КУРСОВА РОБОТА

НА ТЕМУ:

«Структуровані типи даних.Операції над двомірними масивами »

Анотація

В цій курсовій роботі розглянуті дії над

матрицями , такі як додавання , віднімання, мно-

ження та ділення двох матриць. А також знаход-

ження транспонованої та оберненої матриць.Про-

грами реалізовані на мові програмування Turbo

Pascal 7.0

ЗМІСТ

1.Вступ.

2.Теоретична частина.

2.1.Матриця і її властивості.

2.2. Дії над матрицями.

3.Постановка задачі.

4.Додатки.

4.1.Додатток 1(текст програм).

4.2.Додаток 2(блок-схеми до програм).

5.Висновки.

6.Використана література.

1.Вступ.

У всі часи людина прагнула розширити свої можливості, за
допомогою різних знарядь праці, пізнання світу та засобів існування.

Так, наприклад нестачу зору компексує : мікроскоп, телескоп,
радіолокатор. Обмежені можливості передачі інформації поширюються
телефоном, радіо, телебаченням.

Обчислювані машини «доповнюють» можливості мозку людини,
розширюють його можливості по обробці інформації, дозволяють прискорити
прийняття рішення в процесі якої-небудь роботи.

В кінці 40-х років 20 ст. Праця в області ядерної фізики,
баллистики керуючих знарядь, термодинаміки і т.д. вимагали такої
обчислюваної роботи, яку вже було не можливо виконати за допомогою
арифмометрів-головного обчислюваного інструмента того часу. Наука і
техніка були поставлені перед делемою : або всім взятись за арифмометри
або винайти новий ефективний інструмент обчислення. Аналогічні проблеми
уже не раз виникали, і будуть неодноразово виникати перед вченими і
інженерами: екстенсивний шлях розвитку дальше неможливий, потрібний
новий, інтенсивний шлях. Проблема була вирішена створенням універсальної
обчислюваної машини. Термін «універсальна»використовується не
випадково. Спеціалізовані машини (наприклад, для обробки банківських
рахунків і т. д.) існували і раніше, але не було машини, команди якої
записані в память, можна б було швидко замінити новими.

Крім математичних обчислень ЕОМ може виконувати і логічні,
тобто робити вибір між варіантами (вітками) продовження дій в залежності
від виконання деяких умов. Таким чином ЕОМ-це дещо більше ніж «швидкий
арифмометр».

Коротка характеристика різних поколінь ЕОМ

Перше покоління ЕОМ:

Технічна основа елементної бази машин 1-го покоління-електронні
лампи. Максимальна швидкодія -10 у степені 2. Математичні операції в
секунду(оп/с), обєм оперативної памяті -10 у 2 степені слів. Режим
використання-монопольний, тобто в розпорядженні користувача були всі
ресурси машини і її управління.

Друге покоління ЕОМ:

Технічна основа — транзистори. максимальна швидкодія-10 у 4
степені оп/с, обєм оперативної памяті-10 у 4 степені слів.Режим
виконання-пакетна обробка.

Третє покоління ЕОМ:

Технічна основа-занадто великі інтегральні схеми, які на малих
півпровідникових кристалах реалізують великі схеми машин 2-го покоління.
Максимальна швидкодія-10 у 6 степені оп/с, оперативна память -10 у 6
степені слів, внутрішня память-10 у 9 степені слів. Метод виконання —
режим розподілу часу разом з пакетною обробкою.

4-те покоління ЕОМ:

Технічна основа-занадто великі інтегральні схеми. Традиційна архітектура
ЕОМ Фон Неймана домінувала на протязі трьох поколінь.

Максимальна швидкодія-10 у 9 степені оп/с, оперативна память-10 у 7
степені слів ,внутрішня память обмежена в основному економічними
міркуваннями.

5-те покоління ЕОМ.

Проекти ЕОМ п’ятого покоління знаходяться в стадії реалізації.
Максимальна швидкодія математичних обчислень доповнюється тут високими
скоростями логічного виводу. Форма спілкування з ЕОМ

на звичайній мові і дисципліна програм, як наука для користувача
перестають в майбутньому бути актуальними.

Історія і зміст предмета.

Обчислюваною математикою називають розділ математики, в якому
вивчають різні проблеми одержання числових результатів обчислень
математичних задач.

Якщо звернутися до історії математики то можна помітити, що
обчислювана математика перетворилась на самостійну вітку порівняно
недавно, десь в середині нашого століття. Цей факт в любому напрямку
науки повязані з появленням власних і внутрішніх задач.

Обчислювальна математика, як частина математики має таку ж
древню і багату історію, як і сама математика. Евклідова математика і
механіка Ньютона, теорія електромагнітного поля і квантова теорія
побудованіна математичній основі і дають потужні інструменти обчислень.

Зпоявленням ЕОМ розпочався золотий вік обчислювальної
математики.вона швидко розвивається. Звернувшись до періоду розвитку
обчислювальної математики після полявлення ЕОМ, можна побачити, що
найбільш яскраві досягнення в розвязку задач були отримані саме тими
вченими і інженерами, хто працював на ЕОМ, всі отрамані засоби
математики:»чистої», прикладної, обчислювальної.

З точки зору техніки обчислювальної математика дає в її
розпорядження методи , які умовно можна розбити на слідуючі 4 групи:
якісні, аналітичні , численні.

2.1. Матриця і її властивості.

Прямокутна таблиця з m(n чисел ,що має m рядків і n стовпців

a11 a12 … a1n

A= … …
… …

am1 am2 … amn

називається матрицею. Коротко матрицю позначають так:

А= ai j (і=1,2,…,m; j=1,2,…,n),

де ai j — елементи матриці.

Матрицю з єдиним стовпцем прийнято називати вектор-стовпцем, а матрицю
з єдиним рядком ( вектор-рядком.

Рівні матриці повинні мати рівні кількості рядків і стовпців, а також
рівні відповідні елементи.

Якщо в матриці число рядків рівне числу стовпців ,то матриця
називається квадратною :

a11 a12 … a1n

A= … … … …

an1 an2 … ann

Матриця А* називається транспонованою до матриці А , якщо стовпці
матриці А являються рядками матриці А*.

Наприклад: a11 a12

A= a21 a22

a31 a32

Транспонованою матрицею А* буде:

a11 a21 a31

A*=

a12
a22 a32

Приклад. Нехай А=(aij), де і=1,..,m, о=1,..,n. Це значить, що А-
матриця порядку m(n. Позначимо А* матрицю В = (bij), для якої bij =
aji, тоді А*матриця порядку n(m.

Квадратна матриця А називається симетричною відносно головної діагоналі
,якщо ai j=aj i .

Квадратна матриця, в якій всі елементи, що не лежать на головній
діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною. Якщо елементи
діагональної матриці, що розміщені на головній діагоналі, дорівнюють
одиниці, то матриця називається одиничною і позначають її буквою Е:

1 0 … 0

Е= 0 1 … 0

. . . . . . . . . . .

0 0 … 1

2.2. Дії над матрицями:

Як виявляється, над матрицями можливі арифметичні дії, властивості яких
близькі до властивостей арифметичних дій над числами.

Сумою двох матриць ai j і bi j з одинаковою кількістю рядків і
стовпців називається матриця сi j ,у якої елементом сi j є сума
aij+bij відповідних елементів матриць ai j bi j ,тобто

ai j + bi j = ci j ,

якщо ai j+bi j=ci j (i=1,2,..,m; j=1,2,..,n)

Приклад: a11 a12 b11 b12 a11+b11 a12+b12

a21 a22 b21 b22 a21+b21
a22+b22

Аналогічно знаходимо різницю двох матриць.

Матрицці різних порядків додавати(віднімати) не можна.

Множення матриці на число. Щоб помножити матрицю на число ( або число
на матрицю, потрібно кожний елемент матриці помножити на це число.

( * ai j = ( ai j

a11 a12 ( a11 ( a12

a21 a22 = ( a21 ( a22 .

Безпосередніми наслідками вказаних визначень є співвідношення:

1 ( А = А ( 1 = А ;

0 ( А = А ( 0 = 0 ;

( ( О = О ( ( = О ;

( (( А) = (( () А = (А () ( = А (( ();

А + (В +С) = (А+ В) + С;

А + В = В + А;

(( + () А = ( А + ( А;

( (А + В) = ( А + ( В;

А + О = О + А = А;

А + (-1)А = О;

Тут А, В, С — матриці одного порядку, (, ( — числа, О — нульова матриця
(всі її елементи дорівнюють нулеві). Перевірка вказаних властивостей не
викликає ускладнень.

Елемент ci j матриці С, яка є добутком матриці В на матрицю А, дорівнює
сумі добутків елементів і-того рядка матриці В на відповідний елемент
j-того стовпця матриці А, тобто

k

ci j =(bi (a( j (i=1,2,..,m; j=1,2,..,n).

(=1

Властивості добутку матриць:

(А В) С = А (В С);

А (В + С) = А В + А С;

(А + В) С = А С + В С;

А Е = Е А = А;

(А В)*= В*А*;

Тут А, В, С — довільні матриці, для яких вказані рівності мають сенс.

Доведемо першу рівність — асоціативність множення матриць.

Позначимо D = A B, F = B C, G = D C, H = A F. Потрібно довести, що G
=H. Оскільки множення вказаних вище матриць можливе, то А буде порядку
m(n, В — порядку n(k, С — порядку k(l. З означення множення дістанемо,
що D — порядку m(k, F — порядку n(l, G i H — матриці одного порядку
m(l.

Зафіксуємо довільні i, j і доведемо, що gij = hij.Маємо

k k k

gij = ( di( c(j = ( ( ai( b(( c(j ;

(=1 (=1 (=1

n n k

hij = ( ai(f(j =( ai( ( b(( c(j .

(=1 (=1 (=1

Позначивши t(( = ai( b(( c(j, отримаємо

k n
n k

gij = ( ( t(( , hij = ( ( t(( .

(=1 (=1
(=1 (=1

Кожна із вказаних сум дорівнює сумі всіх елементів деякої матриці (t((
), обчисленій двома різними способами. Отже, hij = gij, що й потрібно
довести.

Інші властивості добутку доводяться аналогіччно, тільки простіше.

Оберненою називається матриця А-1, така що якщо її помножити на матрицю
до якої вона обернена, то в результаті отримаємо одиничну матрицю.
А*А-1=Е

Знайти матрицю, обернену до квадратної матриці М= аi k ,можна за
допомогою операцій над розширеною матрицею А:

m11 . . . . m1n 1 . . . . 0

A= . . . . . . . . . . . . . . . .

mn1 . . . . mnn 0 . . . . 1

Якщо ліву частину матриці А звести елементарними перетвореннями до
одиничної, то в правій частині дістанемо матрицю, обернену до М.

До елементарних перетворень належать:

1)Переставлення двох рядків матриці А (або двох однойменних стовпців в
лівій і правій частинах матриці А);

2)Множення рядка на відмінне від нуля число( або однойменних стовпців в
лівій і правій частинах матриці А);

3)Заміна рядка сумою цього і будь-якого іншого рядка (або та ж сама
сума однойменних стовпців в лівій і правій частинах матриці А);

Ділення двох матриць.

Дію ділення можна замінити дією множення на обернену матрицю

( ( ( ( ( * В-1

PROGRAM povorot; {Поворот матриці }

USES CRT;

CONST

N=3;

TYPE

S=ARRAY[1..N,1..N]OF REAL;

SS=ARRAY[1..N,1..N]OF REAL;

VAR

S1:S;S2:SS;M,i,j:INTEGER;

BEGIN

FOR i:=1 TO N DO

BEGIN

FOR j:=1 TO N DO

BEGIN

READ(S1[i,j]); {Ввід матриці}

END;

END;

WRITE(‘Vvedit kut povorotu’);

READ(M); {Ввід кута повороту}

CASE M OF

90:BEGIN {Поворот матриці на 90(}

FOR i:=1 TO N DO

FOR j:=1 TO N DO

S2[I,J]:=S1[N-J+1,I];

FOR i:=1 TO N DO

FOR j:=1 TO N DO

WRITELN(S2[i,j]);

END;

180: BEGIN {Поворот матриці на 180(}

FOR I:=1 TO N DO

FOR J:=1 TO N DO

S2[I,J]:=S1[N-I+1,N-J+1];

FOR I:=1 TO N DO

FOR J:=1 TO N DO

WRITELN(S2[I,J]);

END;

270: BEGIN {Поворот матриці на 270(}

FOR I:=1 TO N DO

FOR J:=1 TO N DO

S2[I,J]:=S1[J,N-I+1];

FOR I:=1 TO N DO

FOR J:=1 TO N DO

WRITELN(S2[I,J]); {Вивід результату}

END; END;

END.

Program Suma; {Сума двох матриць}

Const dim1=20;

dim2=40;{dim2=2*dim1}

Type ar1=array[1..dim1,1..dim2] of real;

ar2=array[1..dim1,1..dim2] of real;

ar3=array[1..dim1,1..dim2] of real;

Var i,j,n,m:integer;

A:ar1;

B:ar2;

C:ar3;

Begin

write(‘Введіть розмірність матриці М’);

readln(n,m); {Ввід розмірності матриць }

write(‘Введіть матрицю М’);

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

read(A[i,j]); {Ввід першої матриці}

write(‘Введіть матрицю М’);

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

read(B[i,j]); {Ввід другої матриці}

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

C[i,j]:=A[i,j]+B[i,j]; {Обчислення суми матриць}

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

writeln(C[i,j]); {Вивід результату}

End.

Результати:

n=2,m=3

1 -4 5 6 -1 0 7 -5
5

0 3 8 6 0 -9 6 3
-1

Program Rizn; {Знаходження різниці двох матриць}

Const dim1=20;

dim2=40;

Type ar1=array[1..dim1,1..dim2] of real;

ar2=array[1..dim1,1..dim2] of real;

ar3=array[1..dim1,1..dim2] of real;

Var i,j,n,m:integer;

A:ar1;

B:ar2;

C:ar3;

Begin

write(‘Введіть розмірність матриці М’);

readln(n,m); {Ввід розмірності матриць}

write(‘Введіть матрицю М’);

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

read(A[i,j]); {Ввід першої матриці}

write(‘Введіть матрицю М’);

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

read(B[i,j]); {Ввід другої
матриці}

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

C[i,j]:=A[i,j]-B[i,j]; {Знаходження їх
різниці}

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

writeln(C[i,j]); {Вивід результату}

End.

Результати:

n=2,m=3

1 -4 5 6 -1 0 -5 -3
5

0 3 8 6 0 -9 -6 3
17

if k<>i then

For j:=n1 downto 1 do

a[k,j]:=a[k,j]-a[i,j]*a[k,i];end;

For i:=1 to n do

For j:=1 to n do

m[i,j]:=a[i,j+n];

For i:=1 to n do

For j:=1 to n do

writeln(m[i,j]:6:2); {Вивід оберненої матриці}

End.

2 4 3 -0,2
0 0,2

М= 0 -1 -5 М-1 = 0,41 0,18
-0,112

7 4 3 -0,08
-0,24 0,02

Program Dobutok; {Множення числа на матрицю}

Const dim1=20;

dim2=40;{dim2=2*dim1}

Type ar1=array[1..dim1,1..dim2] of real;

ar2=array[1..dim1,1..dim2] of real;

Var i,j,n,m:integer;

A:ar1; C:ar2;

r:real;

Begin

write(‘Введіть число’);

readln(r); {Ввід числа}

write(‘Введіть розмірність матриці М’);

readln(n,m); {Ввід розмірності матриці}

write(‘Введіть матрицю М’);

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

read(A[i,j]); {Ввід матриці}

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

C[i,j]:=A[i,j]*r; {Множення матриці на число}

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

writeln(C[i,j]); {Вивід результату}

End.

Резуьтати:

r=5 n=3,m=2

-1 2 -5 10

M= 3 5 C= 15 25

4 -2.5 20 -12.5

Program obernena; {Знаходження оберненої матриці}

Const dim1=20;

dim2=40;{dim2=2*dim1}

Type ar=array[1..dim1,1..dim1] of real;

ar1=array[1..dim1,1..dim2] of real;

Var i,j,k,n1:integer; n:integer;Var m:ar;e:real;

t,s:real;

a:ar1;

Begin

readln(e); {Ввід точності обчислень}

write(‘Введіть розмірність матриці М’);

readln(n); {Ввфд розмірності квадратної матриці}

write(‘Введіть матрицю М’);

For i:=1 to n do

For j:=1 to n do

read(m[i,j]); {Ввід матриці}

n1:=2*n;

For i:=1 to n do

For j:=1 to n1 do

if j<=n then a[i,j]:=m[i,j] else if j=n+i then a[i,j]:=1 else a[i,j]:=0; For i:=1 to n do begin k:=i;s:=a[i,i]; for j:=i+1 to n do begin t:=a[j,i]; if abs(s)i then

For j:=n1 downto 1 do

a[k,j]:=a[k,j]-a[i,j]*a[k,i];end;

For i:=1 to n do

For j:=1 to n do

m[i,j]:=a[i,j+n];

For i:=1 to n do

For j:=1 to n do

For k:=1 to n do

C[i,j]:=C[i,j]+B[k,i]*M[j,k]; {Множення матриці на обернену}

For i:=1 to n do

For j:=1 to n do

writeln(C[i,j]:6:2); {Вивід результату}

End.

Результати:

n=3

1 2 3 1 2 3

M= 4 5 6 B= 4 5 6

7 8 9 7 8 9

1 0 0

C= 0 1 0

0 0 1

Початок

Ввід n,m

i=1,n

j=1,m

Ввід А[i,j]

i=1,n

j=1,m

Ввід B[i,j]

i=1,n

j=1,m

C[i,j]=A[i,j]+B[i,j]

i=1,n

j=1,m

Вивід С[i,j]

Кінець

Початок

Ввід n,m

i=1,n

j=1,m

Ввід А[i,j]

i=1,n

j=1,m

Ввід B[i,j]

i=1,n

j=1,m

C[i,j]=A[i,j]-B[i,j]

i=1,n

j=1,m

Вивід С[i,j]

Кінець

Початок

Ввід n,m,l

i=1,n

j=1,m

Ввід А[i,j]

i=1,l

j=1,n

Ввід B[i,j]

i=1,m

j=1,l

k=1,n

C[i,j]=С[i,j]+А[k,i]*В[j,k]

i=1,m

j=1,l

Вивід С[i,j]

Початок

Ввід e,n

i=1,n

j=1,n

Ввід M[i,j]

n1=2*n

i=1,n

j=1,n

так j=n ні

a[i,j]=m[i,j] так j=n+1 ні

a[i,j]=1
a[i,j]=0

i=1,n

k=i s=a[i,i]

j=1,n

t=a[j,i]

s < t так s=t k=j s < e так М-вироджена j=i,n1 t=a[k,j] a[k,j]=a[i,j] a[i,j]=t/s k=1,n k<>i

j=n1,1

a[k,j]=a[k,j]-a[i,j]*a[k,i]

i=1,n

j=1,n

M[i,j]=A[i,j=m]

i=1,n

j=1,n

Вивід M[i,j]

Кінець

Початок

Ввід e,n

i=1,n

j=1,n

Ввід M[i,j]

n1=2*n

i=1,n

j=1,n

так j=n ні

a[i,j]=m[i,j] так j=n+1 ні

a[i,j]=1
a[i,j]=0

i=1,n

k=i s=a[i,i]

j=1,n

t=a[j,i]

s < t так s=t k=j s < e так М-вироджена j=i,n1 t=a[k,j] a[k,j]=a[i,j] a[i,j]=t/s k=1,n k<>i

j=n1,1

a[k,j]=a[k,j]-a[i,j]*a[k,i]

i=1,n

j=1,n

M[i,j]=A[i,j=m]

i=1,n

j=1,n

k=1,n

C[i,j]=С[i,j]+B[k,i]*M[j,k]

i=1,n

j=1,n

Вивід С[i,j]

Кінець

Початок

Ввід n

i=1,n

j=1,n

Ввід S1[i,j]

Ввід М

М=90( M=180(
M=270(

i=1,n i=1,n
i=1,n

j=1,n j=1,n
j=1,n

S2[i,j]=S1[n-j+1,i] S2[i,j]=S1[n-i+1,n-j+1]
S2]i,j]=S1[j,n-i+1]

i=1,n

j=1,n

Вивід S2[i,j]

Кінець

Program kursov;

type E=ARRAY [1..3,1..3] of real;

var A,B,C,S:E;

f,a1,b1:real;

t:integer;

mass:char;

procedure INPUT (mass:char; var A:E);

var x,y,n:integer;

begin

writeln (‘‚ўi¤ Ґ«Ґ¬Ґвiў ¬ бЁўг ‘,mass);

for y:=1 to 3 do

begin

for x:=1 to 3 do

read (A[x,y]);

end;

end;

procedure SUMM (A,B:E; var S:E);

var x,y:integer;

begin

for y:=1 to 3 do

for x:=1 to 3 do

S[x,y]:=A[x,y]+B[x,y];

end;

procedure SUB (A,B,S:E; var C:E;b2:real);

Њ бЁў C’);

for y:=1 to 3 do

begin

writeln;

for x:=1 to 3 do

begin

C[x,y]:=0;

for i:=1 to 3 do

C[x,y]:=C[x,y]+(S[i,x]*B[i,y]);

write (C[x,y]:7:2);

if (x=1) AND (y=1) then b2:=C[x,y]

else

if C[x,y]40 then a1:=0.2

else

a1:=0.11;

f:=SIN(a1*t)-EXP(2*a1*t)+b1;

writeln(t:8,f:16:4);

end;

end.

Початок

Ввід n,m

i=1,n

j=1,m

Ввід А[i,j]

i=1,n

j=1,m

Ввід B[i,j]

i=1,n

j=1,m

S[i,j]=A[i,j]+B[i,j]

i=1,m

j=1,l

С[i,j]+А[k,i]*В[j,k]

i=1,n

j=1,m

Вивід С[i,j]

так х=1,y=1 ні

b2=C[x,y]

так C[x,y]

Похожие записи