Рівняння в повних диференціалах

1. Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння

, тобто

,

то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто
необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді

Звідси

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал

,

. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В
цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих
інтеграла

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

.

2. Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння

така, що рівняння

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою
умовою цього є рівність

,

або

.

— відома функція. В цьому випадку одержуємо

Після підстановки в рівняння маємо

,

або

.

Розділимо змінні

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

.

Розглянемо частинні випадки.

І формула має вигляд

.

І формула має вигляд

.Тоді

І формула має вигляд

.

І формула має вигляд

.

Похожие записи