Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для
най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x? Для інших функцій,
наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим
способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим
Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом
Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца
дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность
формули геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно,
що

Виберемо
довільну точку x є [ a; b]і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі
Ох. Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х.
Позначемо цю функцію че-

рез S (x) і покажемо, що
існує її похідна причина, при-

чому S?(x)=?(x), де y=?(x)
– підінтегральна функція,

графік якої обмежує
криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S (x) є
первісною для ?(x).

Надамо змінній x приросту ?x, вважаючи ( для спрощення міркування),
що ?x > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ?S (x). У курсі
математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a;
b]функція y=?(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень.
Оскільки підінтегральна функція y=?(x ) є неперервною на
відрізку[x,x+?x], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і
найбільшого значень. Отже,

m ?x < ? S (x) < M ?x Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо За непервністю функції y=?(x) lim m =lim M = ?(x) ?x?0 ?x?0 функція є однією з первісних функції y=?(x ). Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=?(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому S(x) = F(x)+ C. (1) При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0. Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо S(x) = F(x)-F(a). (2) Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд S(b) = F(b)-F(a). Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює b значенню ? ?(x) dx. Тому можна зробити висновок, що a b ? ?(x) dx = F(b)-F(a). (3) a Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a. Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так: Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді, (кв. од.); (кв. од.). П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою Ньютона – Лейбніца площу фігури, обмеженої зверху синусоїдою y=sin x, знизу – віссю Ох, а з боків – прямими . Розв’язання: ( кв. од.). Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла: де тобто якщо відрізок[a;b]розбито на два відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на від- різках[a;b] i [a;c]. де Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу. Приклад 4. Обчислити Розв’язання: Приклад 5. Обчислити Розв’язання: Приклад 6. Обчислити Розв’яззати: Міністерство освіти України Коломийське В П У-17 Реферат На тему: Формула Ньютона – Лейбніца. Учня групи № 15 Лінькова А.М. Коломия 2002р. ( a b ? ? , ( ) . ? що S f x dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lim 0 ( ) ( ). lim 0 ( ) ( ), ( ) ( ), Але тоді x S x S f x Оскільки x S x x S x то S x f x тобто ? . ) F x a b ? ( ) ( ) f x dx F x a b a b 2 2 2 0 2 k k x xdx OAB S k o k o ? ? ? ? ? ? ? 3 0 3 3 3 3 2 2 k k x dx x OAB S k o k o ? ? ? ? ? ? 4 2 ? ? ? ? x i x 2 2 2 2 0 4 cos 2 cos 4 2 cos sin 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x dx x S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , . 3 . , . 2 . 1 dx x dx x f dx x f dx x f k dx x f k dx x dx x f dx x x f b a c a b a b a b a b a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ? ? ? ? ? R k ? ? ? ? ? ? ? 4 . 1 , a b ka p kb p f kx p dx k f t dt ? ? ? ? , R k R p ? ? ? ? ? ? 4 0 3 cos ? dx x x ? ? dx x ? ? 2 1 2 2 dx x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 4 3 sin ? ? ?

Похожие записи