Математичне моделювання і прогнозування кисневого режиму вод-них об'єктів в умовах антропогенного навантаження (автореферат)

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕНЕРГЕТИЦІ

ім. Г.Є.ПУХОВА

Скуратівська Інна Антонівна

УДК 528.94+504+556.5

Математичне моделювання і прогнозування кисневого режиму водних об’єктів
в умовах антропогенного навантаження

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті “Києво-Могилянська
академія”,

Кабінет Міністрів України

Науковий керівник

доктор технічних наук, професор

Лаврик Володимир Іванович,

Національний університет “Києво-Могилянська академія”, Кабінет Міністрів
України; професор

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Власюк Анатолій Павлович, Національний
університет водного господарства та природокористування, Міністерство
освіти і науки України; завідувач кафедри прикладної математики, декан
факультету прикладної математики та комп’ютерно-інтегрованих систем

доктор технічних наук, старший науковий співробітник Сердюцька Людмила
Федорівна, Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН
України, провідний науковий співробітник

Захист відбудеться ( 20 ( вересня 2007 р. о 14 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01 Інституту проблем моделювання в
енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою: 03164, м.Київ, вул.
Генерала Наумова, 15.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем
моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН України за адресою: 03164,
м.Київ, вул. Генерала Наумова, 15.

Автореферат розісланий ( 1 ( серпня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради

Семагіна Е.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність. Визначення кисневого режиму поверхневих вод є важливою
складовою оцінки стану водних екосистем та водозбірних територій.
Розчинений кисень забезпечує життєдіяльність живих організмів та
самоочисну функцію водної екосистеми. Участь кисню в процесах
біологічного, хімічного та фізико-механічного самоочищення водних
об’єктів вказує на те, що оцінка концентрації розчиненого кисню має
велике практичне і загальнонаукове значення. Враховуючи складність
проведення серій екологічних експериментів, синергізм компонентів
екосистеми, відсутність вичерпної інформації про їх взаємодію, задачі
оцінки, прогнозування та керування кисневим режимом з використанням
методів математичного моделювання залишаються недостатньо вивченими,
особливо в частині врахування факторів впливу на динаміку розчиненого
кисню, що формуються в елементах структури водозбірних територій:
водотоках, басейнах, тощо. З аналізу результатів попередніх досліджень
(Ізраель Ю.А., Леонов А.В., Гопченко Е.Д., Тучковенко Ю.С., Галкін Л.М.,
Вінберг Г.Г., Рінальді С., Лаврик В.І.) випливає, що при розв’язання
задачі моделювання процесів формування кисневого режиму не враховувались
всі фактори, що формують кисневий режим як у водних об’єктах, так і в
річковій системі на площі водозбору. Крім того з огляду на сучасні
досягнення в області обчислювальної техніки, методів числового та
якісного аналізу складних систем з’явилась можливість побудови більш
ефективних моделей та методів їх аналізу.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконувалась протягом навчання в аспірантурі
Національного університету “Києво-Могилянська академія”. Тематика
дисертації пов’язана з дослідженнями, що виконувались за договором з
Міністерством освіти і науки України №Ф7/556-2001 (проект №06.07/00059
“Розробка методів управління поверхневим стоком урбанізованих територій
на прикладі м. Києва ”).

Мета і задачі дослідження.

Мета роботи – розробити математичні та імітаційні моделі для оцінювання
і прогнозування впливу структури річкової системи (на площі водозбору)
на кисневий режим водних об’єктів в умовах їх евтрофікації .

Для досягнення поставленої мети були визначені такі задачі:

1. Розробити нові та модифікувати відомі математичні моделі динаміки
кисневого режиму водних об’єктів з метою врахування впливу структури
річкової системи на площі водозбору та внутрішньоводоймних процесів.

2. Побудувати математичні моделі, які враховують внутрішньоводоймні
процеси та особливості формування кисневого режиму водного об’єкта.

3. Побудувати нелінійні математичні моделі і проаналізувати процеси
формування кисневого режиму з урахуванням нелінійних ефектів, адаптувати
сучасні методи числового та якісного аналізу до дослідження розв’язків
запропонованих модельних систем рівнянь.

4. Проаналізувати ефективність практичного застосування запропонованих
моделей та провести імітаційні експерименти з метою прогнозування
процесів самоочищення.

Об’єктом дослідження є процеси формування кисневого режиму у водних
екосистемах з урахуванням впливу структури річкової системи на площі
водозбору та впливу евтрофікації водойм.

Предметом дослідження є математичні моделі і методи розв’язання задач
оцінки та прогнозування кисневого режиму в умовах деструкції органічних
сполук, евтрофності водного середовища та зміні характеристик
поверхневого стоку.

Методи дослідження. Імітаційне математичне моделювання кисневого режиму,
що ґрунтується на застосуванні теорії диференціальних рівнянь і
принципів системного аналізу до побудови і аналізу математичних моделей.
Розробка сценаріїв та проведення імітаційних експериментів для оцінки і
прогнозування кисневого режиму водних екосистем. Якісний та числовий
аналіз динамічних систем, які описують представлені у роботі нелінійні
моделі.

Наукова новизна одержаних результатів

1. Запропоновано нову математичну модель кисневого режиму водної
системи, яка враховує структуру річкової системи на площі водозбору та
основні внутрішньоводоймні процеси: трансформацію органічних речовин,
розбавлення, динаміку фітопланктона та біогенних елементів.

2. Побудовані математичні та імітаційні моделі кисневого режиму з
змінними коефіцієнтами, що моделюють динаміку антропогенних навантажень.

3. Побудовано нові математичні та імітаційні моделі динаміки кисневого
режиму водного об’єкта, що враховують нелінійні процеси продуктивності
фітопланктону. Встановлені умови допустимості лінеаризації та
асимптотичних спрощень запропонованих нелінійних моделей.

4. Для запропонованих нелінійних моделей встановлено умови стійкості
стаціонарних та періодичних розв’язків та виявлено точки біфуркацій, що
відповідають появі періодичних, мультиперіодичних та хаотичних кисневих
режимів водних об’єктів, які не можуть бути досліджені за допомогою
лінійних моделей.

5. Обґрунтовано закономірності формування кисневого режиму водних
екосистем на основі аналізу одержаних аналітичних та числових розв’язків
побудованих динамічних систем.

Практичне значення отриманих результатів.

Результати роботи були використані: на комунальному підприємстві
„Малинміськводоканал”, м. Малина для вивчення динаміки показників якості
води водозабірної зони Малинського водосховища (р.Ірша), при вивченні
кисневого режиму в умовах збільшення фітопланктону на житомирській
ділянці р. Тетерів. Запропоновані математичні моделі використовуються
студентами магістеріума НаУКМА при вивченні дисципліни „Математична
екологія” зі спеціальності 8.070801 -„Екологія та охорона навколишнього
середовища”.

Особистий внесок здобувача полягає в розробці математичних моделей та
побудові відповідних алгоритмів, сценаріїв та числових експериментів для
вивчення кисневого режиму водних екосистем з врахуванням впливу
структури річкової системи на площі водозбору.

Визначення загального підходу до проведення досліджень та постановка
задач належать науковому керівнику – Лаврику В.І. В статтях з
співавтором [1, 6] дисертантом проведено побудову моделі кисневого
режиму водного об’єкта з врахуванням структури річкової системи, [1-3,
5, 6] проведені числові розрахунки та імітаційні експерименти, [7]
досліджено неавтономну динамічну систему, що описує кисневий режим в
умовах змінного антропогенного навантаження.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи
доповідались та обговорювалась на семінарах наукової конференції під час
Днів науки Національного університету „Києво-Могилянська академія”
(Київ, 2004, 2005 р.р.); на “Международной конференции по измерениям,
моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды
ENVIROMIS – 2004” (Томск, 2004 р.); на “Сьомій всеукраїнській (другій
міжнародній) студентській конференції з прикладної математики та
інформатики СНКПМІ” (Львів, 2004 р.); на міжнародній науково-практичній
конференції “Нові досягнення геодезії, геоінформатики і
землевпорядкування – європейський досвід” (Чернігів, 2005 р.); на
семінарах кафедри екології НаУКМА (Київ, 2006); на науковій конференції
та на семінарі Інституту проблем моделювання в енергетиці ім.
Г.Є. Пухова НАН України (Київ, 2007).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 7 статтях.

Структура і обсяг роботи: Дисертація, повним обсягом 127 сторінoк,
складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних
джерел з 88 найменувань, включаючи 55 рисунків та 1 таблицю.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до дисертації розкривається актуальність та значущість теми
роботи, формулюється мета і завдання досліджень, подана загальна
характеристика роботи.

У першому розділі представлено огляд літератури за темою дисертації,
зокрема наведено класифікацію забруднень за характером їх впливу на
водну екосистему, приведено опис процесів деструкції органічних сполук
та їх вплив на формування кисневого режиму водного об’єкта,
проаналізовано методи побудови математичних моделей окремих елементів
екосистем.

У другому розділі розглядається побудова математичної моделі, яка описує
кисневий режим водного об’єкту з урахуванням процесів формування
поверхневого стоку на площі водозбору. Для цього мережа водних об’єктів
площі водозбору схематично зображається (рис.1, а) у вигляді
орієнтованого графа (у формі дерева). У вершинах графа розміщені джерела
забруднення, в його вузлах – басейни самоочищення, а з’єднання між ними
відповідають водотокам. Використовуючи ідеї побудови камерних моделей,
кожному басейну та водотоку ставиться у відповідність модель кисневого
режиму.

а)

б)

Рис.1. а) Схема розміщення басейнів та водотоків: 1 – джерела
забруднення, 2 – басейн самоочищення, 3 – водоток. б) Динаміка РК та БПК
в басейні самоочищення.

Процеси розповсюдження розчиненого кисню (РК) та органічного
забруднення, що визначається біологічною потребою кисню (БПК) у рухомому
середовищі описуються за допомогою рівняння конвективного масопереносу з
врахуванням кінетики перетворень компонент. Тому математична модель
кисневого режиму описується за допомогою такої системи звичайних
диференціальних рівнянь:

, прозорість тощо), що вимагає використання нелінійних або неавтономних
рівнянь. Якщо задано початкові умови на початку водотоку, , то за
допомогою загального розв’язку лінійної системи (1), встановлено вигляд
частинного розв’язку задачі Коші:

, , (2)

де – час проходження забруднення по водотоку довжиною із швидкістю, ,
, стала. Таким чином у випадку моделі (1) початкові концентрації РК та
БПК із їх значеннями у кінці водотоку пов’язані співвідношеннями (2).

Для побудови математичної моделі кисневого режиму у басейнах
самоочищення використовується закон збереження маси та кінетичні
рівняння внутрішньоводоймних процесів, на основі яких отримується
модель:

– коефіцієнт аерації. Зміст доданків у рівняннях полягає в наступному:
та – приріст органічної речовини та РК за рахунок надходження їх із
зовнішнім потоком, – зменшення органічної речовини за рахунок
біохімічної трансформації та водообміну, – зменшення РК за рахунок
водообміну та його витрати на розклад органічної речовини, надходження
кисню з атмосфери (аерація). Виберемо значення вхідних потоків, ,;
концентрацій РК та БПК в них, , ,;, , початкових умов у басейні, та
значень параметрів, , , , що відповідають параметрам р. Сирець та є
типовими для малих річок. У результаті проведеного імітаційного
експерименту отримано графіки динаміки РК та БПК, представлені на рис.1,
б. Після того, як процес перебування води у басейні переривається в
певний момент часу, вона потрапляє до водотоку (рис.1, а), де кисневий
режим описується моделлю (1) та задовольняє співвідношення (2). Таким
чином динаміка концентрації РК та БПК у воді перед потраплянням її в
основну водойму характеризується графіком рис.1, б з точністю до
масштабного перетворення виду (2). Представлену методику врахування
впливу структури річкової системи на площі водозбору на кисневий режим
водного об’єкта було поширено на графи складнішої форми.

Схема І

Схема ІІ

Рис.2. Схеми розташування басейнів самоочищення та водотоків: 1, 2, 3 –
басейни самоочищення, з’єднані водотоками, з виходом до основної
водойми.

На рисунку 2 представлені два з них, на основі яких у дисертації
проведені детальні дослідження кисневого режиму водовідвідних систем:
побудова математичної моделі, обчислення концентрацій, аналіз
трансформуючої здатності системи водотоків. Для побудови модельної
системи звичайних диференціальних рівнянь використано закон збереження
маси для кожного басейна самоочищення та кожної компоненти (РК та БПК) з
врахуванням перетворень компонент у водотоках за співвідношенням (2).
Результати імітаційних експериментів, проведених з використанням схем
рис 1, а та рис.2 показують залежність динаміки РК від способу
об’єднання басейнів самоочищення та їх кількості. У випадку однакових
вхідних даних у вершинах графа (рис.2), початкових умов та параметрів
басейнів було здійснено порівняння водовідвідних систем, що моделюються
за допомогою схеми І (рис.3, а) та схеми ІІ (рис.3, б). Тестовий приклад
виявив більше значення стаціонарної концентрації РК за схемою І на
виході з основної водойми.

а)

б)

Рис.3. Динаміка концентрації РК, обчислена з використанням схеми І (а)
та схеми ІІ (б).

У третьому розділі представлено побудову математичних моделей кисневого
режиму басейнів самоочищення за допомогою введення модельних
співвідношень для опису динаміки додаткових факторів впливу. Зокрема,
для врахування динаміки фітопланктону використовується наступна система
диференціальних рівнянь

, (4)

, при яких.

а)

при 1 –2 –, 3 –(б).

Динаміка фітопланктону (ФП) в значній мірі визначається наявністю у воді
біогенних елементів (фосфор, азот тощо), які виступають харчовим
субстратом для фітопланктону, та характеризує рівень евтрофності
об’єкта. Для врахування впливу динаміки фосфору (Ф) до рівнянь системи
(4) приєднаємо додаткове співвідношення, отримане за допомогою закону
збереження мас. Тоді кисневий режим басейна самоочищення з врахуванням
динаміки ФП та Ф описується за допомогою наступної динамічної системи

(5)

де – швидкість надходження фосфору з вхідним потоком, – коефіцієнт
засвоєння фосфору фітопланктоном, – коефіцієнт мінералізації фосфору з
органічного забруднення. Оскільки система (5) є нелінійною, то
побудувати її загальний розв’язок не вдалося. Тому вивчення системи (5)
проводилось методами якісного аналізу. Зокрема встановлені координати
двох стаціонарних точок та (рис.5, а) та визначено тип їх стійкості в
лінійному наближенні. На рисунку 5, а зображено фазовий простір
динамічної системи (5), де точка – сідлова, точка – стійкий фокус. У
дисертаційній роботі проведено оцінку похибки при заміні нелінійної
моделі (5) відповідними лінеаризованими системами в околі стаціонарних
точок, що дає змогу вказати межі адекватності лінійних моделей.
Проведений якісний аналіз стаціонарних точок надає можливість свідомо
керувати виходом траєкторій моделі (5) на певний стійкий стаціонарний
режим шляхом зміни керуючих параметрів.

а)

б)

Рис.5. а) Фазовий портрет моделі (5). б) Динаміка РК: 1 – без врахування
динаміки ФП, 2 та 3 – з врахуванням динаміки ФП.

(6)

де, , від моменту, коли стаціонарна точка є вузлом,

а)

: 1 –; 2 –; 3 –.

Bh¬a@

”

(

>@BDhj¬ae?

oooooeeeeeeYYYYYY

міки фітопланктону при формуванні необхідного кисневого режиму водного
об’єкта.

– коефіцієнта неконсервативності – від у вигляді, де – стала
напівнасичення, залежність – у вигляді. Подібні залежності коефіцієнтів
від РК використовувались в роботах Галкіна Л.М., Гопченко Е.Д.,
Тучковенко Ю.С., в моделі WASP 6. Тоді узагальнення математичної моделі
(6) має вигляд нелінійної автономної системи диференціальних рівнянь

(7)

де – константи напівнасичення,– коефіцієнт неконсервативності при
нелінійній взаємодії органічної речовини та розчиненого кисню,–
емпіричний коефіцієнт. Модель (7) вивчалась методами якісного та
числового аналізу. Стаціонарні режими системи (7) визначаються
розв’язками нелінійної системи алгебраїчних рівнянь

(8)

Для її розв’язання використовувався ітераційний процес – метод Ньютона:,
де матриця – обернена матриця до матриці лінеаризованої системи

(9)

де,. У роботі досліджено залежність координат стаціонарної точки від
зміни параметрів моделі. Оскільки нелінійність по змінним пов’язана в
основному із змінною, а інші змінні і параметри входять лінійним чином,
то для вивчення стаціонарних розв’язків можна використати метод
відображення параметра. Для цього зазначимо, що з першого та останнього
рівняння можна виразити змінні

, ,

де, , ,. Тоді з третього рівняння системи (7) визначимо:, , , ,.

Таким чином підставляючи знайдені величини в друге рівняння отримаємо
співвідношення між параметрами та змінною, з якого легко можна виразити
або або.

залежність (10) зображено графічно на рис. 7. Суцільною лінією
позначено графік залежності, штриховою –. Зокрема при у фізичній
області параметрів знаходиться тільки три корені, які відповідають трьом
стаціонарним розв’язкам динамічної системи (7).

а)

на стаціонарні розв’язки динамічної системи (7).

представлено на біфуркаційній діаграмі Пуанкаре (рис.8, б).

а)

б)

Рис.8. а) Фазовий портрет граничного цикла періода при. б) Біфуркаційна
діаграма Пуанкаре розвитку граничного циклу при зростанні,.

Математична модель (7) була використана для проведення імітаційних
експериментів з моделювання кисневого режиму водовідвідної системи,
утвореної за схемою І (рис.2). При цьому знайдені нові режими
функціонування зв’язаних басейнів, зумовлені нелінійним характером
взаємодії компонент моделі.

Змістовним частинним випадком системи (7) є застосування запропонованої
математичної моделі до вивчення залежності концентрації РК від динаміки
фітопланктону житомирської ділянки р. Тетерів. Для побудови математичної
моделі, яка описує взаємовплив РК та ФП, використаємо квазістаціонарне
наближення виду. Розглянемо асимптотичний випадок,. Тоді при додаткових
обмеженнях на параметри та систему (7) можна звести до виду

– перехідні коефіцієнти. Тоді система (11) набуде вигляду

, (12)

Для верифікації моделі (12) були використані натурні дані за осінні
місяці, представлені в роботі Щербак та Кузьмінчук. Значення параметрів
в емпіричній функції знайдено методом підбору. Модель (12)
проінтегровано при наступних значеннях початкових умов та підгоночних
коефіцієнтів,.

а)

б)

Рис.9. Динаміка розчиненого кисню (а) та фітопланктону (б). Точки,
позначені колом – натурні дані, суцільна лінія та квадрати – результат
імітаційного експерименту.

Адекватність моделі (12) оцінювалась на основі порівняння середньої
відносної похибки , . Зокрема для графіків, представлених на рис. 9, та.
Значна відносна похибка моделювання динаміки ФП пояснюється малими
величинами концентрації ФП, що висуває набагато жорсткіші вимоги як до
результатів моделювання так і до отримання самих натурних даних. Однак з
аналізу графіків рисунка 9 випливає добре якісне співпадання натурних
даних та числових розв’язків моделі (12), що служить непрямим доказом на
користь вірності моделювання механізмів взаємозв’язку розчиненого кисню
та фітопланктону.

ВИСНОВКИ

1. Запропоновано нову математичну модель кисневого режиму водної
системи, яка враховує наявність на площі водозбору джерел забруднення,
басейнів самоочищення та мережі водотоків, динаміку внутрішньоводоймних
процесів: трансформацію органічних речовин, розбавлення, продуктивність
фітопланктону та інтенсивність біогенних елементів. Розроблено методику
побудови системи звичайних диференціальних рівнянь на основі
формалізації річкової системи на площі водозбору у вигляді графа.
Проаналізовано залежності концентрацій РК та БПК від характеристик
басейнів (об’єму, часу перебування води в басейні), водотоків (швидкості
течії, довжини) та виду забруднень. Спираючись на результати проведених
імітаційних експериментів, сформульовано рекомендації по ефективному
керуванню водним об’єктом.

2. За допомогою розроблених математичних моделей проведено дослідження
кисневого режиму басейнів самоочищення. Використовуючи лімітуючий
характер РК в умовах підвищеного рівня евтрофності середовища,
зумовленого природними або антропогенними чинниками, побудовані
нелінійні моделі, в яких залежність швидкості трансформації органічного
забруднення та швидкості продуктивності фітопланктону від концентрації
РК описується дробово-раціональною функцією (типу Моно). На основі
порівняння розв’язків нелінійних моделей та відповідних їм моделей,
лінеаризованих в околі стаціонарного стану, проведено оцінку похибки при
використанні лінійних моделей.

3. За допомогою методів якісного аналізу нелінійних динамічних моделей
доведено існування періодичних, мультиперіодичних та хаотичних
розв’язків у моделі динаміки РК, БПК, фітопланктону та фосфору, які не
можуть бути вивчені в рамках лінійних моделей. За допомогою методів
біфуркаційного аналізу (метод перетинів Пуанкаре) встановлено наявність
каскаду біфуркацій подвоєння періода граничного цикла, вивчені сценарії
утворення хаотичного атрактора та його біфуркації при зміні параметрів
нелінійності моделі.

4. Виявлені нові закономірності формування кисневого режиму водної
екосистеми, а саме:

а) самоочисна здатність водних систем, як природних так і штучних, в
значній мірі визначається схемою поєднання басейнів і водотоків та мірою
очищення на площі водозбору;

б) знайдено залежність між швидкістю розмноження фітопланктону і
мінімальним значенням РК, яке призводить до появи заморних явищ;

в) встановлено умови виникнення інтенсивної продуктивності фітопланктону
(“цвітіння” води). Зокрема: врахування потоку біогенних елементів
дозволяє виявити монотонне або осцилююче зростання фітопланктону водойм,
що відображається на характері кисневого режиму водної системи. Повільні
зміни коефіцієнта трансформації забруднюючого компонента та коефіцієнта
народжуваності можуть суттєво впливати на швидкість та характер виходу
концентрації РК на стаціонарний режим;

г) в умовах, коли рівень концентрації розчиненого кисню впливає на
швидкість процесів, кисневий режим може описуватись кількома наборами
стаціонарних значень своїх компонент, вибір яких залежить від комбінації
характеристик процесів: коефіцієнтів деструкції, аерації, тощо. Зміна
параметрів спричинює перехід системи до нових стійких умов існування у
стаціонарному режимі, періодичному, мультиперіодичному або хаотичному.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації:

1. Лаврик В.І., Скуратівська І.А. Математичне та імітаційне моделювання
процесів формування і регулювання поверхневого стоку промислових
територій // Вісник ЖДТУ / Технічні науки – 2004. –№2 (29). – С.
234-239.

2. Лаврик В.І., Скуратівська І.А. Прогнозування та керування якістю
поверхневого стоку за допомогою імітаційного математичного моделювання
// Наукові записки . Біологія та екологія. – 2004. – Т.29. – С. 51 – 57.

3. Лаврик В. І., Скуратівська І. А. Математичне моделювання та оцінка
впливу площі водозбору на кисневий режим водних екосистем в умовах їх
евтрофікації // Наукові записки . Біологія та екологія. – 2006. – Т.54.
– С. 46-50.

4. Скуратівська І.А. Дослідження стійкості кисневого режиму водних
екосистем при їх евтрофікації // Наукові записки . Фізико-математичні
науки. – 2006.– Т.51. – С. 19-24.

5. Лаврик В. І., Скуратівська І. А. Оцінка впливу динаміки фосфору на
кисневий режим водних екосистем в умовах їх евтрофікації // Екологія
довкілля та безпека життєдіяльності. – 2006. – №3. – С.79 – 82.

6. Лаврик В.І., Скуратівська І.А. Аналіз та прогнозування якості
поверхневого стоку промислових територій методами математичного та
імітаційного моделювання// Вісник ЖДТУ / Технічні науки –2007. –№1(40).
– С. 219 – 225.

7. Лаврик В.И., Скуратовская И.А. Исследование устойчивости кислородного
режима водных экосистем методами математического и имитационного
моделирования // Гидробиол. журнал.-2007. – № 1(43). – С. 111 – 117.

АНОТАЦІЯ

Скуратівська І.А Математичне моделювання і прогнозування кисневого
режиму водних об’єктів в умовах антропогенного навантаження.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за
спеціальністю 01.05.02 – “математичне моделювання та обчислювальні
методи”. – Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН
України, м. Київ, 2007 р.

Дисертаційна робота присвячена побудові математичної моделі формування
кисневого режиму водних систем з врахуванням впливу структури річкової
системи на площі водозбору та основних внутрішньоводоймних процесів:
трансформації органічних речовин, розбавлення, динаміки фітопланктона та
біогенних елементів. Використовуючи схематичне представлення джерел
забруднення, басейнів та каналів у вигляді графа, побудована система
звичайних диференціальних рівнянь, що являє собою зв’язані на основі
закону збереження маси окремі динамічні моделі кисневого режиму
елементів водозбірної території. У рамках запропонованого підходу
з’ясовано вплив структури системи водовідведення та біологічних процесів
на рівень концентрацій розчиненого кисню, БПК, фітопланктону, фосфору та
швидкість самоочищення. Запропоновані математичні моделі кисневого
режиму басейна самоочищення, які враховують швидкість продуктивності
фітопланктону та її вплив на динаміку розчиненого кисню. У випадку
нелінійних динамічних моделей встановлено межі допустимості лінеаризації
та умови асимптотичного переходу до спрощених підмоделей. У результаті
проведеного якісного і числового аналізу нелінійних систем
диференціальних рівнянь встановлено кількість стаціонарних розв’язків та
залежність їх координат від параметрів системи, проаналізовано тип їх
стійкості у лінійному наближенні та проведено біфуркаційний аналіз
стаціонарних та періодичних режимів. На основі проведених імітаційних
експериментів обґрунтовано ряд закономірностей формування кисневого
режиму водного об’єкта на площі водозбору.

Ключові слова: імітаційне моделювання, розчинений кисень, нелінійні
моделі.

АННОТАЦИЯ

Скуратовская И.А. Математическое моделирование и прогнозирование
кислородного режима водных объектов в условиях антропогенной нагрузки. –
Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по
специальности 01.05.02- “математическое моделирование и численные
методы”. – 125 с. – Институт проблем моделирования в энергетике им.
Г.Е. Пухова НАН Украины, г. Киев, 2007 р.

Диссертационная работа посвящена построению математической модели
формирования кислородного режима водных экосистем с учетом влияния
структуры речной системы на водосборной территории и основных
внутриводоемных процессов: трансформации органических веществ,
разбавления, динамики фитопланктона и биогенных элементов. Используя
схематическое представление источников загрязнения, бассейнов и каналов
в виде графа (в форме дерева) построена система обычных дифференциальных
уравнений, представляющая собой связанные посредством закона сохранения
массы отдельные динамические модели кислородного режима элементов
водосборной территории. При этом процессы в водотоке описываются моделью
конвективного массопереноса, в бассейне самоочищения – с помощью
балансовых и кинетических соотношений. В рамках предложенного подхода
исследована динамика растворенного кислорода и органических веществ
после прохождения сети водотоков, скорость и характер установления
равновесия, изучены очистные свойства водосборной площади в зависимости
от способа расположения бассейнов и водотоков. Предложены нелинейные
математические модели динамики растворенного кислорода, БПК,
фитопланктона и фосфора. В зависимости от степени влияния фактора
нелинейная система редуцируется с помощью процедуры линеаризации или
асимптотического метода к упрощенным моделям, для которых получены
аналитические решения или проведен полный качественный анализ. В случае
четырехкомпонентной модели кислородного режима бассейна самоочищения с
помощью методов качественного и численного анализа нелинейных систем
дифференциальных уравнений установлено количество стационарных решений и
зависимость их координат от параметров системы. Проанализирован тип
устойчивости стационарных решений в линейном приближении, на основании
которого найдены условия рождения периодических режимов в фазовом
пространстве динамической модели. Детальное исследование периодических
решений показало наличие каскада бифуркаций удвоения периода предельного
цикла, приводящего к образованию хаотического атрактора. С помощью
предложенной нелинейной модели, на примере последовательного соединения
двух бассейнов самоочищения, изучены бифуркации периодических режимов
при управлении процессом аэрации в одном из бассейнов. На основании
результатов имитационных экспериментов обоснован ряд закономерностей
формирования кислородного режима водного объекта на площади водосбора.

Ключевые слова: имитационное моделирование, растворенный кислород,
нелинейные модели.

ANNOTATION

Skurativska I.A. – The mathematical modelling and forecasting of the
water objects oxygen regime under anthropogenic loading. Manuscript.

The dissertation for the candidate of technical science degree on
speciality 01.05.02 – the mathematical modelling and numerical method. –
Institute of Simulation problems in the Energetic named after Pukhov G.,
the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

The dissertation is dedicated to the creation of the mathematical model
of oxygen regime formation of aquatic systems, taking into account the
influence of the structure of a river system on the water collecting
area and basic internal water processes: transformation of organic
substances, dilution, phytoplankton and biogenic elements dynamics.
Using the schematic presentation of the polution sources, reservoirs and
channels as of a graph, the system of ordinary differential equations is
built. Ihese are special dynamical models of the oxygen regime of the
water collecting area elements, which are connected by means of the
conservation law of mass. Within offered approach, the influence of the
structure of the water removing system and biological processes on a
level of concentration of the disolved oxygen, BOD, phytoplankton,
phosphorus and a speed of self-clearing is ascertained. The mathematical
models of the self-clearing reservoir oxygen regime, which take into
account a speed of phytoplankton production and its influence on the
dynamics of oxygen regime, are presented. In a case of the nonlinear
dynamical models the limits of admission of linearization and conditions
of the asymptotical transition to the simpler submodels are determined.
As a result of qualitative and numerical analysis of the nonlinear
systems of differential equations, the number of stationary solutions
and dependence between its coordinates and system parameters is found
out. The type of steady solutions stability within the linear
aproximation is analyzed and bifurcational analysis of the stationary
and periodic solutions is carried out. A set of rules of the formation
of the aquatic objects oxygen regime on the water collecting area is
substantiated on the base of the imitation experiments.