Реферат на тему:

Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Повна група подій. Випадкові події Н1 , Н2 , …, Нn (Нi ( (, i = 1, 2,
…, n) утворюють повну групу подій, якщо:

Ні ( попарно несумісні (Нi окрашені Нj =(, i ( j);

Формула повної ймовірності. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn ( повна група подій
Р(Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), то для будь-якої події А (А ( ()
справджується рівність

.

Формула повної ймовірності має місце і для зліченої кількості подій:

якщо {Hi} ( послідовність випадкових подій така, що

Нi ( Нj =(, i ( j;

,

то для будь-якої події А (А ( () виконується рівність

.

Формула Байеса. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn ( повна група подій Р(Ні)>0 (i= 1,
2, …, n), а В ( довільна випадкова подія (В ( (), така, що Р(В)>0, то

.

Апріорні та апостеріорні ймовірності.Нехай подія А може проходити в
різних умовах, про характер яких можна зробити n гіпотез Н1, Н2, …, Нn.
Із якихось міркувань відомі ймовірності цих гіпотез Р(Н1), Р(Н2), …,
Р(Нn) (апріорні ймовірності), відомі також умовні ймовірності Р(А/Н1),
Р(А/Н2), …, Р(А/Нn). Припустимо, що в результаті проведення досліду
наступила подія А. Це повинно визвати переоцінку ймовірностей гіпотез
Ні; формули Байєса і дають вираз для умовних ймовірностей Р(Нi/А) (ці
ймовірності називають апостеріорними ймовірностями).

=1. Шукану ймовірність того, що буде вилучена біла куля, знаходимо
за формулою повної ймовірності

.

.

Задача 3. В піраміді 5 гвинтівок, три які мають оптичний приціл.
Ймовірність того, що стрілець влучить мішень при пострілі з гвинтівки
з оптичним прцілом дорівнює 0,95;

для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти
ймовірність того, що мішень буде влучена, якщо стрілець зробить один
постріл з навмання взятої

гвинтівки. Відповідь р=0,85.

Задача 4. З урни, яка містить 3 білі та 2 чорні кулі, перекладено 2 кулі
в урну, яка містить 4 білі та 4 чорні кулі. Знайти ймовірність
витягнути після цього з другої

=0,52.

.

для того, хто

підійшов першим, а також для того, хто підійшов другим.

.

Задача 8. У двох урнах знаходиться відповідно n1 та n2 куль, з них
білих m1 і m2. З першої урни переклали в другу урну одну кулю, колір
якої невідомо. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Яка
ймовірність того, що ця куля біла?

Задача 9. Ймовірність надходження k визовів на телефону станцію за
проміжок часу t дорівнює Р t (k). Вважаючи, що число викликів за
довільні два сусудні проміжки часу незалежні, визначити ймовірність
Р2 t ( s) надходження s визовів за проміжок часу 2 t .

.

Задача 10. Два автомата виробляють одинакові деталі, які поступають на
загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша
продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей
відмінної якості, а другий – 84%.

Навмання взята з конвейєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти
ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв’язування Позначемо через А подію – деталь відмінної якості. Можна
зробити два пипущення ( гіпотези ): Н1 – деталь вироблена першим
автоматом, причому ( оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше
деталей, у порівнянні з другим)Р(Н1) = 2/3; Н2 – деталь вироблена
другим автоматом, Р(Н2) =1/3.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона
вироблена першим автоматом, Р(А/Н1) = 0,6.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона
вироблена другим автоматом, Р(А/Н2) = 0,84.

Ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться
відмінної якості, за фор-

мулою повної ймовірності дорівнює

Р(А) = Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) = 2/3 0,6 + 1/3
0,84 = 0,68.

Шукана ймовірність того, що взята деталь відмінної якості
вироблена першим автоматом, за формулою Байеса дорівнює

.

— ймовірність того, що гвинтівка була з оптичним прицілом).

.

Задача 13. Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряда
попали в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала
попадання, якщо ймовірність попадання в ціль першою, другою та третьою
гарматами відповідно дорівнюють

.

.

Задача 15. Кожна з k1 урн містить m1білих і n1чорних куль, а кожна з k2
урн містить m2 білих і n2 чорних куль. З навмання взятої урни вийняли
кулю, яка віявилася білою. Яка ймовірність того, що кулю взято з першої
групи урн?

Задача 16. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у
медведя.Медведя вбито однією кулею.Яка ймовірність того, що медведя
вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірності влучення для
них дорівнюють відповідно р1= 0,2;

p2=0,4; p3=0,6.

Розв’язування. Нехай Аі-ведмедя вбив і-тий мисливець, і=1,2,3;
В-медведя вбито однією кулею. Р (В)=0,2 0,6 0,4+ 0,8 0.4 0,4+ 0,8 0,6
0,4= 0, 464;

.

).

Похожие записи