Мухачев С.В., Перетятькин К.В., Трошкин А.А. 2003 – Информатика и
математика. Математика для юристов
Министерство внутренних дел Российской Федерации
Уральский юридический институт
С.В. Мухачев, К.В. Перетятькин, А.А. Трошкин
Информатика и математика.
Математика для юристов
Учебное пособие
Екатеринбург
2003ББК 22.18
И741
И741 Мухачев С.В., Перетятькин К.В., Трошкин А.А. Информатика и
математика. Математика для юристов: Учеб. пособие. – Екатеринбург:
Изд-во Уральского юридического института МВД России, 2003. – 76 с.
Рецензенты:
С.Г. Михайлов, кандидат физико-математических наук, ИЭФ УрО РАН;
С.С. Головырин, кандидат технических наук, ОМЗ-МО.
Учебное пособие содержит теоретические сведения, примеры и задачи по
избранным главам высшей математики. Изложенный материал позволяет
изучить и научиться применять математические методы для решения
практических задач, относящихся к правоохранительной деятельности.
Учебное пособие предназначено для курсантов, слушателей и преподавателей
высших учебных заведений МВД РФ. Оно может быть полезно студентам
юридических ВУЗов.
Обсуждено на заседании кафедры информатизации ОВД (протокол № 6 от
07.05.2002)
Рекомендовано к изданию методическим советом УрЮИ МВД России (протокол №
5 от 21.05.2002)
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом (протокол № 4
от 23.05.2002).
ББК 22.18
( Мухачев С.В., Перетятькин К.В., Трошкин А.А., 2003
( УрЮИ МВД России, 2003
TOC \o “1-3” \h \z \u HYPERLINK \l “_Toc33163286” Введение
PAGEREF _Toc33163286 \h 4
HYPERLINK \l “_Toc33163287” 1. Теория множеств. Комбинаторика
PAGEREF _Toc33163287 \h 6
HYPERLINK \l “_Toc33163288” Понятие, способы задания и виды множеств
PAGEREF _Toc33163288 \h 6
HYPERLINK \l “_Toc33163289” Операции над множествами PAGEREF
_Toc33163289 \h 7
HYPERLINK \l “_Toc33163290” Неупорядоченные и упорядоченные
множества. Комбинаторика PAGEREF _Toc33163290 \h 10
HYPERLINK \l “_Toc33163291” Задачи по теории множеств и комбинаторике
PAGEREF _Toc33163291 \h 14
HYPERLINK \l “_Toc33163292” 2. Теория вероятностей PAGEREF
_Toc33163292 \h 17
HYPERLINK \l “_Toc33163293” Предмет теории вероятностей. Понятие
вероятности PAGEREF _Toc33163293 \h 17
HYPERLINK \l “_Toc33163294” Вычисление вероятности сложных событий
PAGEREF _Toc33163294 \h 19
HYPERLINK \l “_Toc33163295” Задачи по теории вероятностей PAGEREF
_Toc33163295 \h 24
HYPERLINK \l “_Toc33163296” 3. Математическая статистика PAGEREF
_Toc33163296 \h 30
HYPERLINK \l “_Toc33163297” Предмет математической статистики
PAGEREF _Toc33163297 \h 30
HYPERLINK \l “_Toc33163298” Статистическое исследование и его этапы
PAGEREF _Toc33163298 \h 30
HYPERLINK \l “_Toc33163299” Количественный анализ вариационных рядов
PAGEREF _Toc33163299 \h 33
HYPERLINK \l “_Toc33163300” Количественный анализ рядов динамики
PAGEREF _Toc33163300 \h 44
HYPERLINK \l “_Toc33163301” Теория корреляции. Регрессионный анализ
PAGEREF _Toc33163301 \h 46
HYPERLINK \l “_Toc33163302” Задачи по математической статистике
PAGEREF _Toc33163302 \h 51
HYPERLINK \l “_Toc33163303” 4. Математические методы оптимизации
PAGEREF _Toc33163303 \h 53
HYPERLINK \l “_Toc33163304” Принятие решений и оптимизационные задачи
PAGEREF _Toc33163304 \h 53
HYPERLINK \l “_Toc33163305” Задачи линейного программирования
PAGEREF _Toc33163305 \h 54
HYPERLINK \l “_Toc33163306” Задачи линейного программирования
PAGEREF _Toc33163306 \h 60
HYPERLINK \l “_Toc33163307” 5. ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ PAGEREF
_Toc33163307 \h 61
HYPERLINK \l “_Toc33163308” Введение в экспертные системы (ЭС)
PAGEREF _Toc33163308 \h 61
HYPERLINK \l “_Toc33163309” Структура экспертных систем PAGEREF
_Toc33163309 \h 64
HYPERLINK \l “_Toc33163310” Классификация экспертных систем PAGEREF
_Toc33163310 \h 65
HYPERLINK \l “_Toc33163311” Технология проектирования и разработки
экспертной системы PAGEREF _Toc33163311 \h 68
HYPERLINK \l “_Toc33163312” Структуризация знаний о предметной
области PAGEREF _Toc33163312 \h 69
HYPERLINK \l “_Toc33163313” Задачи по структуризации знаний PAGEREF
_Toc33163313 \h 74
HYPERLINK \l “_Toc33163314″ Литература PAGEREF _Toc33163314 \h 75
Введение
Школьный курс охватывает, в основном, элементарную математику и включает
арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию и др. Однако мир
современной математики очень разнообразен и сложен. Имеется большое
количество различных математических дисциплин и направлений. Некоторые
разделы высшей математики – математический анализ, аналитическая
геометрия и линейная алгебра, теория функций комплексной переменной и т.
д. изучаются в полном объеме в ВУЗах естественнонаучного и технического
профиля. Часть этих разделов с успехом может применяться гуманитариями,
в том числе и юристами, для решения своих профессиональных задач.
Вспомним, что изучалось в школьном курсе элементарной математики.
Наиболее древняя наука – арифметика. Это наука о числах. Она изучает
простейшие свойства чисел и правила вычислений.
Алгебра занимается уравнениями и способами их решения. Точнее, она
изучает лишь уравнения определенного типа, называемые алгебраическими.
Наиболее известное уравнение такого типа – квадратное: ах2 + bх+ с =0.
Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4 000 лет назад
вавилонские ученые знали квадратные уравнения и решали системы двух
уравнений, одно из которых – второй степени. С помощью таких уравнений
решались разнообразные задачи, возникавшие при измерении участков земли,
в строительстве и военном деле. Основоположником алгебры как науки
принято считать среднеазиатского ученого Мухаммеда аль-Хорезми. Его
математический труд, составленный в IХ в. н.э., называется ”Книга
восстановления и противопоставления”. Под ”восстановлением” понимался
перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно
становится слагаемым; под ”противопоставлением” – собирание
неизвестных в одну сторону уравнения, а известных – в другую. У
аль-Хорезми алгебра применялась к купеческим и другим денежным расчетам.
В ХII в. труд аль-Хорезми был переведен на латинский язык и стал
известен в Европе. С этого времени начинается развитие алгебры в
европейских странах.
Геометрия изучает пространственные свойства предметов, оставляя в
стороне все остальные их признаки. Первые геометрические понятия
возникли в древности из потребности определять вместимость различных
предметов (сосудов, амбаров и т.п.) и площади земельных участков (отсюда
греческое название ”геометрия” – землемерие). Греческие ученые открыли
множество геометрических свойств и создали стройную систему
геометрических знаний. Эта система в начале III в. до н. э. получила
завершенный вид в труде Евклида ”Начала” (по содержанию примерно
совпадает с нынешними школьными учебниками геометрии).
Основные геометрические понятия – точка, прямая, плоскость – принимаются
без определения. Они поясняются примерами, наглядными образами.
Остальные понятия (луч, отрезок, угол и т.д.) определяются на базе
основных.
Фундамент геометрии составляют аксиомы – положения, принимаемые без
доказательств. Все остальные положения доказываются на основе аксиом и
называются теоремами. Такой подход, свойственный всем отраслям
математики, называется аксиоматическим. Примеры аксиом: через любые две
точки проходит одна и только одна прямая; если две точки прямой
принадлежат некоторой плоскости, то вся прямая содержится в этой
плоскости; через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна
и только одна прямая, параллельная данной. Выбор аксиом не является
однозначным. Например, на основании последней аксиомы – аксиомы
параллельности – можно доказать теорему о том, что сумма углов
треугольника равна 180°. Вместе с тем эту теорему можно было бы принять
в качестве аксиомы и доказать на ее основе положение о параллельности.
Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются
тригонометрические функции (функции угла – синус, косинус, тангенс,
котангенс) и их приложение к геометрии. С помощью тригонометрии решаются
задачи вычисления неизвестных величин треугольника по заданным значениям
других его величин. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно
свести к решению треугольников, то методы тригонометрии носят общий
характер. Тригонометрические функции позволяют связать углы треугольника
с его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Большой вклад в
развитие тригонометрии внесли греческие ученые. Современный вид
тригонометрии придал русский академик Л. Эйлер (ХVIII в.).
Назовем некоторые разделы высшей математики.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических
задач. Для этого используется координатный метод: точки описываются их
координатами, а линии – уравнениями. Таким образом, геометрическая
задача сводится к алгебраической, а для решения алгебраических задач
имеются стандартные методы. Создатели аналитической геометрии –
французские ученые Р. Декарт и П. Ферма (ХVII в.). К систематическому
изучению пространственных линий и плоскостей (в трех измерениях)
координатный метод был применен впервые Л. Эйлером (ХVIII в.).
Математический анализ – это совокупность разделов математики,
посвященных исследованию функций методами дифференциального и
интегрального исчислений. Математический анализ находит широкое
применение при изучении количественных соотношений действительного мира,
выражаемые переменными величинами. В арифметике и алгебре
рассматриваются преимущественно постоянные величины (которые
характеризуют состояния), в математическом же анализе – переменные (они
характеризуют процессы). В основе изучения зависимости между переменными
величинами – понятия функции и предела. Математический анализ в основном
разработан на рубеже ХVII и XVIII вв. И. Ньютоном (Англия) и Г.
Лейбницем (Германия).
Элементы теории множеств, теории вероятностей и математической
статистики мы рассмотрим далее.
1. Теория множеств. Комбинаторика
Понятие, способы задания и виды множеств
Теория множеств – это раздел математики, изучающий общие свойства
множеств.
Под множеством понимают совокупность каких-либо объектов, называемых
элементами множества и обладающих общим для них характеристическим
свойством.
Понятие ”множество” является одним из первичных, неопределяемых
понятий математики, так же как и понятия натурального числа, точки,
прямой и т.д. Поэтому точного определения понятия ”множество” дать
нельзя, так как нет более общего понятия, чем ”множество”. Это понятие
может быть пояснено только на примерах. Так, можно говорить о множестве
студентов группы; людей, живущих в городе; планет Солнечной системы;
букв русского алфавита. Элементами множества могут быть не только
материальные объекты, но и абстрактные понятия. Например, множество
натуральных чисел, множество точек на прямой, геометрических фигур и
т.п.
¶
?
XproZ
\
^
`
b
ja
jf
jO
jV
????
?конечные и бесконечные. Они содержат, соответственно, конечное или
бесконечное число элементов. Бесконечным является, например, множество
натуральных чисел. Ряд натуральных чисел бесконечен, поскольку для
любого сколь угодно большого числа существует еще большее (его можно
получить прибавлением единицы). Бесконечным, конечно же, является
множество всех геометрических фигур.
Множество можно задать двумя способами: перечислив все его элементы либо
указав характеристическое свойство его элементов.
Легко задать перечислением конечное множество, содержащее небольшое
количество элементов: студенты в группе; планеты Солнечной системы;
лежащие на столе книги и т.п. Однако это сделать практически невозможно
для множеств с большим количеством элементов и тем более для бесконечных
множеств. Поэтому в таких случаях указывают характеристическое свойство
элементов – свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий
множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Например, мы можем задать множество двузначных чисел (45 – двузначное;
142 – не двузначное); множество четных чисел (делятся на 2); множество
квадратов (прямоугольники с равными сторонами) или окружностей
(совокупность точек, равноудаленных от центра). Отметим, что все
множества, перечисленные в начале раздела, заданы именно таким способом.
Понятие ”множество” не следует понимать буквально как совокупность,
содержащую много элементов. В ней может содержаться один или два
объекта. Оказывается, удобно считать множеством даже пустое множество,
не содержащее ни одного элемента.
А .
А означает, что элемент а не принадлежит множеству А (множество А не
содержит элемент а).
N и х
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
