Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.

-го порядку зі сталими коефіцієнтами

(5.26)

.

Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.

(5.27)

.

Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в
вигляді

(5.28)

– деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні).
Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо

(5.29)

, тобто

(5.30)

Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені
характеристичимичислами Д.Р. (5.27).

Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв’язків.

дійсні і різні.

дійсних частинних розв’язків знайдемо згідно формулє

Ці розв’язки являються лінійно незалежними. Дійсно

— різні.

В цьому випадку загальний розв’язок має вигляд

(5.31)

в області

(5.32)

– довільні сталі.

б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є
комплексні.

. Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків.
Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних
частинних розв’язків.

.

Приклад 5.6.

Знайти загальні розв’язки

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

Тоді

загальний розв’язок.

Приклад 5.7.

Приклад 5.8.

в) Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.

-кратний корінь характеристичного рівяння (5.30), так що

(5.33)

, продиференціюємо тотожність

(5.34)

, використовуючи при цьому формулу

Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу
Лейбніца.

де

.

Маємо

Використовуючи (5.33) запишемо

тобто функції

(5.35)

.

дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)

лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд

(5.36)

Приклад 5.9.

Розв’язати Д.Р.

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

Тоді

загальний розв’язок.

Приклад 5.10.

Приклад 5.11.

,

5.3. Знаходження частинного розв’язку лінійно незалежного Д.Р. методом
невизначених коефіцієнтів.

можна знайти частинні розв’язкі Д.Р. (5.26) без квадратур.

Розглянемо Д.Р. з правою частиною

(5.37)

-постійне дійсне чи комплексне число.

Розглянемо два випадки.

не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний
розв’язок Д.Р. (5.37) шукають в вигляді

(5.38)

де

(5.39)

-ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто в цьому випадку
частинний розв’язок має туже аналітичну структуру, що і права частина
Д.Р. (5.37)

.

Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно.
Підставимо (5.38) в (5.37), отримаємо

Використовуючи вищенаведені формули, знищуємо

на основі них маємо

і прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступінях

(5.40)

.

, тобто

(5.41)

. Його шукаємо в вигляді

(5.42)

– поліном вигляду (5.39).

Координати полінома визначаються шляхом підстановки (5.42) в (5.37).

звідки

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

(5.43)

.

Пипустимо, що права частина Д.Р. (5.26) має вигляд

(5.44)

).

Використовуючи формули Ейлера, обчислимо

таким чином

є сума двох функцій, які розглянуті вище.

не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний
розв’язок шукаємо в вигляді

(5.45)

-ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

-кратний корінь характеристичного рівняння, то частинний розв’язок
шукаємо в вигляді

(5.46)

Приводячи (5.45) і (5.46) до дійсного вигляду, сформулюємо слідуюче
правило знаходження частинного розв’язку для вигладу (5.44).

не являється коренем характеристичного рівняння,то

(5.47)

то

(5.48)

-ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Приклад 5.12.

Знайти загальний розв’язок Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів

Запишемо розв’язкі однорідного Д.Р.

Знаходимо розв’язки неоднорідного Д.Р.

Отже

загальний розв’язок.

Приклад 5.13.

,то

загальний розв’язок.

Приклад 5.14.

, отримаємо

загальний розв’язок.

Похожие записи