Реферат на тему:
Способ реализации мировоззренческой направленности курса математики
Под мировоззрением понимаем систему взглядов на окружающий нас мир, на
возможность его познания человеком. Математика имеет огромные
возможности для показа мощи научных методов в познании окружающей
действительности.
Чем бы не занимался человек, какую бы сторону материального мира ни
изучал, всегда после накопления определенного объема информации об
изучаемом объекте, он стремится привести ее в определенную систему,
упорядочить, выделить главные факторы, установить их взаимосвязь и на
основе этого понять механизм работы этого объекта.
Возможность свернуть информацию, представить ее в виде формулы – главное
достижение математики и мощное средство познания действительности.
Интересно, что законы открытые в одной науке аналогичны законам других
наук. (2, 13)
Рассмотрим фрагмент вводной лекции по теме “Дифференциальные уравнения”,
которая для учащихся лицея или студентов нематематических специальностей
может быть построена следующим образом.
Вам знакомы различные типы уравнений: алгебраические, логарифмические,
показательные, тригонометрические. Все они имеют общую черту: в
результате решения этих уравнений получают какие-то числа (их называют
“корнями” уравнения). Теперь нам предстоит познакомиться с принципиально
иным типом уравнений – уравнениями, решениями которых служат не числа, а
функции. К подобным уравнениям относятся, в частности, так называемые
дифференциальные уравнения.
Рассмотрим некоторую функцию f(x). Обозначим через f ‘(x) ее первую
производную, через f ”(x) – вторую производную и т.д.
Дифференциальным уравнением называется равенство, связывающее x, f(x), f
‘(x), f ”(x) и т.д. В результате решения дифференциального уравнения
отыскивается функция f(x).
Два простых (и кстати говоря, довольно распространенных) типа
дифференциальных уравнений имеют вид:
(1)
(2)
где p и q – постоянные.
Из вида уравнения (1) следует, что в каждой точке x скорость изменения
функции f(x) совпадает со значением функции с точностью до постоянного
множителя p . Иначе говоря, с точностью до указанного множителя функция
f(x) и ее первая производная f ‘(x) в каждой точке x совпадают. Значит в
качестве решения уравнения (1) надо взять функцию ex .
Поэтому уравнение (1) называют дифференциальным уравнением
экспоненциального роста (убывания). При p>0 имеем, очевидно, рост, а при
p0) (2)
Здесь в каждой точке совпадает с функцией f(x) уже не скорость изменения
функции, а взятая с обратным знаком скорость изменения скорости
изменения функции. Иначе говоря, функция f(x) совпадает ( с точностью до
постоянного множителя ) со своей второй производной f ”(x). Нетрудно
догадаться, что решениями уравнения (2) должны быть функции sin x или
cos x.
). Действительно,
Рассматриваемое дифференциальное уравнение называют дифференциальным
уравнением гармонических колебаний. Общее решение его может быть
представлено в виде :
) (3)
В данном случае мы имеем дело уже не с одной, а с двумя постоянными
интегрирования. Это связано с тем, что дифференциальное уравнение
содержит вторую производную. Значит, для перехода к функции f(x)
приходится дважды обращаться к интегрированию. А ведь каждое
интегрирование дает, как известно, семейство первообразных, т.е.
приводит к появлению постоянной интегрирования. Вообще число постоянных
интегрирования в общем решении того или иного дифференциального
уравнения равно максимальному встречающемуся в данном уравнении порядку
производной. Общее решение уравнения (1) имеет одну постоянную
интегрирования, поскольку уравнение содержит производную искомой функции
первого порядка и не содержит производных более высоких порядков.
Общее решение уравнения (2) имеет две постоянные интегрирования,
поскольку уравнение содержит производную искомой функции второго порядка
и не содержит производных более высокого порядков.
Ясно, что для записи начальных условий этого уравнения надо задать в
некоторой точке x=x0 значение не только искомой функции, но и ее первой
производной: f(x0) = f0 ; f ‘(x0) = f ‘0 .
Но вернемся к общему решению уравнения (2). Обычно его записывают не в
виде (3), а в несколько ином виде –
(4)
В формуле (4) используются постоянные А и ? вместо постоянных
интегрирования С1 и С2 , входивших в общее решение (3). Переход от (3) к
(4) нетрудно выполнить, если применить формулу для синуса суммы.
Действительно,
,
так что
.
Остановимся на одном принципиальном обстоятельстве. Дело в том, что
рассмотренные дифференциальные уравнения (1) и (2) описывают
определенные процессы, что особенно хорошо видно, если в качестве
независимой переменной использовать время. Перепишем уравнения (1) и (2)
в виде:
f ‘ (t) – pf (t) = 0, (1а)
f ” (t) + qf (t) = 0, (q>0) (2а)
.
Любое дифференциальное уравнение описывает некоторый процесс
(предполагается зависимость f от времени). Внимательно отнеситесь к
этому ! В известном смысле, здесь отражается идейная сторона, внутренняя
сущность дифференциальных уравнений.
Заметьте: дифференциальное уравнение связывает в произвольный момент
времени (в произвольной точке пространства) значения функции и некоторой
ее производной (производных), а в результате, решая уравнение, мы
получаем картину развивающегося во времени ( в пространстве) процесса.
Иными словами, выражая локальную связь (связь в точке x , в момент t )
между f’ , f ‘ , f ” , …, дифференциальное уравнение тем самым
позволяет получить некую картину в целом, некий процесс, некое развитие.
В этом и состоит идейная сущность дифференциальных уравнений. (4,
130-131)
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение экспоненциального
затухания, наполняя его конкретным смыслом.
Пример 1.(Закон растворения лекарственных форм вещества из таблеток).
gdmUV
??
??
Необходимо установить зависимость изменения количества лекарственных
форм вещества в таблетке с течением времени, если известно, что скорость
растворения лекарственных форм вещества пропорциональна количеству
лекарственных форм вещества в таблетке.
Решение. Обозначим через m количество вещества в таблетке, оставшееся ко
времени растворения t. Тогда
dm / dt = – km
где k – постоянная скорости растворения. Минус в уравнении означает, что
количество лекарственных форм вещества с течением времени убывает.
Разделяем в уравнении переменные и интегрируем его:
Полагая, что при t=0,m=m0, получаем C=m0.Формула m=m0e-kt выражает закон
растворения лекарственных форм вещества из таблеток.
Пример 2.(Закон химической реакции первого порядка).
Скорость химической реакции первого порядка выражается уравнением
v = dc / dt = – kc,
Где с – концентрация реагирующего вещества, t – время, k – постоянная
скорости реакции.
Интегрируем это уравнение и имеем:
Полагая при t=0 c=c0 , получаем C1 = c0 , следовательно формула
с = с0e-kt
выражает закон реакции первого порядка.
, c=c0/2 в уравнение, получим
.
Видно, что период полупревращений для реакции первого порядка не зависит
от исходной концентрации вещества, и за равные промежутки времени
расходуется одна и та же доля вещества.
Пример 3.(Закон растворения клеток в звуковом поле).
Кавитация ультразвуковых волн проявляется в виде разрывов суспензионной
среды и образования мельчайших пузырьков и пустот, плотность которых
незначительна по сравнению с плотностью воды. Простейшие (бактерии,
водоросли, дрожжи, лейкоциты, эритроциты) могут быть разрушены при
кавитации, возникающей в интенсивном звуковом поле. Относительные
скорости разрушения биологических клеток различных видов остаются
постоянными в очень широком диапазоне частот. Эти скорости могут
характеризовать относительную хрупкость клеток различных видов. Чтобы
выразить это количественно, нужно определить скорость разрушения клетки
в постоянном звуковом поле. Изучение этого вопроса показывает, что, пока
по крайней мере 1% популяции остается неразрушенным, можно записать:
dN / dt = – RN,
где N – концентрация клеток, t – время, R – постоянная.
Проинтегрируем уравнение:
Постоянную С найдем из условия, что при t = 0 N = N0 и C = N0 .
Тогда N = N0 e -Rt , т.е. разрушение клеток в постоянном звуковом поле
происходит по экспоненциальному закону. (1, 126-127)
Пример 4.(Закон Бугера в физике).
Пусть на плоскую границу некой среды падает нормально световая волна
интенсивности I0 и затем распространяется, постепенно затухая, внутри
среды. Требуется найти функцию I(x) – зависимость интенсивности света от
глубины проникновения его в среду (иначе говоря, от пути, пройденного
внутри среды). При этом известно, что скорость затухания интенсивности в
данной точке x пропорциональна величине интенсивности в данной точке:
Здесь k – коэффициент пропорциональности, имеющий, очевидно, размерность
обратной длины.
Легко видеть, что, как и в предыдущих случаях, мы имеем здесь
дифференциальное уравнение экспоненциального затухания.
Используя начальное условие I(0)=I0 , получаем: I(x)=I0 e – kx
Эта формула описывает хорошо известный в оптике закон Бугера: по мере
проникновения в глубь вещества интенсивность света затухает по
эспоненте.
Пример 5. (Закон радиоактивного распада).
Пусть в начальный момент времени масса радиоактивного вещества равна
m(0) = m0
Известно, что скорость уменьшения массы вещества со временем
пропорциональна его количеству, т.е., что выполнено уравнение
m'(t) = – km(t), где k > 0.
Решая его, получим:
m(t) = m0e – kt.
Закон радиоактивного распада также имеет экспоненциальный характер.
Итак, мы имели дело с различными процессами материального мира, но
оказалось, что математическая природа этих процессов одна и та же – все
они описываются одним и тем же дифференциальным уравнением.
Вывод: многие физические процессы, различные по своему содержанию,
описываются одним и тем же дифференциальным уравнением (1). Относительно
уравнения (2) приводятся примеры из курса физики:
.
Рассмотренный колебательный процесс относится к механическим процессам.
Обратимся теперь к процессу, имеющему совершенно иную физическую
природу. Речь пойдет о движении электрических зарядов в контуре,
состоящем из конденсатора с емкостью C и катушки с индуктивностью L.
. Следовательно, как и в предыдущем примере, мы приходим к гармоническим
колебаниям, но здесь имеем уже не механические колебания шарика на
пружинках, а электромагнитные колебания в контуре (4, 137).
Оба этих физических процесса оказываются математически аналогичными. Мы
приходим к пониманию того, что одни и те же математические понятия и
результаты применимы к самым разнообразным по своему конкретному
содержанию явлениям. Так, поперечные колебания струны, продольные
колебания газа в трубе, крутильные колебания вала и другие процессы
описываются одномерным волновым уравнением. Уравнение теплопроводности
описывает также явление диффузии, фильтрацию газа или жидкости через
пористые среды и др. Стационарные поля электрических, магнитных и
гравитационных сил, а также поле скоростей безвихревого течения
идеальной несжимаемой жидкости – все это подвластно уравнению Лапласса и
т.д. (3, 54)
Все эти удивительные аналогии являются следствием материального единства
мира. Понятно, что тайны микро- и мегамира мы можем интерпретировать и
изучать с помощью привычных для нас моделей макромира. Изучение одних
процессов с помощью других – аналогичны(измерение которых значительно
проще, например) – имеют большое практическое значение и является важным
методом научных исследований.
Література
Лобоцкая Н.Л., Морозов Ю.В., Дунаев А.А. Высшая математика.- Минск: Выш.
шк., 1987.- 319с.
Методологические проблемы взаимодействия общественных, естественных и
технических наук / Под ред. Б.М. Кедрова, П.В Смирнова, Б.Г. Юдина.- М.:
Наука, 1981.-360с.
Методические указания по вопросам мировоззренческой и воспитательной
направленности преподавания курса высшей математики/Сост. В.В. Пак. –
Донецк: ДПИ, 1988.- 64с.
Тарасов Л.В. Математический анализ:Беседы об основных понятия.-
М.:Просвещение, 1979.-144с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
