ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БОНДАРЕНКО Яна Сергіївна

УДК 519.2:612.822

Статистичне моделювання дендритів нейронів

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Турчин Валерій Миколайович,

Дніпропетровський національний університет,

завідувач кафедри статистики та теорії ймовірностей

Офіційні опоненти: заслужений діяч науки і техніки України

доктор фізико-математичних наук, професор

Яковлєв Сергій Всеволодович,

Національний університет внутрішніх справ МВС України,

професор кафедри прикладної математики

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Козіна Галина Леонідівна,

Запорізький національний технічний університет

Міністерства освіти і науки України

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса
Шевченка,

факультет кібернетики

Захист відбудеться “ 8 ” вересня 2006 р. о 14.00 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському
національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, просп.
К.Маркса, 35, корп. 3, ауд. 25.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Дніпропетровського
національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул.
Козакова, 8.

Автореферат розісланий “ 4 ” серпня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.А. Турчина

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом у світовій науці активно
досліджуються нервові клітини (нейрони) – основні функціональні та
структурні одиниці нервової системи. За останнє десятиріччя опубліковано
велику кількість робіт, присвячених різним аспектам вивчення нейронів, і
зокрема моделюванню дендритів (нейрон складається з тіла клітини,
дендритів і аксона). Основні результати в цій галузі пов’язані з іменами
D. Hillman (Department of Physiology and Biophysics, New York University
Medical Center, New York), H. Uylings, J. van Pelt, M. van Veen, R.
Verwer (Netherlands Institute for Brain Research, Amsterdam, The
Netherlands), A. Dityatev (Department of Physiology, University of Bern,
Switzerland), R. Nowakowski (Department of Neuroscience and Cell
Biology, University of Medicine and Dentistry of New Jersey-Robert Wood
Johnson Medical School, USA), A. Carriquiry (Department of Statistics,
Iowa State University, USA), W. Kliemann (Department of Mathematics,
Iowa State University, USA), R. Burke (Laboratory of Neuronal Control,
National Institute of Neurological Disorders and Stroke, Maryland), G.
Ascoli, J. Krichmar, S. Nasuto, S. Senft, R.Scorcioni
(Krasnow Institute for Advanced Study, George Mason University, USA) та
ін. Починаючи з простих уявлень, поступово ускладнюючи модель, можна
більш детальніше моделювати і досліджувати реальний нейрон. Моделювання
нейронів дозволяє глибше дослідити різні аспекти функціонування як
окремого нейрона, так і нейронних мереж різного ступеня складності. За
принципами організації і функціонування біологічних нейронних мереж,
яким притаманна властивість оптимальності в обробці інформації,
будуються штучні нейронні мережі. Нейрон отримує інформацію від інших
нейронів через дендрити, тому для побудови адекватної математичної
моделі нейронної мережі необхідно мати адекватну математичну модель
нейрона реальної фізичної форми, зокрема модель геометрії дендрита
нейрона. Відтак актуальність проблематики, пов’язаної з побудовою
адекватних математичних моделей дендритів нейронів реальної фізичної
форми, є безперечною.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є створення,
дослідження та обгрунтування ймовірнісної моделі та алгоритму
моделювання дендритів, що адекватно описують різні класи нейронів.

Завданнями роботи, визначеними метою, є:

уведення та дослідження нових характеристик дендритів;

розробка моделі та алгоритму моделювання сегментів дендритів;

побудова ймовірнісної моделі дендритних дерев та розробка алгоритму
моделювання дендритів нейронів;

створення комплексу програм моделювання та візуалізації реалізацій
дендритів;

апробація та ілюстрація роботи алгоритму моделювання дендритів,
перевірка адекватності опису дендритних дерев імовірнісною моделлю на
прикладі моделювання дендритів Пуркін’є клітин кори мозочку морської
свинки.

Об’єктом дослідження є нервові клітини (нейрони).

Предметом дослідження є імовірнісні моделі та алгоритми моделювання
дендритних структур нейронів.

Методи дослідження. В роботі застосовуються методи теорії ймовірностей,
математичної статистики, статистичного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати, добуті в
дисертаційній роботі, є новими:

уперше запропоновано принципово нову ймовірнісну модель побудови
дендритів нейронів та обгрунтовано вибір основних числових характеристик
дендритів;

уперше розроблено та обгрунтовано модель і алгоритм моделювання
сегментів дендрита реальної геометричної форми;

розроблено новий алгоритм моделювання дендритних дерев, що включає
алгоритм моделювання ланок сегментів, алгоритм моделювання сегментів без
піддерев, алгоритм моделювання сегментів з піддеревами, алгоритм
моделювання піддерев;

розроблено комплекс програм моделювання та візуалізації реалізацій
дендритних дерев нейронів;

уперше проілюстровано вплив основних числових характеристик імовірнісної
моделі на реалізації дендритних дерев і на значення похідних числових
характеристик дендритів;

уперше строго проведено перевірку адекватності опису реальних дендритів
моделлю.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновану імовірнісну
модель та алгоритм моделювання дендритів рекомендується застосовувати
для побудови та вивчення моделей біологічних і штучних нейронних мереж.

Кожен набір певних значень основних характеристик імовірнісної моделі
описує свій морфологічний клас нейронів (при цьому характеристики
нейронів одного класу збігаються), тому ймовірнісну модель можна
використовувати для розв’язання задач класифікації типів нейронів.

Імовірнісна модель стисло описує морфологічний клас нейронів, що
дозволяє замінити великі бази даних нейронної морфології набором
розподілів основних числових характеристик дендритів, за допомогою яких
генерується необхідна для досліджень вибірка нейронів.

Особистий внесок здобувача. У працях, що написані в співавторстві,
дисертанту належить: [1;4] – розробка теоретичного підгрунтя для
моделювання сегментів як ламаних, побудова ймовірнісної моделі, розробка
алгоритму моделювання дендритів без піддерев; [6] – апробація та
ілюстрація роботи алгоритму моделювання дендритів з піддеревами на
прикладі побудови моделей дендритів Пуркін’є клітин кори мозочка
морської свинки, перевірка адекватності опису дендритів моделлю.

Праці [1;4;6] опубліковані в співавторстві з Турчиним В.М.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної
роботи доповідалися: на ІІ Міжнародній науково-практичній конференції
„Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем”
(Дніпропетровськ, 2004); Міждержавній науково-методичній конференції
“Проблеми математичного моделювання” (Дніпродзержинськ, 2005); ІІІ
Міжнародній науково-практичній конференції „Математичне та програмне
забезпечення інтелектуальних систем” (Дніпропетровськ, 2005).

Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на наукових семінарах

відділу математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики
ім. В.М. Глушкова НАН України;

Інституту фізіології ім. О.О. Богомольця НАН України;

кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету
кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики факультету
прикладної математики, кафедри статистики й теорії ймовірностей
механіко-математичного факультету Дніпропетровського національного
університету.

Публікації. Основні результати дисертації викладено у 6 наукових працях,
з них 3 статті – у наукових фахових виданнях, 3 тези доповідей – на
наукових конференціях.

Обсяг та структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу,
п’яти розділів, висновків, списку використаної літератури та двох
додатків. Повний обсяг дисертації становить 165 сторінок, з яких 129
сторінок основного тексту. В роботі 108 рисунків, 49 таблиць.
Бібліографія нараховує 56 найменувань на 5 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан
її вивчення, наведено підстави для розробки теми, сформульовано мету та
задачі дослідження, наукову новизну та практичне значення одержаних
результатів, визначено особистий внесок здобувача, ступінь апробації
дисертації, вказано кількість публікацій з даної теми.

У першому розділі “Огляд стану досліджень з проблеми математичного
моделювання дендритних дерев нейронів” розглянуто основні математичні
моделі й алгоритми побудови дендритних дерев, які виявилися етапними для
розвитку математичного моделювання дендритів нейронів.

Математичні дослідження дендритів нейронів умовно можна розбити на
чотири етапи. На першому етапі аналізувалися метричні та топологічні
характеристики дендритів і співвідношення між ними. На другому етапі
вивчалася імовірність розгалуження сегментів дендритів. На третьому
етапі розроблялися алгоритми побудови моделей дендритних дерев. На
четвертому етапі порівнювались результати моделювання та реальні
дендрити.

Перший алгоритмічний опис дендритів нейронів з’явився в 80-х рр. XX ст.
в наукових працях Hillman. Для опису дендритів Hillman
запропонував такі параметри: діаметр кореневого сегмента, пороговий
діаметр закінчення сегмента, коефіцієнт звуження сегмента, довжину
сегмента, відношення діаметрів дочірніх сегментів, ступінь сегмента (ці
параметри Hillman назвав фундаментальними). Згідно з алгоритмом,
запропонованим Hillman, дендритні дерева описуються послідовністю
рекурсивних процедур росту окремих сегментів. Сегменти дендритів
моделюються прямолінійними відрізками випадкової довжини, діаметри
сегментів зменшуються вздовж сегментів згідно з коефіцієнтом звуження,
імовірності розгалуження (закінчення) сегментів залежать від діаметрів.

З часом алгоритмічний опис дендритів нейронів поглиблюється. Так,
алгоритм Burke (1992 р.) відрізняється від алгоритму Hillman детальним
описом побудови сегмента між двома точками розгалуження.

Починаючи з 2000 року побудова моделей дендритів різних типів нейронів
здійснюється в програмі L-Neuron, яку запропоновав Ascoli. Програма
L-Neuron створена для опису, моделювання, візуалізації та вивчення
дендритної морфології нейронів (на рис. 1, стовпці 2,3,4 зліва,
зображено реалізації дендритів Пуркін’є клітин кори мозочка морської
свинки, побудовані за алгоритмами Hillman, Hillman/Poliko, Burke у
програмі L-Neuron).

Реальні

дендрити Пуркін’є клітин кори мозочка морської свинки Реалізації
дендритів, одержані за алгоритмом Hillman Реалізації дендритів, одержані
за алгоритмом Hillman/Poliko Реалізації дендритів, одержані за
алгоритмом

Burke Реалізації

дендритів,

одержані за алгоритмом Бондаренко/Турчин

Рис. 1. Результати моделювання дендритів Пуркін’є клітин кори мозочка
морської свинки. Реальні клітини та всі реалізації дендритів наведено в
одному і тому самому масштабі. (Відкрито вільний доступ до зображень
реальних клітин та реалізацій, побудованих за алгоритмами Hillman,
Hillman/Poliko, Burke, на сайті HYPERLINK
«http://www.krasnow.gmu.edu/L-Neuron/index.html»
http://www.krasnow.gmu.edu/L-Neuron/index.html )

Огляд сучасного стану досліджень з проблеми математичного моделювання
дендритів нейронів реальної фізичної форми дозволив виділити
недостатньо вивчені аспекти побудови моделей дендритних дерев. Моделі
Hillman, Hillman/Poliko, Burke неадекватно описують дендрити (див. рис.
1, стовпці 2,3,4 зліва); неадекватність моделей реальним дендритам
встановлювалася через суб’єктивне зіставлення значень оцінок числових
характеристик моделей та реальних дендритів, а отже, вимагає додаткового
вивчення питання про методику перевірки адекватності моделей. Алгоритми
Hillman, Hillman/Poliko, Burke потребують модифікації, тому необхідний
принципово новий підхід до моделювання дендритів нейронів.

У другому розділі “Імовірнісна модель та алгоритм моделювання
дендритів” наведено термінологію, яка використовується для опису
структури дендритів, розроблено ймовірнісну модель та алгоритм
моделювання дендритів, запропоновано теоретичне підгрунтя для
моделювання сегментів дендритів.

У підрозділі 2.1 “Структура дендритних дерев, термінологія, позначення”
для опису структури дендритів використано загальноприйняту термінологію
і, крім того, введено нові поняття.

Точка розгалуження – точка біфуркації (маркер 1 на рис. 2). Дендритний
сегмент – частина дендрита між двома точками розгалуження (маркер 2 на
рис. 2) або між сомою та найближчою точкою розгалуження, або між точкою
розгалуження та кінцем дендрита (маркер 3 на рис. 2).

Рис. 2. До визначення структури дендрита: 1 – точка розгалуження; 2 –
материнський сегмент для сегментів 5; 3 – дендритний сегмент; 4 –
кінцевий сегмент; 5 – дочірні сегменти для сегмента 2; 6 –
ланка сегмента; 7 – кут між материнським та дочірнім сегментами; 8 –
проміжний кут; 9 – кореневий сегмент 2-го рівня; 10
– кут між кореневим і материнським сегментами; 11 –
кореневий сегмент 1-го рівня

Материнський сегмент даного сегмента – сегмент, що його породжує
(на рис. 2 сегмент 2 є материнський сегмент для сегментів 5).
Дочірній сегмент даного сегмента – це породжений ним сегмент (на рис. 2
сегменти 5 є дочірні для сегмента 2); кожен сегмент має 0 чи 2 дочірні
сегменти. Кінцевий сегмент – сегмент, що має 0 дочірніх сегментів
(маркер 4 на рис. 2). Загальна довжина дендрита – сума довжин усіх
сегментів дендрита. Path distance – довжина частини дерева від кінця
дендрита до соми. Ланка сегмента – частина сегмента між двома сусідніми
“оцифрованими” точками сегмента (маркер 6 на рис. 2).

Уперше при дослідженні дендритних дерев уведено такі поняття.

Кут між материнським та дочірнім сегментами – кут, утворений прямою,
проведеною у напрямку першої ланки дочірнього сегмента, і прямою,
проведеною у напрямку останньої ланки материнського сегмента (маркер 7
на рис. 2).

Проміжний кут – кут, утворений прямою, проведеною у напрямку даної
ланки, і прямою, проведеною у напрямку попередньої ланки того самого
дендритного сегмента (маркер 8 на рис. 2).

Кореневий сегмент – дочірній сегмент, який утворює з материнським
сегментом кут, близький до прямого (маркер 9 на рис. 2). Цей кут
називатимемо кутом між кореневим та материнським сегментами (маркер 10
на рис. 2).

Піддерево (піддендрит) – упорядкована множина сегментів, утворена
кореневим сегментом та іншими некореневими сегментами, кожен із яких
закінчується точкою розгалуження чи кінцем дендрита.

Порядок сегмента в піддереві – топологічна відстань сегмента від точки
росту кореневого сегмента; його значенням є ціле число, що збільшується
на одиницю з кожним розгалуженням; порядок кореневого сегмента дорівнює
одиниці.

Рівень піддерева визначається рівнем його кореневого сегмента. Сегмент,
який росте з соми, будемо називати кореневим сегментом 1-го рівня
(маркер 11 на рис. 2). Кореневий сегмент, який росте на
піддереві 1-го рівня, називатимемо кореневим сегментом 2-го рівня
(маркер 9 на рис. 2) і т.д.

Сегмент з піддеревами – сегмент, що має принаймні одне піддерево.

Сегмент без піддерев – сегмент, що не має жодного піддерева.

(див. рис. 3).

Рис. 3. До визначення “коридору” сегмента

Сегмент дендрита під час свого росту або зупиняється в “коридорі” іншого
сегмента, або “відбивається” від “коридору” іншого сегмента, або
перетинає “коридор” іншого сегмента. “Відбиття” сегмента від “коридору”
відбувається під малим кутом, перетин “коридору” сегментом та поглинання
сегмента “коридором” відбуваються під великим кутом (див. рис. 3).

Кут входу в “коридор” – кут, утворений напрямком даної ланки з напрямком
ланки сегмента, що знаходиться в “коридорі”.

“Центр” дендрита – середина відрізка, який з’єднує два найвіддаленіших
кінця дендрита. Радіус дендрита визначається за його опуклою оболонкою.

Дендрити нейронів розглядаються як упорядковані множини сегментів, кожен
із яких закінчується точкою розгалуження чи кінцем дендрита. Дендрити
характеризуються низкою числових характеристик: довжинами сегментів,
кутами між сегментами, кутами між ланками сегментів (проміжними кутами),
відстанями між точками росту піддерев та іншими. Всі ці характеристики є
випадкові величини.

У підрозділі 2.2 “Моделювання дендритів” запропоновано ймовірнісну
модель дендритів нейронів. Модель задається:

розподілом величини кута між материнським і дочірнім сегментами;

розподілом величини проміжного кута;

розподілом величини кута між кореневим і материнським сегментами;

розподілом довжини ланки сегмента;

імовірністю розгалуження сегмента;

імовірністю продовження росту сегмента без піддерев;

імовірністю продовження росту сегмента з піддеревами;

імовірністю появи піддерева на сегменті;

імовірністю формування сегмента як сегмента без піддерев;

імовірністю перетину сегментом “коридору”;

розподілом радіуса дендрита.

Перелічені характеристики моделі є основними характеристиками дендритів,
всі вони є необхідними для побудови дендритного дерева.

випадкової довжини згідно з розподілом довжини ланки.

).

– як сегмент з піддеревами.

Моделювання сегмента без піддерев. Нехай – точка розгалуження
дендрита (див. рис. 4 праворуч), – початок ланки, що
передує точці розгалуження . Ланка визначає промінь .

Рис. 4. До побудови моделі сегмента без піддерев. Ліворуч: –
початок наступної ланки. Праворуч: – точка розгалуження; ,
– кути між материнським та дочірнім сегментами дендрита (маркер 1);
– проміжний кут (маркер 2); – промені, уздовж яких
відкладаються ланки

Від променя відкладаються промені і під правим та
лівим випадковими кутами і відповідно до розподілів кутів
між материнським і дочірнім сегментами. Далі вздовж променя
відкладається ланка випадкової довжини згідно з розподілом довжини
ланки. Точка з імовірністю – початок наступної ланки (від
променя відкладається промінь під випадковими кутом
відповідно до розподілу проміжного кута, вздовж променя
відкладається наступна ланка випадкової довжини згідно з розподілом
довжини ланки), і з імовірністю не є
початком наступної ланки, тобто є кінцем сегмента
(з імовірністю ) або точкою розгалуження (з імовірністю ).

Якщо точка – початок наступної ланки, то, починаючи з цієї точки,
з імовірністю сегмент моделюється як сегмент
без піддерев або з імовірністю – як сегмент із піддеревами.
Аналогічно “проходимо” вздовж променя . Слід зазначити, що ріст
сегментів відбувається одночасно.

Моделювання сегмента з піддеревами. Моделювання сегмента з піддеревами
(див. рис. 5) аналогічне попередньому (зазначимо, що ймовірність
продовження росту сегмента з піддеревами дорівнює ), при цьому
додатково в точці з імовірністю
будується піддерево. А саме: від променя відкладається промінь
під випадковим кутом відповідно до розподілу кута між кореневим і
материнським сегментами дендрита. Далі вздовж променя
відкладається ланка випадкової довжини згідно з розподілом довжини
ланки. Якщо точка – початок наступної ланки, то, починаючи з цієї
точки, з імовірністю сегмент моделюється як сегмент без піддерев
або з імовірністю – як сегмент з
піддеревами. Ріст сегмента й піддерева відбувається одночасно.

Рис. 5. До побудови моделі сегмента з піддеревами. Ліворуч: –
точка розгалуження; – кути між материнським і дочірнім сегментами
дендрита (маркер 1); – проміжний кут (маркер 2);
– промені, уздовж яких відкладаються ланки; – кут між кореневим
і материнським сегментами (маркер 3). Праворуч: – початок
наступної ланки

Моделювання сегмента в околі “коридору” сформованого сегмента. Якщо в
околі сформованого сегмента кут входу в “коридор” малий (див. рис.
3) і ланка потрапляє в “коридор” сегмента, то відбувається відбиття
частини ланки від “коридору” сегмента, в супротивному разі – з
імовірністю ланка перетинає “коридор” сформованого сегмента або з
імовірністю ланка поглинається “коридором” сегмента.

Межа, яка відділяє великі значення кута від малих, визначається за
оцінкою величини найбільшого кута відбиття, знайденої за
вибіркою.

Ріст дендритного дерева обмежено радіусом дендрита нейрона
(останнє відображає той факт, що реальні дендрити не ростуть
необмежено).

У підрозділі 2.3 “Алгоритмізація ймовірнісної моделі дендрита”
розроблено алгоритм моделювання дендритів, складниками якого є:

алгоритм моделювання ланок сегментів;

алгоритм моделювання сегментів без піддерев;

алгоритм моделювання сегментів із піддеревами;

-го рівня.

Алгоритм моделювання дендритів.

Створення черги елементів.

Моделювання ланки згідно з алгоритмом моделювання ланок.

Якщо , то відбувається продовження росту сегмента (перехід до п.
4), інакше – закінчення росту сегмента (перехід до п. 6).

Моделювання – рівномірно розподіленої на (0,1) випадкової
величини.

Якщо , то сегмент моделюється згідно з алгоритмом моделювання
сегментів без піддерев, інакше – згідно з алгоритмом моделювання
сегментів із піддеревами.

Якщо , то кінець сегмента є точкою розгалуження (в цьому випадку до
п. 2 слід звертатися двічі), в супротивному разі – закінченням дендрита.

Зазначимо, що при проводиться моделювання дендритів без піддерев,
в супротивному разі ( ) – з піддеревами.

Алгоритм моделювання ланок такий.

Визначення початку ланки (блок From_Push_Up).

Обчислення відстані від початку ланки до “центра” дендрита (блок
Radius). Якщо ця відстань менша радіуса реального дендрита, то перехід
до п. 3, інакше – початок ланки є закінченням дендрита (перехід до п.
8).

Моделювання довжини ланки (блок Length).

Моделювання величини кута, під яким відкладається ланка (блок Angle).

Обчислення координат кінця ланки (блок Matrix).

Тестування ланки на наявність перетину нею вже сформованих сегментів
дендрита (блок StopGrowth).

Якщо кінець ланки є закінченням дендрита, – перехід до п. 8, в
супротивному разі – відбувається вставка в кінець черги нового елемента
(блок In_Push_Up) – кінця ланки.

Кінець алгоритму.

Варто зазначити, що при моделюванні ланок паралельно відбувається
моделювання їх “коридорів”, послідовності “коридорів” ланок утворюють
“коридори” сегментів.

Алгоритм моделювання сегментів без піддерев такий.

Моделювання ланки згідно з алгоритмом моделювання ланок.

Якщо кінець ланки є закінченням дендрита, – перехід до п. 7, інакше –
до п. 3.

Моделювання – рівномірно розподіленої на (0,1) випадкової величини.

Якщо , то відбувається продовження росту сегмента без піддерев
наступною ланкою (перехід до п. 1), інакше – закінчення росту сегмента

(сегмент сформовано), перехід до п. 5.

Моделювання – рівномірно розподіленої на (0,1) випадкової величини.

Якщо , то кінець сегмента є точка розгалуження, в супротивному
разі – закінчення дендрита.

Кінець алгоритму.

Алгоритм моделювання сегментів із піддеревами аналогічний алгоритму
моделювання сегментів без піддерев, за винятком п. 4. Останній
розбивається на низку підпунктів.

4.1. Якщо , то відбувається продовження росту сегмента (перехід

до п. 4.2), інакше – закінчення росту сегмента (перехід до п. 5).

4.2. Моделювання – рівномірно розподіленої на (0,1) випадкової
величини.

4.3. Якщо , то на сегменті з’являється піддерево (перехід до п.
4.4),

в супротивному разі – до п. 1.

-го

рівня.

-го рівня аналогічна структурі загального алгоритму моделювання
дендритів, при цьому ймовірність розгалуження сегментів залежить від
порядку сегментів у піддеревах і рівнів піддерев.

Алгоритм моделювання дендритів реалізовано в програмі імітації росту
дендритних дерев, при цьому дендрити моделюються з використанням
динамічної структури даних.

У підрозділі 2.4 “Моделювання розподілу довжин сегментів” розроблено
теоретичне підгрунтя для побудови моделі сегментів дендритів. Уперше
сегменти дендритів моделюються як ламані з випадковими довжинами ланок і
випадковим числом ланок. Оскільки довжини сегментів більшості відомих
дендритів нейронів мають показниковий розподіл, то для моделювання
довжин сегментів було використано наступний отриманий у роботі
результат.

Теорема. Нехай – незалежні однаково розподілені випадкові величини
із щільністю

– випадкова величина з розподілом

Якщо , то функція розподілу випадкової величини

збігається до функції розподілу , зміщеного показникового розподілу з
параметрами .

Теорема дає підстави для “покрокового” моделювання сегментів дендритів.
Якщо сегменти моделюються досить малими ланками, довжини яких мають
зміщений показниковий розподіл з параметрами , при цьому
виконується “кроків” ( – випадкова величина зі зміщеним
геометричним розподілом (див. теорему)), то довжини
сегментів, що при цьому утворюються, будуть мати розподіл, близький до
зміщеного показникового з параметрами . Сегменти дендритів, що
утворюються при “покроковому” моделюванні, мають реальну геометричну
форму.

У третьому розділі “Основні характеристики і модель дендритів нейронів”
досліджується вплив основних характеристик імовірнісної моделі на форму
дендритів та значення похідних числових характеристик дендритів
(похідними характеристиками називатимемо характеристики дендрита, які в
імовірнісну модель не закладалися: загальна довжина дендрита, число
розгалужень, число закінчень, максимальний порядок сегмента, максимальна
path distance).

Відповідно до алгоритму моделювання дендритів за допомогою програми
імітації росту дендритних дерев побудовані й досліджені серії реалізацій
дендритів.

У першому рядку зверху (рис. 6)(без останньої реалізації дендрита)
зображено реалізації дендритів, у яких кут між материнським і дочірнім
сегментами постійний і дорівнює 0,2 радіана, у другому рядку (без
останньої реалізації) – , у третьому рядку (без останньої реалізації
дендрита) – .

У першому стовпці зліва (рис. 6) наведено реалізації дендритів, у яких
сегменти змодельовано як прямолінійні відрізки зі сталою довжиною,
ймовірність розгалуження сегментів залежить від порядку сегментів.

У другому стовпці зліва (рис. 6) зображено реалізації дендритів, у яких
сегменти змодельовано з випадковими довжинами.

У третьому стовпці зліва (рис. 6) наведені реалізації дендритів, які
змодельовані при таких обмеженнях росту: сегменти дендритів не
обростають сому; в околі “коридорів” сформованих сегментів інші сегменти
дендрита або відбиваються від “коридорів”, або перетинають „коридори”,
або зупиняються; ріст дендритів обмежено.

У четвертому стовпці зліва (рис. 6) наведено реалізації дендритів із
піддеревами. Сегменти дендритів моделюються як ламані з випадковими
довжинами ланок і випадковим числом ланок, кути між ланками – проміжні
кути – у всіх рядках дорівнюють 0.

У п’ятому стовпці зліва (рис. 6) зображено реалізації дендритів, у яких
проміжні кути розподілені , кути між материнськими та дочірніми
сегментами – у першому рядку розподілені , у другому – , у
третьому – .

EMBED PBrush

Рис. 6. Вплив основних числових характеристик на реалізації дендритів

У четвертому розділі “Розподіли числових характеристик дендритів
Пуркін’є клітин кори мозочка морської свинки” за “оцифрованими” файлами
дендритів Пуркін’є клітин кори мозочка морської свинки (вільний доступ
до файлів відкритий на сайті HYPERLINK
«http://www.krasnow.gmu.edu/L-Neuron/index.html»
http://www.krasnow.gmu.edu/L-Neuron/index.html ) одержані вибірки
числових характеристик дендритів, за якими визначено розподіли
1) довжини сегмента без піддерев; 2) довжини сегмента з
піддеревами; 3) величини кута між материнським і дочірнім сегментами; 4)
величини проміжного кута; 5) відстані між точками росту піддерев; 6)
величини кута між кореневим і материнським сегментами; 7) величини
радіуса дендрита (лінійні розміри виміряються в мікрометрах, кути – в
радіанах). Визначено розподіли характеристик ланки сегмента: 1) довжини
ланки; 2) числа ланок у сегменті без піддерев; 3) числа ланок у сегменті
з піддеревами.

Відносно розподілів числових характеристик дендритів і ланок сегментів
було одержано такі результати.

Довжини сегментів без піддерев, довжини сегментів із піддеревами,
відстані між точками росту піддерев, довжини ланок мають зміщений
показниковий розподіл (кожна характеристика зі своїми параметрами).

Величини кутів між материнськими та дочірніми сегментами, величини
проміжних кутів, величини кутів між кореневим і материнським сегментами,
радіуси дендритів мають нормальний розподіл (кожна характеристика зі
своїми параметрами).

Число ланок у сегментах без піддерев, число ланок у сегментах з
піддеревами мають зміщений геометричний розподіл (кожна характеристика
зі своїми параметрами) .

Довжини материнських і дочірніх сегментів, що ними породжені, є
незалежні випадкові величини; незалежними є величини кутів між
материнськими та дочірніми сегментами.

Знайдені оцінки ймовірності розгалуження сегмента, імовірності
продовження росту сегмента без піддерев, імовірності продовження росту
сегмента з піддеревами, імовірності появи піддерева на сегменті,
імовірності формування сегмента як сегмента без піддерев, імовірності
перетину сегментом “коридору”.

У п’ятому розділі роботи “Адекватність імовірнісної моделі дендритів”
одержані реалізації дендритів Пуркін’є клітин кори мозочку морської
свинки (див. останній стовпець зліва на рис. 1). Вперше
адекватність моделі реальним дендритам встановлюється шляхом перевірки
статистичних гіпотез, а саме гіпотез про збіг розподілів і параметрів
розподілів характеристик моделі й реальних дендритів нейронів. Перевірка
адекватності моделі реальним дендритам була проведена за основними і
похідними характеристиками (використано вибірки числових характеристик
реальних дендритів і вибірки характеристик 75 реалізацій дендритів).

При перевірці адекватності моделі за основними числовими
характеристиками перевіряються гіпотези про збіг розподілів довжин
ланок, величин кутів між материнським і дочірнім сегментами, величин
проміжних кутів, величин кутів між кореневим і материнським сегментами в
реалізаціях та реальних дендритах. Гіпотези про збіг основних числових
характеристик не відхиляються, що інтерпретується як адекватність моделі
за всіма основними числовими характеристиками.

У процесі перевірки адекватності моделі за похідними числовими
характеристиками перевіряються гіпотези про збіг розподілів довжин
сегментів без піддерев, довжин сегментів із піддеревами, відстаней між
точками росту піддерев, загальних довжин дендритів, числа розгалужень,
числа закінчень, максимальних порядків сегментів у реалізаціях і
реальних дендритах. Гіпотези про збіг похідних числових характеристик не
відхиляються.

Запропонована ймовірнісна модель адекватна реальним дендритам за всіма
основними і похідними числовими характеристиками.

У додатку А “Моделі Hillman, Hillman/Poliko, Burke, Бондаренко/Турчин”
наведено реалізації дендритів Пуркін’є клітин кори мозочка морської
свинки, одержані за допомогою алгоритмів Hillman, Hillman/Poliko, Burke,
і реалізації дендритів, знайдені за допомогою запропонованого алгоритму
побудови моделей дендритів.

У додатку Б “Програми моделювання та візуалізації дендритів нейронів“
подано розроблені програми побудови і візуалізації реалізацій дендритних
дерев нейронів.

ВИСНОВКИ

Останнім часом математичне моделювання дендритів стало невід’ємною
частиною дослідження біологічних нервових клітин. Адекватними методами
математичного моделювання дендритних дерев виявилися ймовірнісні методи.
У дисертаційній роботі розроблено теоретико-ймовірнісну модель
дендритів нейронів і ймовірнісний алгоритм моделювання росту дендритів.

Основні результати роботи.

1. Уперше запропоновано принципово нову загальну ймовірнісну модель
побудови дендритів нейронів. Модель задається нововведеними
характеристиками дендритів: величиною кута між материнським і дочірнім
сегментами, величиною проміжного кута, величиною кута між кореневим і
материнським сегментами, довжиною ланки сегмента, імовірністю
розгалуження сегмента, імовірністю продовження росту сегмента без
піддерев, імовірністю продовження росту сегмента з піддеревами,
імовірністю появи піддерева на сегменті, імовірністю формування сегмента
як сегмента без піддерев, імовірністю перетину сегментом “коридору”,
величиною радіуса дендрита.

2. Уперше розроблено модель та алгоритм моделювання сегментів як ламаних
з ланками випадкової довжини і випадковим числом ланок. Нові поняття
проміжного кута та ймовірності продовження росту сегмента (з
піддеревами, без піддерев) дозволили при “покроковому” моделюванні
формувати сегменти дендритів реальної геометричної форми.

-го рівня.

4. Робота алгоритму моделювання дендритів апробована і проілюстрована
моделюванням дендритів Пуркін’є клітини кори мозочка морської свинки. На
відміну від раніше відомих моделей Hillman, Hillman/Poliko, Burke,
запропонована імовірнісна модель адекватно описує дендрити; її
адекватність реальним дендритам уперше встановлюється перевіркою
статистичних гіпотез, а саме гіпотез про збіг розподілів і параметрів
розподілів основних і похідних числових характеристик моделі та реальних
дендритів.

5. Уперше досліджено вплив основних числових характеристик імовірнісної
моделі на форму реалізацій дендритних дерев і на значення похідних
характеристик. Вплив основних характеристик ілюструється серією
реалізацій дендритів. Серія починається з реалізацій дендритів,
одержаних за допомогою моделі, у якій майже всі основні характеристики
детерміновані й закінчується реалізаціями дендритів, одержаних за
допомогою моделі, основні характеристики якої стохастичні. Саме ця
остання модель за певних значень основних числових характеристик є
адекватна реальним дендритам, що свідчить на користь імовірнісної
природи дендритів нейронів, запропонованої імовірнісної моделі,
нововведених основних числових характеристик дендритів нейронів.

6. Уперше введено поняття “коридору” сегмента, радіуса дендрита,
імовірності перетину сегментом “коридору”, що дозволило моделювати
дендрити природної форми.

7. Уперше введено поняття піддендрита, кута між кореневим і материнським
сегментами, імовірності появи піддерева на сегменті, що дозволило
моделювати дендрити з піддеревами.

8. Розроблений комплекс програм моделювання та візуалізації реалізацій
дендритів дозволяє одержувати реалізації дендритних дерев різних типів
нейронів; слугує інструментом у дослідженні морфологічних особливостей
нейронів; дає можливість одержувати реалізації
дендритів природної геометричної форми.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Турчин В. М. Імовірнісна модель та алгоритм побудови дендрита нейрона
/ В. М. Турчин, Я. С. Бондаренко // Питання прикладної математики і
математичного моделювання. – Дніпропетровськ: ДНУ. – 2004. – С. 187-199.

2. Бондаренко Я. С. Алгоритм імітаційної моделі росту дендрита з
піддеревами // Вісник Запорізького національного університету.
Фізико-математичні науки. Біологічні науки. – Запоріжжя.: ЗНУ. – 2005. –
№1. – С. 5-10.

3. Бондаренко Я. С. Імітаційна ймовірнісна модель дендрита нейрона //
Математичні машини і системи. – Київ: ІПММС – 2006. – №1. – С. 13-27.

4. Бондаренко Я. С. Статистично-ймовірнісне моделювання дендрита нейрона
/ Я. С. Бондаренко, В. М. Турчин // Тези доп. 2-ї міжнар. наук.-практ.
конф. “Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем”. –
Дніпропетровськ: ДНУ. – 2004. – С. 18.

5. Бондаренко Я. С. Імітаційна ймовірнісна модель дендрита нейрона //
Тези доп. міждержавної наук.-метод. конф. “Проблеми математичного
моделювання”. – Дніпродзержинськ: ДДТУ. – 2005. – С. 36-37.

6. Бондаренко Я. С. Імітаційно-ймовірнісне моделювання дендрита нейрона
/ Я. С. Бондаренко, В. М. Турчин // Тези доп. 3-ї міжнар.
наук.-практ. конф. “Математичне та програмне забезпечення
інтелектуальних систем”. – Дніпропетровськ: ДНУ. – 2005. – С. 18-19.

АНОТАЦІЯ

Бондаренко Я.С. Статистичне моделювання дендритів нейронів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних
наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та
обчислювальні методи. – Дніпропетровський національний університет,
Дніпропетровськ, 2006.

У дисертації запропоновано загальну ймовірнісну модель і алгоритм
моделювання дендритів нейронів.

-го рівня, сегмент із піддеревами, сегмент без піддерев, “коридор”
сегмента, радіус дендрита, імовірність продовження росту сегмента без
піддерев, імовірність продовження росту сегмента з піддеревами,
імовірність появи піддерева на сегменті, імовірність формування сегмента
як сегмента без піддерев (сегмента з піддеревами).

-го рівня.

Досліджено вплив основних числових характеристик імовірнісної моделі
на форму реалізацій дендритів і на значення похідних
характеристик дендритів.

Робота алгоритму моделювання дендритів нейронів апробована
і проілюстрована моделюванням дендритів Пуркін’є
клітин кори мозочка морської свинки. Адекватність опису дендритів
моделлю встановлюється перевіркою гіпотез про збіг розподілів і
параметрів розподілів основних та похідних числових характеристик моделі
й реальних дендритів нейронів.

Ключові слова: імовірнісна модель, алгоритм моделювання, дендрит
нейрона, сегмент дендрита, ланка сегмента, піддерево, кут, імовірність
розгалуження сегмента, імовірність продовження росту сегмента,
адекватність.

АННОТАЦИЯ

Бондаренко Я.С. Статистическое моделирование дендритов нейронов. –
Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата
физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое
моделирование и вычислительные методы. – Днепропетровский
национальный университет, Днепропетровск, 2006.

-го уровня, сегмент с поддеревьями, сегмент без поддеревьев, “коридор”
сегмента, радиус дендрита, вероятность продолжения роста сегмента без
поддеревьев, вероятность продолжения роста сегмента с поддеревьями,
вероятность появления поддерева на сегменте, вероятность формирования
сегмента как сегмента без поддеревьев (сегмента с поддеревьями).

Дендриты нейронов рассматриваются как упорядоченные множества
сегментов, каждый сегмент заканчивается точкой ветвления или концом
дендрита, при этом длины сегментов с поддеревьями, длины сегментов без
поддеревьев, угол между звеньями сегментов (промежуточный угол),
расстояние между точками роста поддеревьев и другие характеристики
дендритов являются случайными величинами.

Вероятностная модель дендрита задается распределением величины угла
между материнским и дочерним сегментами, распределением величины
промежуточного угла, распределением величины угла между корневым
и материнским сегментами, распределением длины
звена сегмента, вероятностью ветвления сегмента, вероятностью
продолжения роста сегмента без поддеревьев, вероятностью продолжения
роста сегмента с поддеревьями, вероятностью появления поддерева на
сегменте, вероятностью формирования сегмента как сегмента без
поддеревьев, вероятностью пересечения сегментом “коридора”,
распределением радиуса дендрита.

-го уровня.

Сегмент дендрита моделируется ломаной со случайной длиной звена
и случайным числом звеньев. Введение понятий вероятности
продолжения роста сегмента (с поддеревьями, без поддеревьев) и
промежуточного угла позволило при “пошаговом” моделировании формировать
сегменты реальной геометрической формы.

Изучено влияние основных числовых характеристик модели на форму дендрита
и значения производных характеристик дендрита. Влияние основных
характеристик иллюстрируется серией реализаций дендрита. Серия
начинается реализациями, полученными с помощью модели, в которой почти
все характеристики детерминированы и заканчивается реализациями
дендритов, полученными с помощью модели, в которой все числовые
характеристики стохастические.

Работа алгоритма моделирования дендритов нейронов проиллюстрирована
моделированием дендритов Пуркинье клеток коры мозжечка морской свинки.
Адекватность описания дендритов моделью устанавливается с помощью
проверки статистических гипотез о совпадении распределений и параметров
распределений основных и производных числовых характеристик модели и
реальных дендритов нейронов.

Введение понятий “коридора” сегмента, радиуса дендрита, определение
вероятности пересечения сегментом “коридора” сформированного сегмента
позволило получать реализации естественной для реальних дендритов формы.
Введение понятий поддерева, угла между корневым и материнским
сегментами, определение вероятности появления поддерева на сегменте
обеспечило возможность моделировать поддеревья на сегментах дендрита.

Ключевые слова: вероятностная модель, алгоритм моделирования, дендрит
нейрона, сегмент дендрита, звено сегмента, поддерево, угол, вероятность
ветвления сегмента, вероятность продолжения роста сегмента,
адекватность.

ANNOTATION

Bondarenko Y. S. Statistical modeling of dendrites of neurons. –
Manuscript.

A dissertation in pursuit of the degree of Candidate of the
Physico-Mathematical Sciences, with specialization number 01.05.02 –
mathematical modeling and computational methods. – Dnepropetrovsk
National University, Dnepropetrovsk, 2006.

In dissertation the probability model and the simulation algorithm of
dendrite neuron are offered. New concepts and characteristics of
dendrite are entered for the description of dendritic structure and for
the construction of its model: the angle between parent and daugther
segments, intermediate angle, root segment, subdendrite (subtree) of
k-level, segment with subtrees, segment without subtrees, “corridor” of
segment, radius of dendrite, probability of continuation of segment’s
growth without subtrees, probability of continuation of segment’s
growth with subtrees, probability of occurrence of subtree on the
segment, probability of forming of the segment as segment without
subtrees (segment with subtrees). The algorithm of dendrite’s modeling
consists of the algorithm of modeling of segment’s link, the algorithm
of modeling of segment without subtrees, the algorithm of modeling of
segment with subtrees, the algorithm of modeling subtree. The influence
of the basic numerical characteristics of probability model on the
dendritic form and on the values of the emergent characteristics of
dendrite is investigated. The work of algorithm and the adequacy of
probability model of dendritic tree are verified on the example of
Purkinje cells from guinea pig cerebellar cortex. The adequacy of the
description of real dendrite by model is established by check of
statistical hypotheses about concurrence of distributions and parameters
of distributions of the basic and emergent numerical characteristics of
model and real dendrite.

Keywords: probability model, algorithm of modeling, dendrite of neuron,
segment of dendrite, link of segment, subtree, angle, branching
probability, probability of continuation of segment’s growth, adequacy.

Підписано до друку 27.06.2006. Формат 60×90/16. Папір друкарський.

Друк плоский. Гарнітура Times New Roman. Умов. друк. арк. 0,9.

Тираж 100 прим. Замовлення № 1080.

Друкарня ДНУ. 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 5

PAGE 18

Похожие записи