.

Віковські *-алгебри та їх зображення: Автореф. дис… канд. фіз.-мат. наук / Д.П. Проскурін, Київ. ун-т ім. Т.Шевченка. — К., 1999. — 19 с. — укp.

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1358
Скачать документ

Київський Університет імені Тараса Шевченка

Проскурін Данило Павлович

УДК 512.5

ВІКОВСЬКІ *-АЛГЕБРИ ТА ЇХ ЗОБРАЖЕННЯ

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ — 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському Університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:
• САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України, м. Київ

Офіційні опоненти:
• КЛІМИК Анатолій Улянович, доктор фізико-математичних наук, завідувач відділу Інституту теоретичної фізики НАН України, м. Київ
• СЕРГІЙЧУК Володимир Васильович, доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України, м. Київ

Провідна установа:
• Львівський державний університет імені Івана Франка

Захист відбудеться 4 жовтня 1999 року о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського Університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ – 127, проспект академіка Глушкова , 6, Київський Університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського Університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “ 3 ” вересня 1999 р.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради _________ В.В. Кириченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
Дисертаційна робота належить до одного з сучасних напрямків алгебри та теорії операторів — теорії зображень інволютивних алгебр.
Теорія зображень алгебр з інволюцією (*-алгебр) має різноманітні застосування в аналізі та математичній фізиці. Зокрема при побудові моделей теоретічної физики ; в теорії квантових груп та квантових однорідних просторів і їх застосуваннях у теорії точних розв’язків диференціальних рівнянь в частинних похідних ; в теорії несамоспряжених операторів при вивченні алгебраїчно заданих класів операторів; при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів та інш.
Одним з важливих напрямків досліджень пов’язаних з теорією *-алгебр є вивчення *-алгебр заданих твірними та визначальними співвідношеннями та їх зображень (обмеженими та необмеженими операторами в гільбертовому просторі). Так Й. Кунтцем (1977) вивчалась *-алгебра породжена сімейством взаємно ортогональних ізометрій (скінченим або зліченим). В роботах В.Л. Островського та Ю.С. Самойленка (1989)вивчались набори самоспряжених операторів пов’язаних нелієвськими співвідношеннями а також “динамічні” *-алгебри. В роботі Ю.С. Самойленка, Л.Б. Туровської та В.С. Шульмана (1996) вивчались набори операторів пов’язаних напівлінійними співвідношеннями.
Багато прикладів *-алгебр заданих твірними та співвідношеннями пов’язані з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки.
А. Макфарлейн та незалежно від нього Л.Біеденхарна (1989) в рамках узагальнення одновимірного гармонічного осцилятору ввели до розгляду та дослідили *-алгебру породжену твірними пов’язаними співвідношенням
(1)
Пізніше К. Даскалоянісом (1991) був введений клас “нелінійних” узагальнень одновимірного осцилятору та вивчені умови існування Фоківського зображення для алгебр цього класу.
Серед багатовимірних узагальнень виділимо *-алгебру введену в роботах О. Грінберга (1991) та незалежно від нього в спільній роботі М. Божейко та Р. Шпайхера (1991) в зв’язку з вивченням моделей некомутативної теорії ймовірностей, яка дістала назву q-канонічних комутаційних співвідношень (q-CCR). Ця алгебра породжується твірними , які задовольняють співвідношенням

К. Дікема та А. Ніка (1993) довели, що ля досить малих q -алгебра породжена операторами Фоківського зображення q-CCR ізоморфна розширенню алгебри Кунтца за допомогою компактних операторів.
Іншим прикладом є зкручені канонічні комутаційні співвідношення введені В. Пушем та С. Вороновичем (1989) .

Зкручений аналог класичних антикомутаційних співввідношень був побудований та вивчений в роботі В. Пуша (1989)

Відмітимо, що в усіх наведених вище прикладах *-алгебри є квадратичними (тобто визначальні співвідношення є некомутативними поліномоми другого степеню відносно твірних). Більше того, як неважко помітити, всі вони містять правила комутації між та для всіх . Тому в роботі П.Е.Т. Йоргенсена, Л.М. Шмітта та Р.Ф. Вернера (1995) було запропоновано до розгляду клас Віковських *-алгебр, що є прямими узагальненням наведених вище прикладів. А саме, Віковською алгеброю називається *-алгебра, що надалі позначатиметься W(T), породжена твірними та визначальними співвідношеннями вигляду

Важливими задачами пов’язаними з вивченням Віковських алгебр є класифікація незвідних *-зображень з точністю до унітарної еквівалентності, дослідження Фоківського зображення, зокрема додатньої визначеності Фоківського скалярного добутку, знаходження додаткових співвідношень між твірними сумісних з визначальними співвідношеннями, зокрема вивчення будови Віковських ідеалів та однорідних віковських ідеалів а також виділення класів Віковських алгебр для якіх має місце теорема про існування додаткових співвідношень між твірнімі, що виконуються в довільному незвідному обмеженому зображенні.

Мета роботи.
1. Дослідження необхідних та достатніх умов існування однорідних Віковських ідеалів вищих степенів, зокрема узагальнення результатів Йоргенсена та інш. доведених для випадку однорідних Віковських ідеалів степеню 2 на загальний випадок; знаходження точної формули для обчислення твірних Віковських ідеалів вищих степенів;
2. Побудова класу Віковських алгебр для яких існують додаткові співвідношення між твірними, що задовольняються в довільному обмеженому зображенні та опис незвідних зображень алгебр цього кдасу обмеженими та необмеженими операторами в гільбертовому просторі;
3. Розв’язання окремих задач поставлених в роботі Йоргенсена, а саме класифікація незвідних зображень Віковської алгебрі, пов’язаної з зкрученими антикомутаційними співвідношеннями (алгебра Пуша) , поширення інтервалу строгої додатньості Фоківського скалярного добутку для Віковських алгебр з косовим оператором коефіцієнтів а також опис ядра Фоківського скалярного добутку в виродженому випадку.
Методика досліджень
В роботі використовуються методи теорії асоціативних алгебр, зокрема групових *-алгебр, теорії зображень, динамічних систем, спектральної теорії операторів та інш. .
Наукова новизна
Основні результати роботи є новими.
• Доведена необхідна і достатня умова існування однорідного віковського ідеалу довільного степеню.
• Наведена формула для обчислення твірних кубічного Віковського ідеалу для косового оператору коефіціентів.
• Одержана відповідь на питанння Йоргенсена , а саме доведено, що в довільному обмеженому зображенні – CAR алгебри мають місце додаткові співвідношення між твірними, які породжують квадратичний (не максимальний) Віковський ідеал.
• Розширений інтервал строгої додатньості Фоківського скалярного добутку для Віковських алгебр з косовим оператором коефіціентів. У випадку виродженого скалярного добутку, доведено, що ядро співпадає з максимальним квадратичним ідеалом.
• Для Віковських алгебр з косовим оператором коефіцієнтів доведено, що ядро Фоківського зображення співпадає з *-ідеалом породженим ядром Фоківського скалярного добутку.
• Побудований клас Віковських алгебр з квадратичним ідеалом максимального рангу з некосовим оператором коефіціентів. Для алгебр цього класу доведена теорема типу Клєніке-Широкова та надано опис класів унітарної еквівалентності незвідних зображень обмеженими операторами в гільбертовому просторі.

Теоретичне та прикладне значення.
Результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при вивченні зображень *-алгебр заданих твірними та визначальними співвідношеннями та їх застосуваннях в теорії операторів та математичній фізиці.

Апробація роботи.
Результати роботи доповідались на семінарі “Алгебраїчні проблеми функціонального аналізу” Інституту математики НАН України, на семінарі з теорії зображень у Київському Універсітеті імені Тараса Шевченка, на семінарі відділу математичних методів теоретичної фізики Інституту теоретичної фізики НАН України; на міжнародній конференції “Symmetry 95” (м. Київ, 1995 рік), на міжнародній конференції “Representations theory and computer algebra” (м. Київ, 1997), на міжнародній конференції “Mathematical Physics — Today, Priority Technologies — for tomorrow” (м. Київ, 1997).

Публікації
Результати дисертації опубліковано в роботах [1- 4], список яких наведено в кінці автореферату. З них 3 роботи надруковано в журналах з переліку затвердженого ВАК України.

Структура і об’єм роботи
Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації — 115 сторінок. Список використаних джерел містить 40 найменувань.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі подано короткий огляд історії питань, вивченню яких присвячена дисертація, наведені основні результати роботи.
Перший розділ присвячений основним означенням та вивченню алгебраїчних властивостей Віковських алгебр.
В підрозділі 1.1 наводяться означення Віковської алгебри, її канонічна реалізація, поняття Віковськи впорядкованих мономів.
Розглянемо H = скінченовимірний гільбертів простір та його формально спряжений простір . Побудуємо також повну тензорну алгебру над . Тоді W(T) канонічно реалізується як

У цій реалізіції підалгебра породжена ототожнюється з підалгеброю , а простір однорідних поліномів від степені n ототожнюється з простором .
Неважко пересвідчитись, що використовуючи визначальні співвідношення, довільний елемент W(T) можна подати у вигляді лінійної комбінації елементів вигляду (слово, що відповідає дорівнює 1). Такі елементи називаються Віковські впорядкованими мономами. Зауважимо, що Віковські впорядкованя мономи утворюють базу W(T).
В підрозділі 1.2 наводяться означення оператору побудованого за коефіцієнтами алгебри W(T), в термінах якого будуть сформульовані всі результати першого розділу.

Розглянемо також розширення цього оператору на вищі степені .

Введемо також оператор знищення у повному Фоківському просторі:

За допомогою цих операторів в твердженні 1.2.1 наводиться формула , за якою можна отримати розклад довільного моному з W(T) за базисом, складеним з Віковськи впорядкованих мономів.

Твердження 1.2.1 Для довільних та має місце тотожність в W(T)

Підрозділ 1.3 присвячений поняттю віковського ідеалу. На неформальному рівні, Віковські ідеали описують додаткові співвідношення між твірними які “не суперечать” визначальним співідношенням.

Означення 1.3.1 (Йоргенсен та інш.) Двосторонній ідеал називається Віковським ідеалом, якщо . Якщо ж ідеал породжується деяким підпростором в , то називається однорідним Віковським ідеалом степені .

Основними результатами цього підрозділу є наступні твердження. Твердження 1.3.2 формулює критерій того, що підпростір в породжує однорідний Віковський ідеал.

Твердження 1.3.2 Нехай — проектор. Двосторонній ідеал породжений підпростором є Віковським ідеалом тоді і лише тоді коли виконуються наступні умови:

1. ( оператори діють в просторі )
2. (оператори діють в просторі ).

Причому, якщо оператор є косовим і — проектор на , то друга умова виконується автоматично.

В твердженні 1.3.3 доводиться, що в випадку Віковської алгебри з косовим оператором T існування однорідних Віковських ідеалів є необхідною умовою існування загальних Віковських ідеалів.
В підрозділі 1.4 більш детально вмвчаються властивості однорідних Віковських ідеалів. Основним результатом є теорема 1.4.1 яка стверджує, що в випадку косового T , існування квадратичного Віковського ідеалу є необхідною умовою існування однорідних Віковських ідеалів. Нагадаємо, що в косовому випадку максимальний Віковський однорідний ідеал степені породжується простором .
Теорема 1.4.1 Нехай є косовим і задовольняє умові , тоді

Наслідок Якщо -1

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020