Метод касательных (метод Ньютона)

Содержание

TOC \o “1-3” \h \z HYPERLINK \l “_Toc41451433” Содержание
PAGEREF _Toc41451433 \h 1

HYPERLINK \l “_Toc41451434” Используемая литература PAGEREF
_Toc41451434 \h 1

HYPERLINK \l “_Toc41451435” Метод Ньютона (касательных). PAGEREF
_Toc41451435 \h 2

HYPERLINK \l “_Toc41451436” Описание PAGEREF _Toc41451436 \h 2

HYPERLINK \l “_Toc41451437” Блок-схема алгоритма PAGEREF
_Toc41451437 \h 3

HYPERLINK \l “_Toc41451438” Листинг программы PAGEREF _Toc41451438
\h 4

HYPERLINK \l “_Toc41451439” Результаты работы программы PAGEREF
_Toc41451439 \h 6

HYPERLINK \l “_Toc41451440” Пример №1 PAGEREF _Toc41451440 \h 6

HYPERLINK \l “_Toc41451441” Пример №2 PAGEREF _Toc41451441 \h 6

HYPERLINK \l “_Toc41451442” Пример №3 PAGEREF _Toc41451442 \h 7

HYPERLINK \l “_Toc41451443” Метод итераций. PAGEREF _Toc41451443 \h
8

HYPERLINK \l “_Toc41451444” Блок-схема алгоритма PAGEREF
_Toc41451444 \h 8

HYPERLINK \l “_Toc41451445” Листинг программы PAGEREF _Toc41451445
\h 9

HYPERLINK \l “_Toc41451446” Результаты работы программы PAGEREF
_Toc41451446 \h 11

HYPERLINK \l “_Toc41451447” Пример №1 PAGEREF _Toc41451447 \h 11

HYPERLINK \l “_Toc41451448” Пример №2 PAGEREF _Toc41451448 \h 11

HYPERLINK \l “_Toc41451449” Пример №3 PAGEREF _Toc41451449 \h 12

Используемая литература

1. HYPERLINK “http://www.kyshtym.net.ru/rww/”
http://www.kyshtym.net.ru/rww/ Учимся программировать на С++

2. HYPERLINK “http://www.sprin.ru/soft.php”
http://www.sprin.ru/soft.php Решение линейных уравнений методом Ньютона
(касательных)

Метод Ньютона (касательных).

Описание

В рамках метода Ньютона предполагается, что функция дифференцируема.
Согласно этому методу строится линейная аппроксимация функции в
начальной точке, а точка, в которой аппроксимирующая линейная функция
обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения.

Итерационый процесс схождения к корню реализуется формулой:

xn+1=xn-f(xn)/f ‘(xn). Вычисления продолжаются пока соблюдается условие

|xn+1-xn |>=eps.

В зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм по
методу Ньютона может как сходиться к корню уравнения, так и расходиться.

Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей
данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная
программа при решении исходного уравнения.

Блок-схема алгоритма

Листинг программы

//метод Ньютона для решения кубических уравнений

#include

#include

double a[4]={0},

b[3]={0},

c[2]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

double Calc_Second(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

return 0;

}

void Hello(void)

{

cout>a[i];

}

cout>minim;

cout>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout>minim;

cout>maxim;

}

cout>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

c[0]=b[0]*2;

c[1]=b[1];

cout0) x=minim;

else x=maxim;

if (Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));

else m=abs(Calc_First(minim));

coutprec)

{

x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));

coutРезультаты работы программы Пример №1 Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона). Кубическое уравнение имеет вид a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0 Введите значение коэффициента a[1] : 1 Введите значение коэффициента a[2] : -6 Введите значение коэффициента a[3] : -9 Введите значение коэффициента a[4] : 58 Необходимо указать интервал поиска решения. Введите нижнюю границу поиска : -4 Введите верхнюю границу поиска : -3 Введите допустимую погрешность : 0.00005 Исходное уравнение имеет вид : 1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0 Первая производная имеет вид : f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9) Вторая производная имеет вид : f''(x)=6x+(-12) ------------------------------------------------- | Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m | ------------------------------------------------- | -4| -66| 1.222222222| | -3.24137931| -9.922506048| 0.183750112| | -3.079817529| -0.40621762| 0.007522548518| | -3.07261683|-0.000789793230|1.462580056e-05| ------------------------------------------------- Пример №2 Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона). Кубическое уравнение имеет вид a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0 Введите значение коэффициента a[1] : 1 Введите значение коэффициента a[2] : -6 Введите значение коэффициента a[3] : -9 Введите значение коэффициента a[4] : 58 Необходимо указать интервал поиска решения. Введите нижнюю границу поиска : 3 Введите верхнюю границу поиска : 4 Введите допустимую погрешность : 0.00005 Исходное уравнение имеет вид : 1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0 Первая производная имеет вид : f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9) Вторая производная имеет вид : f''(x)=6x+(-12) ------------------------------------------------- | Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m | ------------------------------------------------- | 3| 4| 0.4444444444| | 3.222222222| 0.159122085| 0.01768023167| | 3.231855174| 0.000341137633|3.790418145e-05| ------------------------------------------------- Пример №3 Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона). Кубическое уравнение имеет вид a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0 Введите значение коэффициента a[1] : 1 Введите значение коэффициента a[2] : -6 Введите значение коэффициента a[3] : -9 Введите значение коэффициента a[4] : 58 Необходимо указать интервал поиска решения. Введите нижнюю границу поиска : 5 Введите верхнюю границу поиска : 6 Введите допустимую погрешность : 0.00005 Исходное уравнение имеет вид : 1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0 Первая производная имеет вид : f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9) Вторая производная имеет вид : f''(x)=6x+(-12) ------------------------------------------------- | Xn | f(Xn) | |f(Xn)|/m | ------------------------------------------------- | 6| 4| 0.6666666667| | 5.851851852| 0.2601229487| 0.04335382479| | 5.840787634| 0.001413241032| 0.000235540172| | 5.840726862|4.255405933e-08|7.092343222e-09| ------------------------------------------------- Метод итераций. Блок-схема алгоритма Блок-схема решения и листинг программы, реализующей этот алгоритм на языке программирования С++. Листинг программы //метод итераций для решения кубических уравнений #include

#include

double a[4]={0},

b[3]={0},

prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

main(void)

{

Hello();

Input();

Derivative();

Calculation();

cout>a[i];

}

cout>minim;

cout>maxim;

while(minim==maxim||minim>maxim)

{

cout>minim;

cout>maxim;

}

cout>prec;

}

void Derivative()

{

b[0]=a[0]*3;

b[1]=a[1]*2;

b[2]=a[2];

}

void Calculation()

{

double x=0, x_old=0, m=0;

coutfabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;

else m=x=x_old=maxim;

m=fabs(1/Calc_First(m));

cout0)

{

do

{

x_old=x;

x=x_old-m*Calc_Fun(x_old);

coutprec);

}

else

{

do

{

x_old=x;

x=x_old+m*Calc_Fun(x_old);

coutprec);

}

coutМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Кафедра информатики Курсовая работа На тему: метод касательных (метод Ньютона) Работу выполнил студент гр. 52-61 Низамова Г.Н. Проверил: Борганова Э.М. Альметьевск 2003 г.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter