.

Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами багатовимірної геометрії (автореферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 4609
Скачать документ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

ГУМЕН Степан Миколайович

УДК 515.2

Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами
багатовимірної геометрії

Спеціальність 05.01.01 — Прикладна геометрія,

інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Національному технічному університеті України
“Київський політехнічний інститут”

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

ВАНІН Володимир Володимирович,

завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної

та комп’ютерної графіки Національного технічного

університету України “Київський політехнічний

інститут”

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Мартин Євген Володимирович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

професор кафедри нарисної геометрії та графіки

кандидат технічних наук, доцент

Несвідомін Віктор Миколайович,

Національний аграрний університет України, доцент

кафедри нарисної геометрії, інженерної та

комп’ютерної графіки

Захист відбудеться “ 20 “ грудня 2007 р. о 12.00 годині на засіданні
спеціалізованої вченої Ради Д 26.056.06 Київського Національного
університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, Київ-37,
Повітрофлотський проспект, 31, КНУБА, Вчена рада університету, ауд. 466.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського Національного
університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, Київ-37,
Повітрофлотський проспект, 31, КНУБА.

Автореферат розісланий “ 16 “ 11. 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої Ради Д 26.056.06

Плоский В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дослідження складних багатопараметричних залежностей між багатьма
факторами одночасно у прикладній геометрії проводиться методом
геометричного моделювання. У самому загальному випадку геометричними
моделями складних залежностей між n змінними являються певні
k-багатовиди (1? k ? n–1) евклідового n-вимірного фазового простору
цих змінних. При цьому неперервна сукупність точок k-багатовиду
ставиться у взаємну однозначну відповідність з неперервною сукупністю
всіх можливих станів змодельованої багатопараметричної залежності між
всіма n змінними. Дослідження багатопараметричної фізичної залежності
зводиться до формалізованого геометричного дослідження методами
багатовимірної геометрії над k-багатовидами геометричними функціями
n-вимірного фазового простору. По суті взаємозалежність технічних
параметрів моделюється взаємозалежністю параметрів геометричної моделі,
потім розроблюються алгоритми розв’язку геометричних задач на моделі, а
результат одержаного розв’язку трансформується на технічні параметри
вихідного процесу.

Актуальність теми. Розвиток інформаційних технологій діагностики
фізичного стану здоров’я людини є актуальним для сучасного суспільства.

У біомедицині широко використовуються електронні прилади і пристрої, які
призначені полегшити профілактику, діагностику та лікування пацієнтів.
Однак, існуючі системи відображення біомедичних сигналів
характеризуються відсутністю надійного апарату опрацювання одержаних
сигналів від пристроїв з можливістю одночасного врахування їх всіх у
спільній взаємозалежності.

У даній роботі знаходимо можливість геометричними засобами визначити
стан живого організму за його патологічними змінами, які вимірюються
електронними приладами і пристроями при встановленні діагнозу пацієнта.
Побудова геометричної моделі залежності стану пацієнта від патологічних
змін дасть можливість комп’ютеризувати процес діагностики хворих
пацієнтів, з одного боку, та автоматизовано контролювати стан здоров’я
людини, з другого.

Однією з актуальних задач є вивчення шкідливості впливу електромагнітних
хвиль, що випромінюються звідусіль у сучасному світі, на живий організм.

Спостереження, проведені за станом здоров’я користувачів електронної
техніки і за кордоном, і в Україні, неспростовно вказують на шкідливість
впливу електромагнітних хвиль на життєдіяльність як окремих органів, так
і всього живого організму.

Отже, створення надійного геометричного апарату, що забезпечує створення
пакету прикладних програм діагностики фізичного стану людини та наочного
відображення процесу аналізу на монітор комп’ютера є актуальною задачею
прикладної геометрії.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами Дисертаційне
дослідження виконано відповідно до наукової направленості і тематики
кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ
„КПІ” „Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами
багатовимірної геометрії” в рамках держбюджетної теми „Узагальнення
синтезу моделей конструкторсько-технологічних поверхонь методами аналізу
їх інваріантних складових”, державний реєстраційний номер 0102U002464.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є геометричне моделювання
залежності між біомедичними сигналами як основи інформаційної технології
діагностики стану фізичного здоров’я людини.

Об’єктом дослідження є багатопараметричні біомедичні залежності та їхня
деформація як адаптація до відповідних змін умов і кількісного значення
змінних.

Предметом дослідження виступають специфічні багатовиди як геометричні
моделі багатопараметричних залежностей, що включають біомедичні сигнали
електронних приладів та їх застосування для вирішення актуальних
конкретних задач біомедицини.

Методи дослідження. Для успішного розв’язання поставлених у роботі
задач використовуються методи нарисної, аналітичної, обчислювальної та
багатовимірної прикладної геометрії, методи математичного аналізу,
теорія кривих ліній і поверхонь, комп’ютерна графіка та математичне
програмування тощо.

Теоретичною базою проведених досліджень послужили праці провідних
вітчизняних і зарубіжних учених:

? у галузі біомедицини: Абакумова В.Г., Венота А., Гераніна В.О.,
Захрабової Е.Н., Козлера Т., Колокольцева І.Я., Красного Л.Г., Лапіна
В.Ю., Миленького А.В., Претта У., Продеуса А.Н., Рибіна О.І., Розенберга
В.Я., Розенфельда Е.Б., Сватоша Й., Синєкопа Ю.С., Скибенка В.В.,
Сомова Б.В., Ставинського Р.В., Терьохіна А.Ю., Уебба С., Фора А. та
ін.

? у галузі геометричного моделювання об’єктів, процесів і явищ: Ваніна
В.В., Волкова В.Я., Гумена М.С., Дворецького О.Т., Ковальова Ю.М.,
Корчинського В.М., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Мартина Є.В., Найдиша
В.М., Павлова А.В., Пилипаки С.Ф., Підгорного О.Л., Плоского В.О.,
Пугачова Є.В., Ренкаса А.Г., Юрчука В.П. та ін.

? у галузі прикладної геометрії кривих ліній і поверхонь: Ваніна В.В.,
Ковальова С.М., Котова І.І., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Надолинного
В.О., Обухової В.С., Павлова А.В., Пилипаки С.Ф., Підгорного О.Л.,
Підкоритова А.М., Рижова М.М., Скидана І.А., Шепеля В.П. та ін.

? у галузі автоматизації проектування і комп’ютерної графіки: Власюк
Г.Г., Грибова С.М., Ковальова Ю.М., Михайленка В.Є., Надолинного В.О.,
Найдиша А.В., Сазонова К.О., Скидана І.А. та ін.

? у галузі прикладної багатовимірної геометрії: Буке Х., Валькова К.І.,
Вачнадзе Г.А., Волкова В.Я., Гумена М.С., Гумен О.М., Джапарідзе І.С.,
Ейтеля В., Екхарта В., Ковальова Ю.М., Корчинського В.М., Котова І.І.,
Мартина Є.В., Наумович Н.В., Первікової В.М., Рашевського П.К.,
Розенфельда Б.А., Соммервиля Д., Схоуте П., Федорова Є.С., Філіпова
П.В., Четверухіна М.Ф., Юркова В.Ю. та ін.

Цілі і задачі дослідження. У плані наукової проблеми поставлена ціль
розкрити геометричну суть математичного моделювання складних залежностей
у біомедицині та запропонувати альтернативний варіант сугубо
геометричного моделювання таких залежностей, на підставі чого розробити
формалізовані методи розв’язання існуючих проблемних задач у медицині,
зокрема, в діагностиці різних захворювань.

Для досягнення основної цілі в дисертації були поставлені і розв’язані
такі основні задачі:

1.Дослідити та розкрити геометричну суть перетворень Фур’є і Лапласа.

2.Дослідити і визначити геометричні основи перетворення Wavelet.

3.Дослідити геометричні витоки мультирезолюційного аналізу як складової
Wavelet-перетворення.

4.Дослідити медичні інформаційні системи з погляду багатовимірної
геометрії.

5.Запропонувати альтернативний варіант суто геометричного моделювання
взаємозалежності між біосигналами у вигляді специфічних багатовидів
фазового простору всіх змінних.

6.Модифікувати найпоширеніший у прикладній багатовимірній нарисній
геометрії епюр Радіщева, з ціллю представлення на ньому ортогонально
доповняльних координатних площин проекцій.

7.Дослідити геометричну суть і дати обгрунтування обертального руху
об’єкта навколо лінійного (n-2)-вимірного підпростору як основи методів
перетворення проекцій.

8.Розробити методику розв’язання метричних задач багатовимірної нарисної
геометрії на запропонованому епюрі методами перетворення проекцій:
обертанням навколо (n-2)-вимірного підпростору, плоско-паралельним
переміщенням відносно 2-вимірних координатних площин проекцій та заміною
координатних площин проекцій.

9.Впровадити результати досліджень у практику для вирішення актуальних
задач медицини, у тому числі для визначення діагнозу та лікування
пацієнтів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше:

1.Встановлено і досліджено геометричну суть відомих перетворень Фур’є і
Лапласа.

2.Встановлено і досліджено геометричні основи перетворення Wavelet.

3.Встановлено і досліджено геометричні засади мультирезолюційного
аналізу як складової Wavelet-перетворення.

4.Досліджено геометричну суть медичних інформаційних систем з погляду
багатовимірної геометрії.

5.Запропоновано альтернативний апарат геометричного моделювання
взаємозалежності між багатьма біосигналами і характеристиками стану
пацієнта у вигляді специфічних багатовидів фазового простору всіх
змінних, що дозволяє повністю формалізувати процес дослідження.

6.Запропоновано модифікований епюр Радіщева, що значно розширює
можливості розв’язання метричних задач нарисної геометрії
багатовимірного простору як такий, що несе ортогонально доповняльні
площини проекцій.

7.Грунтовно проаналізовано геометричну суть обертального руху об’єкта
навколо лінійних підпросторів та теоретично обгрунтовано розмірність
“осьового” простору.

8.Грунтовно розроблені основи способів перетворення проекцій у
багатовимірному просторі: обертання навколо “осьових” лінійних
підпросторів, плоско-паралельного переміщення та заміни площин проекцій
на запропонованому модифікованому епюрі Радіщева.

9.Графічними засобами розв’язано основні метричні задачі багатовимірної
нарисної геометрії.

10.Розв’язані проблемні задачі біомедицини за допомогою запропонованого
альтернативного методу геометричного моделювання у вигляді відповідних
специфічних багатовидів.

11.Розроблено програмну реалізацію методів, що пропонуються.

Практичне значення отриманих результатів. Практичне значення отриманих
результатів полягає у можливості опрацювання одержаних залежностей у
вигляді математичного виразу в автоматичному інтерактивному режимі з
паралельним супроводом візуального зображення на моніторі комп’ютера.
При цьому розв’язання всіх задач повністю формалізовано і зводиться до
простих геометричних дій над моделлю досліджуваної залежності у вигляді
відповідного специфічного багатовиду в абстрактному фазовому просторі
всіх змінних. Застосування запропонованого методу не тільки прискорює
розв’язання задач, але, що найсуттєвіше, підвищує надійність і
достовірність одержаного результату.

Впровадження отриманих результатів зроблені, переважно, в галузі
біомедицини. Серед них виконані:

1).Геометричне моделювання стану пацієнта за діагностичними даними.

2).Геометричне моделювання впливу електромагнітних хвиль на біологічно
активний організм.

3).Геометричне моделювання взаємної залежності порогового контрасту,
кута зору, числа градацій яскравості та просторової частоти сигналу
образу об’єкта в біомедицині.

4).Результати одержаних досліджень впроваджені також у навчальний процес
на факультеті електроніки НТУУ “КПІ” на кафедрі фізичної та біомедичної
електроніки.

Обгрунтованість і достовірність результатів дослідження підтверджуються
коректністю теоретичного аналізу, зіставленням результатів з даними в
літературі, доведенням аналітичних залежностей, даними впровадження
запропонованих методів геометричного моделювання.

Особистий внесок здобувача Особисто автором розроблені геометричні
моделі стосовно до прикладних задач, які були розв’язані у реальних
впровадженнях.

У статтях, що опубліковані у співавторстві, здобувачем особисто
розв’язані поставлені в них задачі, виконана їх формалізація та
розроблені програми розрахунків на ЕОМ.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались
та обговорювались на:

? Міжнародній науково-методичній конференції “Проблеми та шляхи розвитку
вищої технічної освіти”, Київ, 2002.

? Міжнародній Українсько-Російській науково-практичній конфе-ренції”,
Харків, 2005.

? Міжнародній науково-практичній конференції “Современные проблемы
геометрического моделирования”, Дніпропетровськ, 2006.

? Третій Кримській науково-практичній конференції “Геометричне та
комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екології, Дизайну”,
Сімферополь, 2006.

? Міжнародній Російсько-Українській науково-практичній конфе-ренції”,
Харків, 2007.

? Дев’ятій Міжнародній науково-практичній конференції “Актуальні
проблеми геометричного моделювання”, Мелітополь, 2007.

? Кафедрі фізичної та біомедичної електроніки НТУУ “КПІ”, 2002, 2005рр.

? Кафедрі нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ
“КПІ”, 2006, 2007 рр.

Публікації. За результатами, одержаними у дисертації, опубліковано 14
друкованих праць, з них 13 у збірках, що рекомендовані ВАК України як
фахові. Одноосібних публікацій 8.

Структура та обсяг роботи. Дисертація викладена на 184 сторінках
друкованого тексту, з них основна частина включає 144 сторінки.

Структурно дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів з 55
ілюстраціями, висновків, списку використаних літературних джерел із 155
найменувань та 4 додатків.

Основний зміст роботи

У вступі подано загальну характеристику роботи, обгрунтовано
актуальність теми досліджень, названо наукову новизну та практичне
значення результатів дисертації.

У першому розділі висвітлено сучасний стан проблеми з геометричного
моделювання багатопараметричних залежностей, зроблено стислий огляд та
критичний аналіз відповідних літературних джерел.

На підставі зробленого аналізу літератури виявлено невирішені на даний
період задачі, зокрема, в існуючих методах розв’язання таких задач як у
галузі прикладної багатовимірної геометрії, так і в біомедицині.
Запропоновано альтернативну існуючим геометричну модель, яка б дала
можливість за допомогою простих геометричних дій формалізовано
розв’язувати різноманітні задачі в медицині та інших галузях н/г.

У другому розділі нами поставлена одна з основних задач: розробити
оптимальний епюр n-вимірного евклідового простору, який би був
позбавлений недоліків всіх існуючих. Такий епюр названий нами як
модифікований епюр Радіщева.

Рис.1 Рис. 2

На рис. 1 зображено епюр Радіщева 4-вимірного евклідового простору
Ох1х2х3х4 з проекціями точки А, на якому 2-вимірні координатні площини
розташовані вертикально одна над другою.

На рис. 2 зображено епюр Радіщева того ж 4-вимірного простору Ох1х2х3х4
з проекціями точки А, на якому координатні 2-вимірні площини розташовані
горизонтально одна за одною.

Як видно з рисунків, на такому кресленні представлені три координатні
2-вимірні площини: Ох1х2, Ох1х3 та Ох1х4 із шести, тобто відсутні
проекції на три координатні площини: Ох2х3, Ох2х4 та Ох3х4.
Правомірність такого епюра пояснюється тим, що на епюрі Радіщева,
взагалі, представлені n-1 координатні 2-вимірні площини, на яких
присутні всі n координатні осі. Звичайно, на такому кресленні можна
розв’язувати більшість позиційних задач нарисної геометрії
багатовимірного простору. Однак, часто буває необхідним у деяких
метричних задачах використовувати і відсутні проекції. Нами пропонується
дещо модифікувати епюр Радіщева, а саме доповнити його так, щоб було
представлено на ньому більше координатних площин з обов’язковими парами
ортогонально доповняльних координатних площин, а проекції на всіх
координатних 2-вимірних площинах, представлених на епюрі, залишались
зв’язаними між собою нерозривними лініями зв’язку.

Рис. 3 Рис. 4

Як один із можливих варіантів пропонуємо на кресленні зображати
2-вимірні координатні площини по обидва боки від вертикального напрямку
(у першому варіанті розташування площин як на рис. 1), або, відповідно,
горизонтального (якщо епюр передбачає горизонтальне розташування площин
у другому варіанті, рис. 2). Тоді модифікований таким чином епюр
Радіщева для точки А 4-вимірного простору матиме один із виглядів,
представлених на рис. 3 і 4.

На рис. 3 залишено напрям координатної осі Ох1 вправо від вертикалі (як
на рис.1), а вліво направлена вісь Ох3. Відповідно, на рис. 4 осі з
парними індексами направлені горизонтально, а осі з непарними індексами
– вертикально, так що вісь Ох1 направлена вверх (як і у вихідному епюрі
Радіщева на рис. 2), а вісь Ох3 – вертикально вниз. Пропонована
модифікація епюра Радіщева дозволяє, по-перше, представити на епюрі
4-вимірного простору не три, а чотири координатні 2-вимірні площини:
Ох1х2, Ох1х4, Ох2х3 та Ох3х4, з відповідними проекціями точки А: А12,
А14, А23 та А34. Як видно з рисунків, всі проекції точки знаходяться на
неперервних лініях зв’язку.

По-друге, на представленому модифікованому епюрі Радіщева наявні 2 пари
ортогонально доповняльних 2-вимірних координатних площин проекцій: Ох1х2
і Ох3х4 та Ох2х3 і Ох1х4. (На епюрі Радіщева ці пари координатних площин
взагалі відсутні).

Взагалі ж у 4-вимірному просторі всього наявні три пари ортогонально
доповняльних двовимірних координатних площин: Ох1х2 – Ох3х4, Ох1х3 –
Ох2х4 та Ох1х4 – Ох2х3.

Аналогічно розглядаються епюри 5-вимірного, 6-вимірного, 7-вимірного,
8-вимірного, 9-вимірного та n-вимірного простору.

Проводиться узагальнення дослідження для n-вимірного простору. Як
випливає з розглянутих вище епюрів у наведених прикладах, на класичному
епюрі Радіщева завжди наявні n-1 2-вимірних координатних площин із Сn2
присутніх у декартовій прямокутній системі координат. Для більшості
позиційних задач, як і багатьох метричних, така кількість 2-вимірних
координатних площин, взагалі, достатня. Все ж існують метричні задачі
нарисної геометрії багатовимірного простору, для розв’язання яких їх
недостатньо. Прикладами таких задач можуть слугувати задачі на
знаходження натуральних величин геометричних фігур та відстаней від
точки до заданих підпросторів методами перетворення проекцій тощо. Для
розв’язання таких задач на епюрі необхідною умовою є наявність на ньому
ортогонально доповняльних підпросторів, зокрема, ортогонально
доповняльних 2-вимірних координатних площин. Як бачимо з наведених вище
прикладів класичних епюрів Радіщева, на них взагалі відсутні
ортогонально доповняльні підпростори. На пропонованому ж модифікованому
епюрі маємо, по-перше, 2(n-2) 2-вимірних координатних площин (а не n-1,
як на класичному епюрі Радіщева). По-друге, на модифікованому епюрі
представлені також пари ортогонально доповняльних підпросторів
розмірностей m і n-m, де 2?m?n-2.

Порівняльні кількості 2-вимірних координатних площин на класичному епюрі
Радіщева та модифікованому наведено в табл.1.

Табл.1

Узагальнений модифікований епюр Радіщева. Узагальнюємо модифікований
епюр так, щоб на ньому була представлена більша кількість 2-вимірних
координатних площин, ніж на вихідному модифікованому, та на якому всі,
без винятку, проекції об’єкта на кресленні були б зв’язані неперервними
лініями зв’язку.

Рис. 5

У роботі розглянуто пропоноване узагальнення для епюрів багатовимірних
просторів для 6-вимірного, 7-вимірного, 8-вимірного, 9-вимірного та
n-вимірного простору. Наводимо епюр 9-вимірного простору. Для переходу
від модифікованого епюру до узагальненого перемістимо координатні осі з
непарними індексами з вертикального розташування в горизонтальне, як
показано на рис.5.

Як видно з рисунків, на узагальненому епюрі наявні 20 координатних
2-вимірних площин. (На модифікованих епюрах їх 14, а на класичних епюрах
Радіщева – 8).

Як видно з епюра на рис. 5 на узагальненому епюрі ортогонально
доповняльних пар 4-вимірних і 5-вимірних координатних підпросторів із
126, маємо 120 пар. Відсутні лише 6 пар: Ох1х3х5х7 – Ох2х4х6х8х9;
Ох1х3х5х9 – Ох2х4х6х7х8; Ох1х3х7х9 – Ох2х4х5х6х8; Ох1х5х7х9 –
Ох2х3х4х6х8; Ох2х4х6х8 – Ох1х3х5х7х9; Ох3х5х7х9 – Ох1х2х4х6х8. (На
модифікованому епюрі їх 70).

Із 84 пар ортогонально доповняльних координатних підпросторів
розмірностей 3 і 6 на узагальненому епюрі присутні 70 пар. (На
модифікованому епюрі їх 42). Відсутні лише 14 таких пар: Ох1х3х5 –
Ох2х4х6х7х8х9; Ох1х3х7 – Ох2х4х5х6х8х9; Ох1х3х9 – Ох2х4х5х6х7х8;
Ох1х5х7 – Ох2х3х4х6х8х9; Ох1х5х9 – Ох2х3х4х6х7х8; Ох1х7х9 –
Ох2х3х4х5х6х8; Ох2х4х6 – Ох1х3х5х7х8х9; Ох2х4х8 – Ох1х3х5х6х7х9; Ох2х6х8
– Ох1х3х4х5х7х9; Ох3х5х7 – Ох1х2х4х6х8х9; Ох3х5х9 – Ох1х2х4х6х7х8;
Ох3х7х9 – Ох1х2х4х5х6х8; Ох4х6х8 – Ох1х2х3х5х7х9; Ох5х7х9 –
Ох1х2х3х4х6х8.

Із 36 пар ортогонально доповняльних координатних підпросторів
9-вимірного простору розмірностей 2 і 7 на узагальненому епюрі присутні
20 пар: Ох1х2 – Ох3х4х5х6х7х8х9; Ох1х4 – Ох2х3х5х6х7х8х9; Ох1х6 –
Ох2х3х4х5х7х8х9; Ох1х8 – Ох2х3х4х5х6х7х9; Ох2х3 – Ох1х4х5х6х7х8х9; Ох2х5
– Ох1х3х4х6х7х8х9; Ох2х7 – Ох1х3х4х5х6х8х9; Ох2х9 – Ох1х3х4х5х6х7х8;
Ох3х4 – Ох1х2х5х6х7х8х9; Ох3х6 – Ох1х2х4х5х7х8х9; Ох3х8 –
Ох1х2х4х5х6х7х9; Ох4х5 – Ох1х2х3х6х7х8х9; Ох4х7 – Ох1х2х3х5х6х8х9; Ох4х8
– Ох1х2х3х5х6х7х9; Ох5х6 – Ох1х2х3х4х7х8х9; Ох5х8 – Ох1х2х3х4х6х7х9;
Ох6х7 – Ох1х2х3х4х5х8х9; Ох6х9 – Ох1х2х3х4х5х7х8; Ох7х8 –
Ох1х2х3х4х5х6х9; Ох8х9 – Ох1х2х3х4х5х6х7. (На модифікованому епюрі маємо
14 пар).

Переходимо до розгляду епюру n-вимірного простору. Якщо узагальнити
модифікований епюр аналогічно вищерозглянутому конкретному прикладу. то
одержаний епюр набуде вигляду, зображеному на рис. 5.

Табл.2

Узагальнення виконано таким чином, щоб координатні двовимірні площини
розташовувались по обидва боки від вертикального (горизонтального)
центрального напряму декількома вертикальними (горизонтальними) пасами,
що утворюються стикованими між собою двовимірними координатними
площинами. (На епюрі Радіщева присутній тільки один такий пас, а на
модифікованому епюрі – 2). Одержаний таким чином узагальнений епюр
включає k(n-k) координатних двовимірних площин, де n – розмірність
простору, а k – кількість суміжних вертикальних (горизонтальних) пасів
цих площин на кресленні. Зокрема, коли k = 2, маємо випадок
модифікованого епюра, а при k = 1 – класичний епюр Радіщева.

У таблиці 2 наведено порівняльні кількості координатних площин для
епюрів Радіщева, модифікованого та узагальненого епюрів.

У третьому розділі поставлена задача розв’язати існуючу проблему
теоретичного обгрунтування методів перетворення проекцій, які вважаються
могутнім засобом для спрощення алгоритмів розв’язування задач нарисної
геометрії багатовимірного простору графічними засобами. Ключем до
розв’язання проблеми послужив аналіз обертального руху в багатовимірному
просторі, що дозволяє обгрунтувати розмірність лінійного підпростору,
який відіграє роль “осі обертання” та використати його результати для
обгрунтування основ класичних методів перетворення проекцій обертання,
плоскопаралельного переміщення та зміни площин проекцій.

Обертання точки у 3-вимірному просторі навколо нерухомих центра та осі
обертання. Обертанні точки А навколо центра О на кут ? (рис. 6),
наприклад, за годинниковою стрілкою.Цей рух є однопараметричним.
Переходимо від площини до простору (рис.7).

Рис. 6
Рис. 7

Геометрично двопараметричність обертання точки А навколо центра О у
просторі Охуz випливає з розмірності траєкторії точки А у вигляді сфери,
яка дорівнює двом. Це підтверджується і визначенням положення точки на
сфері у сферичних координатах, які виражаються через декартові за
формулами:

x = R sin ? cos? ?;

y = R sin? ? sin ? ; (1)

z = R cos ? ,

на координатну площину Охy (рис.7). У розділі також розглядається
обертання навколо 2-вимірної площини у 4-вимірному евклідовому просторі
(рис.8). Вже у 3-вимірному просторі можливе обертання як навколо точки
як центра обертання, так і навколо прямої як осі обертання.

Рис. 8
Рис. 9

Тривимірність як і 3-параметричність сфери підтверджується і визначенням
положення точки на сфері у сферичних координатах, які виражаються через
декартові за формулами:

x1 = R cos ?1 cos ?2 cos ?3 ;

х2 = R cos ?1 cos ?2 sin??3 ; (2)

х3 = R cos ?1 sin??2 ;

х4 = R sin ?1 ,

де: R – радіус сфери; ?1 – кут між радіусом-вектором ОА і
ортогональною проекцією ОА1 радіуса-вектора на координатний підпростір
Ох1х2х3 ; ?2 – кут між ОА1 і ортогональною проекцією ОА2 відрізка ОА1 на
координатну площину Ох1х2; ?3 – кут між ОА2 і віссю Ох1.

Обертання точки у n-вимірному просторі навколо (n-2)-вимірного
“осьового” підпростору.Узагальнимо тепер викладені положення на
n-вимірний простір (рис. 9). Траєкторією точки є (n-1)-вимірна
гіперсфера n-вимірного простору. Розмірність гіперсфери, як і її
(n-1)-параметричність, чітко проглядається у визначенні розташування
точки на гіперсфері у сферичних координатах, що зв’язані з декартовими
координатами за формулами:

x1 = R cos ?1 cos ?2 … cos ? n-1 ;

х2 = R sin ?1 cos ?2 … cos?? n-1 ; (3)

х3 = R sin ?2 cos ?3 … cos?? n-1;

……………………………………..

х n-1 = R sin ? n-2 cos?? n-1 ;

x n = R sin ? n-1,

де R – радіус гіперсфери; ?1 – кут між радіусом-вектором ОА і
ортогональною проекцією ОА1 радіуса-вектора ОА на координатну
гіперплощину Ох1х2… х n-1 ; ?2 – кут між ОА1 і ортогональною
проекцією ОА2 відрізка ОА1 на координатний (n-2)-вимірний підпростір
Ох1х2…хn-2 ; і т.д., нарешті: ? n-1 – кут між ОА n-2 і віссю Ох1.

Як видно із системи рівнянь (3), задавшись якими-небудь n-1 параметрами
із 2n-1, можна однозначно обчислити решту невідомих із системи n
лінійних рівнянь.

Методи перетворення проекцій. Розглядаються обертання навколо
проекціюючих підпросторів на конкретних прикладах.

Знаходження натуральної величини трикутника у 4-вимірному просторі. На
модифікованому епюрі Радіщева задано проекції трикутника АВС на
координатних площинах Ох1х2, Ох2х3, Ох1х4 та Ох3х4 (рис. 10). Шляхом
обертання перетворюємо площину заданого трикутника у площину, повністю
паралельну до однієї з шести 2-вимірних координатних площин, або, іншими
словами, знаходимо натуральну величину трикутника.На рисунку натуральна
величина трикутника заштрихована.

Рис.10

Рис. 11

Плоскопаралельне переміщення. Розглянутий вище метод обертання легко
узагальнюється на метод плоскопаралельного переміщення, розглядаючи
останній як обертання без фіксування осі обертання. Суть
плоскопаралельного переміщення розглянемо на конкретних прикладах.

Знаходження натуральної величини трикутника 4-вимірного простору (рис.
11). Потрібно методом плоскопаралельного переміщення знайти натуральну
величину трикутника.Для розв’язання задачі необхідно шляхом
плоскопаралельного переміщення змінити розташування площини трикутника
на повністю паралельне до однієї з координатних 2-площин. Проводимо
чотири плоскопаралельні переміщення трикутника (рис.12). На рисунку
натуральна величина трикутника заштрихована.

Рис. 12
Рис. 13

На модифікованому епюрі Радіщева (рис. 13) методом плоскопаралельного
переміщення знаходимо відстань від точки М до площини, заданої
трикутником АВС.

Метод заміни підпросторів проекцій. Розроблений спосіб
плоскопаралельного переміщення дозволяє перейти до обгрунтування способу
заміни підпросторів проекцій. Суть методу заміни підпросторів проекцій
розглянуто на конкретних прикладах.

J

R

n

r

t

?

 

c

>

@

B

D

F

H

J

L

L

N

P

R

T

V

X

p

r

t

 

c

hjO

z

a

O

O

O

O

O

O

O

O

rts|t?uueu>w?xa{c}¤}±±±!!±•!!!‰‰

O

D

O

O

?o?&?(?¶?±±j&D

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

??

??

O

O

D

O

O

O

O

O

O

O

O

4OeUeaTHvaxa°aEa±±±jjG

O

O

O

O

розділі поставлена задача знаходження повністю геометричної моделі
багатопараметричних залежностей, що дозволяє не тільки ув’язати всі
змінні, але й виразити її візуально на кресленні чи моніторі комп’ютера.
Наявність такої моделі дозволяє вирішувати практичні задачі не тільки
математично, але й формалізованими геометричними діями графічними
засобами. Візуалізація складної залежності між багатьма змінними дає
можливість добитися максимальної наочності в розумінні всіх дій, що
виконуються над моделлю, та зробити метод геометричного дослідження
доступним і зрозумілим користувачеві.

Гіперповерхнею 4-вимірного простору є 3-вимірний багатовид Б3 цього
простору у прикладній багатовимірній геометрії розглядається як
геометрична модель простої залежності деякої функції від трьох
аргументів.

Рис. 14

Графічне задавання гіперповерхні 4-вимірного простору. (рис. 14). На
рис. 14 показана поверхня Б2 (1), що одержана у січній гіперплощині
рівня х3 = х31; поверхня Б2 (2) – у гіперплощині рівня х3 = х32; … ;
Б2 (m1) – у гіперплощині рівня х3=х3m1. Сукупність m1 одержаних таким
чином поверхонь розглядається як дискретний каркас гіперповерхні Б3,
який визначає її наближено. Гіперповерхня Б3 задається дискретним
каркасом 2-вимірних поверхонь Б2 (l1), де l1 = 1, 2, …, m1, а кожна з
цих поверхонь, і, у свою чергу, задається каркасом одновимірних
багатовидів, тобто ліній: Б1 (l2), де l2 = 1, 2, …, m2. У результаті
одержуємо наближене вираження гіперповерхні Б3 дискретним каркасом
плоских кривих ліній, кількість яких визначається добутком m1m2.

Зображення гіперповерхні 4-вимірного простору на модифікованому епюрі
Радіщева. На рис. 15 зображено одержаний каркас на модифікованому епюрі
Радіщева. На такому кресленні не складно будувати перетини гіперповерхні
Б3 з різними геометричними фігурами, зокрема, проекціюючими
гіперциліндричними поверхнями і проекціюючими гіперплощинами.

Лінії, що задають каркасно кожну з 2-вимірних поверхонь Б2 як складову
каркаса гіперповерхні Б3, записуємо у одному і тому ж аналітичному
виразі, наприклад, відповідним поліномом:

Крива Б1(11): х1 = f1(Aij; x4) – для х3 = x31; x2 = x21;

Крива Б1(12): х2 = f2(Aij; x4) – для х3 = x31; x2 = x22;

………………………………………………………………
……………………. (4)

Рис. 15
Рис. 16

Для переходу від дискретного каркаса 2-вимірної поверхні Б12, кожна з
ліній якого задана рівнянням (4), потрібно перейти до неперервного,
наприклад, через функціональні вираження однотипних коефіцієнтів
рівнянь (4) від зміни параметра х2:

Aij =?? (Bij; x2) – для х3 = х31. (5)

Якщо у рівняння кривої (4) замість коефіцієнтів Aij підставити
відповідні їм значення із (5), то одержимо рівняння 2-вимірної поверхні
Б12:

x1 = f(?(?(Bij; x2; x4))) – для х3 = х31, (6)

або скорочено: х1 = f(x2, x4). (7)

Аналогічно одержуються рівняння 2-вимірних поверхонь каркаса Б3, у які
вже входять три змінні: х1; х2; х4.

Якщо тепер визначити функціональні залежності коефіцієнтів Bij від
аргумента х3 і підставити їх у рівняння (6), то в результаті одержимо
шукане рівняння 3-вимірної гіперповерхні Б3 4-вимірного простору:

x1 = f(?(?(Сij; x2; x3; x4))), (8)

або скорочено: х1 = F(x2; x3; x4). (9)

2-вимірні багатовиди 4-вимірного простору. Графічне задавання
2-багатовиду. (рис. 16).

Для переходу до зображення багатовиду Б2 на епюрі, одержані криві
проекціюємо на 2-вимірні координатні площини. На рис. 17 зображено
дискретний каркас 2-вимірного багатовиду Б2 на модифікованому епюрі
Радіщева, який наближено задає цей багатовид.

Аналітичне вираження 2-вимірного багатовиду 4-вимірного простору.
Переходимо від дискретного каркасу до неперервного. Для цього лінії
каркаса виражаються аналітично всі у одному і тому ж вигляді, наприклад,
поліномом: х1 = f(Ai, x4) – для х3 = х3i, i = 1, …, m (10)

Далі визначаються функціональні залежності однотипних коофіцієнтів Аі
від змінної х3: Аі = ?(Ві, х3). (11)

Підставляючи значення коефіцієнтів Аі із (11) у (10), вводиться у
залежність третя змінна х3: x1 = f(?(Bi, x3), x4), (12)

або скорочено: х1 = f(x3, x4). (12a)

Рис. 17
Рис. 18

Для одержання повної залежності необхідно ввести ще четверту змінну, у
даному разі координату х2.Для цього у рівняння кривої каркаса (10)
вводяться функціональні залежності коефіцієнтів Аі від змінної х2:

Аі =??(Сі, х2). (13)

Замінивши у (10) коефіцієнти Аі їхніми функціональними залежностями
(13), маємо залежність трьох змінних: х1, х2 і х4:

х1 = f(?(Сі, х2), x4), (14)

або скорочено: х1 = f(x2, x4). (14a)

Таким чином, маємо систему двох рівнянь (12) і (14), які у своїй
сукупності дають повну залежність між всіма чотирма змінними:

x1 = f(?(Bi, x3), x4);

х1 = f(?(Сі, х2), x4), (15)

або скорочено: x1 = f(x3, x4);

x1 = f(x2, x4). (15a)

Зрозуміло, що цю ж саму залежність, тобто аналогічний вираз 2-вимірного
багатовиду Б2, одержимо, якщо перейдемо до розгляду системи рівнянь:

(16)

Залежність (16) геометрично трактується як одержане аналітичне вираження
спільної лінії перетину двох проекціюючих гіперциліндрів, напрямними
яких є рівняння системи (16), а твірними – прямі лінії, паралельні
координатній осі, відсутньої у рівнянні напрямної.

Крива лінія як 1-вимірний багатовид 4-вимірного простору. На рис. 18
зображено таку криву наочно відносно прямокутної декартової системи
координат Ох1х2х3х4. На модифікованому епюрі Радіщева є можливість
зобразити чотири такі проекції, відповідно, на координатні площини
Ох1х2; Ох1х4; Ох23 та Ох3х4.

Для переходу від графічного вираження кривої до аналітичного потрібно
записати рівняння яких-небудь трьох проекцій кривої у своїх координатних
площинах і розглянути їх сумісно. Тоді матимемо аналітичний вираз
кривої 4-вимірного простору, що задається системою із трьох рівнянь,
наприклад:

(17); (18); (19)

Геометрично ці системи рівнянь (17) можна трактувати як взаємний перетин
трьох проекціюючих гіперциліндрів 4-вимірного простору, що у перетині
утворюють спільну просторову криву. Напрямними циліндрів при цьому
являються криві з рівняннями, що входять у системи наведених рівнянь, а
твірними – 2-вимірні площини, паралельні координатним площинам з
вимірами, відсутніми у рівняннях напрямних.

Рис. 19

Гіперповерхні n-вимірного простору. Гіперповерхні n-вимірного простору в
прикладній багатовимірній геометрії використовуються як геометричні
моделі залежностей між n змінними, в яких одна є функцією решти n-1
змінних.

Графічні задавання гіперповерхні n-вимірного простору. На рис. 19
схематично зображено послідовність виділення каркасів гіперповерхні у
вигляді підбагатовидів різної розмірності від (n-2)-вимірних до
1-вимірних ліній. Приймаючи по mi-перерізі на кожному етапі зниження
розмірності багатовидів до одновимірних кривих ліній одержимо кількість
плоских перерізів, що визначається виразом:

(20)

тобто добутком всіх mi.

Аналітичні вираження гіперповерхні n-вимірного простору. Плоскі криві
каркасу записуємо, наприклад, у вигляді полінома:

, (21)

Задана системою рівнянь (21) і-крива виражає залежність змінної х1 від
хn для фіксованих значень решти змінних, заданих, відповідно, на рівнях:
.

Знаходимо функціональні залежності коефіцієнтів Аі від змінної х2.

Виражаємо цю змінну коефіцієнтів Аі, наприклад, теж у вигляді полінома:
Аі = ? (Ві, х2) (22)

рівнянь:

(23)

В кінці кінців, знаходимо одне розгорнуте рівняння гіперповерхні, що
зв’язує всі n-змінні у вигляді: x1 = F(a1, x1,…, xn-1), (24)

де a1 – коефіцієнти рівняння.

К-вимірний багатовид n-вимірного простору. Графічне зображення
k-багатовиду. На кожному етапі розмірність підбагатовиду понижується на
одиницю, для отримання q-розмірного перерізу необхідно виконати:

k – q (25)

послідовних етапів пониження розмірності (k-q послідовних перерізів). А
q-розмірність перерізу, при якому буде знаходитися в просторі
розмірності:

n – k + q (26)

Для отримання 1-вимірних перерізів (ліній чи поверхонь B1 згідно (25)
потрібно k-1 етапів пониження розмірності, а згідно (26) кожна із
ліній-перерізу буде знаходитися в n – k + 1-підпросторі.

Таким чином, поверхню Bk (1

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020