Реферат на тему:
Показникові та логарифмічні рівняння
Відомості із вищої математики. Для наближеного обчислення показникової
і логарифмічної функцій можна використати такі розклади
Збіжність послідовності також маємо, якщо
Показникову функцію можна розкласти в ряд:
Збіжність ряду можна поліпшити, узявши
Значення логарифмів можна знайти з таких розкладів:
, дістанемо такий розклад:
Ці розклади можна використовувати в разі комплексних значень аргументів.
В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.
Показникова функція
.
.
.
.
, ця функція спадає при всіх значеннях х (див. рисунок).
Логарифмічна функція
(див. рисунок).
Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно
піднести основу а, щоб дістати число b:
Основна логарифмічна тотожність:
Наведемо деякі властивості логарифмів.
.
.
.
.
.
.
:
.
.
.
.
.
Доведення формул (8—11) випливає з формули (7).
Приклади перетворень
логарифмічних виразів
Обчислити значення виразів (1—12).
.
.
.
.
.
.
EMBED Equation?†????–????????†??
,
.
Остаточно маємо:
, дістанемо:
.
Остаточно маємо:
.
.
.
.
.
.
.
Переходимо до основи х:
;
.
Способи розв’язання логарифмічних рівнянь
1. Перехід до спільної основи. Якщо в рівнянні маємо логарифми з різними
основами, то переходимо до спільної основи.
.
,
.
звідки
.
2. Потенціювання. Якщо під знак логарифма входить сума або різниця, то
рівняння потенціюють. Розв’язок неодмінно перевіряють.
.
.
.
не задовольняє рівняння.
.
не задовольняє рівняння.
3. Логарифмування. Якщо в показник при невідомому входять логарифми
невідомого, то звичайно обидві частини рівняння логарифмують.
.
.
4. Метод заміни змінної. Логарифмічне рівняння зводиться до
алгебраїчного рівняння.
.
і кожний множник прирівнюється до нуля.
Приклад. Розв’язати рівняння
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Прирівнюємо до нуля кожний множник:
не задовольняє рівняння.
і відшукують точки їх перетину, які визначають розв’язок рівняння.
.
.
Розв’язуючи логарифмічні рівняння здебільшого застосовують кілька
способів їх перетворення.
.
Переходимо до основи 3:
.
Потенціюємо рівняння:
;
.
Логарифмуємо рівняння за основою 3:
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Розглядаємо два випадки:
, тоді рівняння перетворюється на тотожність
;
.
Потенціюємо рівняння:
Способи розв’язування
показникових рівнянь
1. Прирівнювання показників
при однаковій основі
.
.
.
.
Прирівнюємо показники при основі 5:
дістанемо:
.
??
,
z
?
rOD
t
?Т?Т??
??&?
не задовольняє рівняння.
2. Логарифмування рівняння
.
Логарифмуємо обидві частини рівняння при основі 3:
,
.
.
, то можна логарифмувати рівняння.
.
3. Метод заміни змінної
, дістанемо:
;
.
.
.
4. Однорідні рівняння
можна переписати у вигляді
.
.
.
.
х ? 1,18681439.
Запишемо рівняння у вигляді:
, дістанемо:
.
5. Розклад рівняння
на множники
і прирівнюємо до нуля кожний множник.
.
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
:
.
Прирівняємо кожний множник до нуля:
;
не задовольняє рівняння.
Показниково-степеневі рівняння
Розглядається рівняння
.
Наведемо частинні випадки цього рівняння.
існує.
існують.
.
— цілі числа одинакової парності.
.
.
.
не задовольняє рівняння.
.
.
.
.
— не задовольняє рівняння.
.
Деякі рівняння можна розглядати і як показникові, і як логарифмічні.
.
Потенціюємо обидві частини рівняння:
, дістанемо:
.
.
.
Повертаючись до початкових позначень, маємо:
.
.
Системи показникових і логарифмічних рівнянь
Під час розв’язування систем показникових і логарифмічних рівнянь
поєднують прийоми, застосовувані під час розв’язування відповідних
рівнянь і систем алгебраїчних рівнянь.
.
, дістанемо:
.
Логарифмуючи обидва рівняння при основі 2, дістаємо систему лінійних
рівнянь
.
.
, приходимо до одного рівняння:
.
Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо:
.
.
Запишемо систему рівнянь у вигляді:
.
;
Другий розв’язок не задовольняє рівняння.
.
.
.
, дістанемо:
.
.
.
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.
Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
x
y
y = ах, а > 1
y = ах, 0 1
y = logах, 0
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter