.

Статистичний аналіз і оцінка похибок вимірювань (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
4 5076
Скачать документ

Реферат на тему:

Статистичний аналіз і оцінка похибок вимірювань

Похибки вимірювань та їх види

Кількісний вміст властивості, що відображається фізичною величиною,
визначається розміром фізичної величини. Ще до вимірювання існує деякий
розмір фізичної величини, котрий можна би було оцінити відповідним
числовим значенням. Це значення називають істинним.

Істинне значення фізичної величини – це значення, що ідеально відображає
властивості даного об’єкта як кількісно, так і якісно. Воно є
об’єктивним і не залежить ні від нашої свідомості, а ні від технічних
засобів, що застосовуються при експериментальному його визначенні. При
експериментальному визначенні значення фізичної величини завжди будемо
отримувати значення величини, відмінне від істинного, бо завжди має
місце похибка вимірювання.

Абсолютною похибкою вимірювання ? називають відхилення результату
вимірювання від істинного значення вимірюваної величини

? = x – X, (2.1)

Абсолютна похибка не може служити мірою точності, бо, наприклад ? =
0,5мм при х = 100 мм є достатньо малою, але при х = 0,5 мм—вона дуже
велика. Тому вводиться поняття відносної похибки:

(2.2)

де x – результат вимірювання ; Х—істинне значення вимірюваної величини.

Дійсне значення вимірюваної величини це є її значення отримане
експериментально, і настільки наближене до істинного, що для даної мети
воно може бути використане замість нього

Оскільки істинне значення вимірюваної величини невідоме, то практично
знаходять наближені значення абсолютної і відносної похибок вимірювання:

,

де xД – дійсне значення вимірюваної величини (має бути відоме з
похибкою, що в кілька разів менша за похибку ?Д).

Зрозуміло, що легше знайти похибку ?ном, яка називається номінальною
відносною похибкою і, якщо вона невелика, то мало відрізняється від ?Д.

Похибка вимірювання зумовлена, головним чином, наявністю похибок засобів
вимірювання і є результуючою похибкою багатьох складових, кожна з яких
викликана певною причиною. Розрізняють чотири групи похибок.

Інструментальні похибки, зумовлені недосконалістю засобів вимірювань.

Похибки установлення—це похибки, спричинені неправильним установленням
засобу вимірювань, впливом відхилень умов виконання вимірювального
експерименту від тих, що були градуюванні засобу вимірювань.

Похибки методу вимірювання спричинені недосконалістю цього
методу—недостатньою обгрунтованістю його теорії, застосуванням
наближених формул для спрощення розрахунків тощо.

Особисті похибки виникають переважно при відлічуванні показів. Причини
їх виникнення: недосконалість зору оператора, втомленість, схильність
занижувати або завищувати відлік, округляти до парних або непарних цифр
тощо.

Похибки трьох перших груп називають об’єктивними, а похибки четвертої
групи – суб’єктивними. Об’єктивні похибки можуть виникати на довільній
стадії вимірювальних перетворень, а суб’єктивні —тільки при відчитуванні
показів експериментатором.

В реальних умовах усім величинам, в тому числі й похибкам, властива
певна невизначеність, мірою якої характеризується їх випадковість.
Залежно від закономірності проявлення похибки ділять на систематичні,
випадкові і грубі.

Систематичною похибкою називається складова похибки вимірювання, яка
залишається сталою або закономірно змінюється при повторенні вимірювань
однієї і тієї самої величини.

Випадкова похибка — це та складова похибки, яка при повторенні
вимірювань величини з незмінним розміром змінюється випадково.

Груба похибка — це похибка вимірювання, яка істотно перевищує сподівану
за даних умов вимірювання похибку.

Кількісною оцінкою точності вимірювань є число, обернене до відносної
похибки (запропоновано у 1955р. Соловйовим М.М.)

(2.3)

Характеристикою якості вимірювання, яка відбиває близькість
систематичної похибки до нуля, є правильність вимірювання. Коли
систематична похибка відома, то результат можна виправити введенням
поправки.

Поправка —значення абсолютної похибки, взятої з протилежним знаком. Вона
додається до результату вимірювання, щоб вилучити систематичну похибку.

истематичні і випадкові похибки

Систематичні похибки можуть бути сталими і змінними. Змінні систематичні
похибки поділяють на прогресуючі, періодичні і такі, що змінюються за
складним законом.

Прогресуючими називають такі систематичні похибки, які постійно
зростають або зменшуються.

Періодичними вважають систематичні похибки, знак і значення яких
періодично змінюються.

Систематичні похибки, що змінюються за складним законом, можна виразити
графічно або аналітично. Якщо це дуже складно, то їх доцільніше віднести
до випадкових похибок.

Одним із завдань вимірювального експерименту є виявлення систематичних
похибок. Важливість його полягає в тому, що така невиявлена похибка
небезпечніша, ніж випадкова, бо вона постійно спотворює результат
вимірювання.

Кінцевою метою виявлення систематичних похибок є їх вилучення і
врахування. Під вилученням систематичних похибок розуміють зменшення їх
значень до рівня окремих невеликих складових випадкової похибки.
Невилучені залишки систематичних похибок трактуються як випадкові.

Універсального способу вилучення систематичних похибок немає. Серед
відомих способів найпоширенішими є такі:

-вилучення джерел похибок, головним чином похибок установлення;

-попереднє визначення похибок і їх урахування шляхом введення поправок,
знайдених при перевірці засобів вимірювання, включаючи поправки на
додаткові похибки.

До спеціальних способів вилучення систематичних похибок відносять:
спосіб заміщення, спосіб компенсації похибки за знаком, спосіб
протиставлення, спосіб симетричних спостережень.

Спосіб заміщення полягає в тому, що спочатку на вхід вимірювального
приладу подають вимірювану величину, а потім замінюють її величиною з
таким відомим значенням xД, при якому показ приладу залишається
попереднім. Таким чином, невідоме значення вимірюваної величини Х
знаходять за відомим значенням xД , відтвореним мірою при заміщенні.

Спосіб компенсації похибки за знаком полягає в тому, що дану величину
вимірюють двічі, але умови вимірювання змінюють так, щоб стала
систематична похибка, яка підлягає вилученню (відома за походженням, але
невідома за значенням), входила в результати вимірювань з протилежними
знаками. Тоді середнє арифметичне результатів стає вільним від цієї
похибки.

Спосіб компенсації похибки може бути використаний для виключення
похибок, джерела яких мають направлену дію. Однак, якщо похибка така, що
прогресує, то цей спосіб забезпечує тільки часткове її вилучення.

Спосіб протиставлення полягає в тому, що вимірювана величина двічі
порівнюється з величиною, яка відтворюється мірою, причому перед другим
порівнянням вони взаємно міняються місцями у вимірювальному колі.
Результат вимірювання у вигляді середнього пропорційного між значеннями
міри при першому і другому порівнянні зовсім не залежить від коефіцієнта
передачі вимірювальної схеми. Тому стала систематична похибка цього
коефіцієнта, яка має місце при одноразовому вимірюванні, повністю
вилучається

Випадкові похибки. Випадкові похибки виникають внаслідок випадкових та
непередбачених змін властивостей засобів і умов вимірювання та
властивостей органів чуття спостерігача. Вони можуть бути зумовлені
недосконалістю методу вимірювання, тобто недостатньою обгрунтованістю
його теорії або допущеними спрощеннями, внаслідок чого не тільки
значення, але й знаки похибок залишаються невідомими.Випадковими є
невизначені за своєю величиною або недостатньо вивчені похибки, в появі
різних значень котрих нам не вдається встановити закономірності. Вони
визначаються складною сукупністю причин, що трудно проаналізувати. Їх
значення не можуть бути передбачені, а для всього їх загалу може бути
встановлена закономірність лише для частоти появи їх різних значень.
Присутність випадкових похибок (на відміну від систематичних) легко
виявляється при повторних вимірюваннях, як деякий розкид результатів.
Переважно поява випадкових похибок є стаціонарним випадковим процесом.

Якщо значення, які може набувати випадкова величина, утворюють
дискретний (скінчений або нескінчений) ряд чисел, то така випадкова
величина називається дискретною. Якщо ж значення випадкової величини
заповнюють цілий проміжок (скінчений або нескінчений), то випадкову
величину називають неперервною.

того, що значення випадкової величини буде в певному проміжку.

Співвідношення, які встановлюють зв’язок між можливими значеннями
випадкових величин і їх ймовірностями, називають законом розподілу
випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини
задається рядом розподілу. Тому різноманітність величин випадкових
похибок характеризують вказуванням закону розподілу їх ймовірностей або
вказуванням параметрів цього закону, розвинутих в теорії ймовірностей і
в теорії інформації.

Випадкові похибки описуються функціями розподілу: інтегральною і
диференційною.

Інтегральною функцією розподілу результатів спостережень називають
залежність ймовірності того, що результат спостережень хі в і-му досліді
виявиться

меншим, ніж деяке біжуче значення х від самої величини Х:

, (2.4)

де P – символ імовірності події, вказаної у фігурних дужках.

Рис.2.2. Функції розподілу: а) –інтегральна; б) –диференціальна.

Значення інтегральної функції в точці Х чисельно дорівнює імовірності
того, що випадкова величини хi внаслідок і–го спостереження виявиться
лівіше від точки Х. При переміщенні точки Х вздовж осі ОХ ця ймовірність
буде, напевне, змінюватись, але зменшитися при переміщенні вправо вона
не може. Тому інтегральна функція розподілу є неспадною функцією
аргументу. Загалом її значення при переміщенні точки Х із “-” в “+”
змінюється від 0 до 1. Теоретична інтегральна функція неперервна, тобто
результат спостереження може мати яке завгодно наперед вибране значення
з нульовою ймовірністю. Практично роздільча властивість вимірювальних
засобів ділить всю область значень вимірюваної величини на відрізки, в
котрих спостерігач не відрізняє зміни вимірюваної величини. Тому в межах
кожного відрізка інтегральна функція розподілу зберігає постійне
значення і стрибкоподібно змінюється при переході границі до якогось
кінцевого значення. В цифрових вимірювальних системах ці сходинки
конкретно відповідають одиницям останнього розряду, а в аналогових –
якійсь часточці ціни поділки.

Але переважно згадані вище обставини не забороняють вважати інтегральну
функцію розподілу результатів спостережень безперервною функцією, і це
спрощує аналіз випадкових похибок.

Похибку ? можна розглядати також як випадкову величину, що приймає в
різних дослідах різне значення ?і. Початок координат для похибок ?
відповідає значенню Х=х. Інтегральна функція розподілу похибок
відповідає інтегральній функції розподілу результатів спостережень хі:

F(?)= P{? i? ?}= P{xi-X ? x-X i} = P{xii? x}, (2.5)

В метрології при розгляданні випадкових похибок вимірювання частіше
застосовують диференціальну функцію розподілу, котра є функцією,
похідною від інтегральної за своїм аргументом:

px(x)= dFx(x)/dx

p?(?)= dF(?)/d?. (2.6)

Диференціальну функцію розподілу px(x) часто називають щільністю
ймовірностей, а її графічну форму – кривою розподілу. Найчастіше ця
крива має форму дзвона(рис.2.1).

Інтегруванням диференційної функції розподілу легко отримати
інтегральну функцію:

(2.7)

Для щільності ймовірностей мають виконуватись такі умови:

.

Другу умову називають умовою нормування щільності ймовірностей. Це
значить, що площа під кривою розподілу в межах -? …+ ? дорівнює
одиниці, або іншими словами – ймовірність появи результату спостереження
у вказаному інтервалі є вірогідною подією. Розмірність щільності
ймовірності випадкової величини х виражається як х-1. Добуток p(x)dx
називається елементом ймовірності і він дорівнює ймовірності того, що
випадкова величина х буде мати значення в інтервалі dx. Якщо крива
розподілу p(x) відома, то можна визначити ймовірність попадання
результату спостереження в будь-який заданий інтервал х1, х2:

. (2.8)

Знаючи інтегральну функцію розподілу, ймовірність попадання результату
спостереження х у вказаний інтервал визначають різницею значень функції
розподілу на межах цього інтервалу:

P{x1n0 буде
виконуватись

, то для кожного значення хі буде справедливим

.

Оскільки випадкові величини більш-менш рівноймовірно розкидані відносно
математичного сподівання, то за оцінку математичного сподівання варто
взяти середнє арифметичне результатів спостережень.

Середнє арифметичне результатів окремих спостережень є незміщеною
оцінкою математичного сподівання випадкової величини і, отже, істинного
значення, бо його математичне сподівання не відрізняється від
математичного сподівання випадкової величини:

. Її значення визначимо як:

(2.44)

Отримана залежність відіграє важливу роль у вимірюваннях, бо вона
позволяє значно підвищити точність результату вимірювання за рахунок
багаторазового повторювання спостережень.

Дисперсія середнього арифметичного із n спостережень є в n разів меншою,
ніж дисперсія результатів одноразових спостережень. Для середнього
квадратичного відхилення середнього арифметичного отримаємо вираз:

(2.45)

наближається до нуля. Це значить, що середнє арифметичне низки
спостережень збігається за ймовірністю з математичним сподіванням та є
його оцінкою. Чи буде середнє арифметичне результатів спостережень
ефективною оцінкою математичного сподівання? Для цього необхідно
розглянути інші незміщені оцінки, що є лінійними функціями результатів
спостережень:

:

:

з дисперсією

є ще і ефективною оцінкою математичного сподівання.

За точкову оцінку дисперсії доцільно взяти середнє значення квадрата
відхилення випадкової величини від середнього значення

(2.46)

Така оцінка є обгрунтованою, але вона дещо зміщена, бо її математичне
сподівання

(2.47)

Тому точкову оцінку дисперсії визначають за такою формулою:

(2.48)

інколи називають емпіричною дисперсією.

Для точкової оцінки середнього квадратичного відхилення отримаємо вираз:

(2.49)

Ця оцінка характеризує збіжність результатів окремих спостережень, тобто
ступінь концентрації відносно середнього арифметичного. Якщо ?х
називають деколи середнім квадратичним, або стандартним, відхиленням
генеральної сукупності, то sx– вибірковим середнім квадратичним
відхиленням.

має дисперсію в n разів меншу, ніж дисперсія випадкової похибки. Тому
за точкову оцінку дисперсії середнього арифметичного приймають вираз:

(2.50)

Оцінка середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного
описується так:

(2.51)

результат вимірювання можна записати так:

,

до істинного значення Х.

9.7. Вірогідні інтервали для істинного значення вимірюваної величини

при невідомих параметрах розподілу результатів спостереження

Pозглянемо, як змінюється вірогідний інтервал при заданій вірогідності
при оцінюванні істинного значення середнім арифметичним результатів
спостереження.

.

, (2.52)

разів вужчий від інтервалу, визначеного за результатом одноразового
спостереження, хоча вірогідність для обидвох є однаковою. Це свідчить
про те, що збіжність росте пропорційно до кореня квадратного з числа
спостережень.

Значення похибки

(2.53)

називають вірогідною межею похибки результату вимірювань, а результат
вимірювання записується так:

(2.54)

Часто експериментатор перед початком вимірювань не знає значення
дисперсії результатів спостережень. Тоді параметри розподілу у вигляді
їх оцінок визначають безпосередньо із дослідних даних. Для цього
використовується співвідношення:

(2.55)

котре називають дробом Стьюдента (псевдонім В.С.Госсета). Величини, що
входять в цей вираз вираховуються на підставі дослідних даних, котрими є
точкові оцінки математичного сподівання і середнього квадратичного
відхилення результатів спостережень. Величина t має розподіл Стьюдента.
Взагалі, величина t (квантиль Стьюдента) має задовільняти такі умови:

; (2.56)

величини x та v є незалежними;

величина x розподілена нормально;

Пірсона з k степенями свободи.

При цих умовах щільність ймовірності величини t набуде вигляду:

, (2.57)

-функцію:

. (2.58)

Розподіл (2.57) величини t називають розподілом Стьюдента з k ступенями
свободи. Його функція розподілу позначається через S(t,k) і є
інтегралом:

. (2.59)

ступенями свободи.

:

,

або,

, (2.60)

є парною функцією аргумента t.

Виражаючи t через статистичні параметри розподілу інтегральної
величини, отримаємо:

. (2.61)

. Ці значення приведені в табл.Д.3 (Додаток 12)

. Підсумок вимірювання записується так:

(2.62)

, розподіл Стьюдента переходить в нормальний розподіл і формула (2.61)
приймає вигляд:

(2.63)

. Число спостережень, при якому це стає можливим, залежить від
фактичного розподілу випадкових похибок.

зовсім не передбачає вищу ймовірність перебування істинного значення
ближче до середнього арифметичного.

Вірогідний інтервал для середнього квадратичного відхилення за
емпіричними даними

розподілу. Щільність ймовірності такого розподілу описується таким
виразом:

, (2.64)

– гама функція.

– розподілу задаються у вигляді відсоткових точок інтегральної функції
розподілу

, (2.65)

—будь-яке задане додатнє число, що залежить від P .

, при котрому

Такий розподіл має величина

, (2.66)

-розподілу з вірогідним інтервалом

тобто, добуток числа ступенів свободи на відношення емпіричної дисперсії
до істинної.

= 0 і виглядає так:

. (2.67)

містяться в таблиці Д.4.(Додаток 12) іі визначаються для різної
кількості ступенів свободи k та ймовірностей P.

Знаючи межі вірогідного інтервалу для, легко перейти до вірогідних
інтервалів для дисперсії

(2.68)

Для середнього квадратичного відхилення межі можуть бути визначені із
такого виразу:

. (2.69)

середнього квадратичного відхилення результатів спостережень лежить в
інтервалі значень Sx1 і Sx2, отриманих на підставі дослідних даних. Ці
границі визначаються за формулами:

(2.70)

F(x)

P(x)

F(x)

0 Х x

1

0,5

0 Х x

a)

б)

Р{x10

Keкc=0

Keкc0

p(x)

Kac=0

Kac

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020