Реферат на тему:
Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Нехай відоме значення деякої функції f в n+1 різних точках х0, х1, …
хn, які позначені наступним чином:
Наприклад, ці значення отримані з експерименту, або знайдені із
допомогою достатньо важких обчислень.
Виникає задача наближеної відновленої функції f в деякій точці х.
Найчастіше для вирішення цієї задачі будується алгебраїчний многочлен
Ln(x) степеня n, який в точках xj ,отримує задані значення, і так далі
(1)
фактично має нульову степінь, але його теж будем називати
інтерполяційним многчленом n-го степеня.
Приблизне відновлення функції f по формулі
(2)
Називається інтерпеляцією функції f (з допомогою алгебраїчного
многочлена). Якщо х знаходиться за межами мінімального відрізка
вміщаючого всі точки інтерпеляції x0, x1,…,xn то зміну функції по
формулі (2) називають екстраполяцією.
Спочатку виляснемо питання існування і однорідності інтерполяційного
многочлена, а потім дослідимо хибність інтерпеляції, яка різниця між
лівою та правою частинами наближеного рівняння (2).
Теорема 1:
Існує єдиний інтерполяційний многочлен n-го степеня, відповідаючий умові
(1).
Доведення: Існування інтерполяційного многочлена безпосередньо
установим, виписавши його. Нехай n=1, тоді
(3)
При n=2
в, кінці в любому випадку при любому натуральному n
(4)
де
(6)
, викопано умови (1).
n-го степеня, задовольняючий умовам:
(7)
тоді згідно (1), (7)
(8)
теорема повністю доказана.
Інтерполяційний многочлен, приставлений у виді (5), називається
інтерполяційним многочленом Лагранжа, а функції (многочлени) (6) –
лагранжовими коефіцієнтами є і другі форми запису інтерполяційного
многочлена. Однак по теоремі (1) інтерполяційний многочлен n-го степеня
(точніше кажучи, степені не більше n), задовольняючий умовам (1),
єдиний.
, яке може служити контролем при обчисленні Лагранжеві коефіцієнтів
(6).
, то інтерполяційний многочлен для суми двох функцій рівний сумі
інтерполяційних многочленів для складених.
Приклад: Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа по наступним
даним
і 0 1 2 3
хi 0 2 3 5
fi 1 3 2 5
Розв’язання: Згідно (5) при n=3 маємо
Усе можна написати рівняння:
(9)
точку х.
в наступному виді:
(10)
(11)
.
, і розберемо наступну функцію від t:
(12)
в якому випадку n+2-х точка х відрізка (а,в) на якому міняється t.
отримаєм:
Наступне,
і в співвідношенні з (9), (10),
(13)
, (14)
– деяка невідома точка.
15
а оцінка максимальної інтерполяції на всьому відрізку [a,b]
(16)
де Mn+1 – величина
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
