();

«OTBET: »

p

Конец

Начало

!feof(in)

l_f==NULL

l_w=w_f

R_f->radr=w_f

Нет

да

fscanf(in,”%f”,&w_f->x); fscanf(in,”%f”,&w_f->y);

R_f=w_f;

W_f=l_f;

W_f=l_f->radr;

H=(w_f->x)-(l_f->x)

FileFunction()

TableMin

Начало

s=w_f->y;

w_f=w_f->radr;

s1=w_f->y;

p=s1-s;

L_msp==NULL

L_msp=w_msp;

R_msp->radr1=w_msp

да

нет

l_fll==NULL

R_msp->radr1=w_msp

L_msp=w_msp;

да

нет

w_fll->a=p;r_fll=w_fll;

w_msp->z=p;r_msp=w_msp;

w_f!=r_f

нет

w_msp=l_msp;

да

r_msp=w_msp;

w_msp=l_msp;

w_msp!=r_msp

w_msp->z=p;

w_msp->z=p;l_msp=w_msp;

L_msp==NULL

s=c;

w_msp=w_msp->radr1;

c=w_msp->z;

s1=w_msp->z;

p=s1-s;

r_fll->radr2=w_fll;

w_fll->a=p;r_fll=w_fll;

r_msp->radr1=w_msp;

c=w_msp->z;

l_msp=NULL;

i=1;i<=8;i++НачалоTableMax()UX(floatx, float y)НачалоI=1;W_f=l_f;w_f!=r_fw_f=w_f->radr;i++;

I=(i/2)

w_f=l_f;i>=1;i–

w_f=w_f->radr;

u=(x-(w_f->x))/h;

l_u=w_u;

w_u->u=u;

r_u=w_u;

i=1;i<=3;i++u1=-(i*i-u*u)/((i*2)*((i*2)+1));u1=u1*(w_u->u);

r_u->uadr=w_u;

w_u->u=u1;

r_u=w_u;

Конец

VX(float u)

Начало

v=1-u;

l_v=w_v;

r_v->vadr=w_v;

w_v->v=v;

r_v=w_v;

i=1;i<=4;i++v1=-(i*i-v*v)/((i*2)*((i*2)+1));v1=v1*(w_v->v);

r_v->vadr=w_v;

w_v->v=v1;

r_v=w_v;

Конец

Summa()

Начало

i=1;

w_f=l_f;

w_fll=l_fll;

w_u=l_u;

w_v=l_v;

w_f!=r_f

w_f=w_f->radr;i++;

I=i/2

w_f=l_f;i>=1;i–

w_f=w_f->radr;

s=(w_f->y)*(w_v->v);

w_f=w_f->radr;

s1=(w_f->y)*(w_u->u);

w_f=l_f;

w_f!=r_f

w_f=w_f->radr;i++;

i++;

j=i;

;i>=1;i–

w_fll=w_fll->radr2;

i=j;

i=((i/2)-1);i>=1;i–

w_fll=w_fll->radr2;

w_v=w_v->vadr;

s=s+(w_fll->a)*(w_v->v);

i=j;

i=((i/2));i>=1;i–

w_fll=w_fll->radr2;

w_fll!=r_fll

i==0

j–;

i=j;

j=i-1;

i=j;

w_fll=l_fll;

w_f=l_f;

Конец

p=s1+s;

w_u!=r_u

i=j*2;

w_fll=w_fll->radr2;

i=((i/2));i>=1;i–,j++

w_u=w_u->uadr;

s1=s1+(w_fll->a)*(w_u->u);

i=j-1;

j=0;

i=i-1;

i=j-1;

w_fll=w_fll->radr2;

;i>=1;i–

j=i;

j=i;

w_u=l_u;

w_f=w_f->radr;i++;

w_f!=r_f

Конец

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019