Вивчення таблиці множення за системою розвивального навчання
Множення є центральною темою програми 2 і 3 класів. На відміну від
традиційної програми воно розглядається як особлива дія, що пов’язана з
переходом у процесі виміру величин до нових мірок. Фактично з цією дією
діти працювали вже в першому класі при вивчені позиційних чисел. Однак
там вона не була зафіксована як особлива дія і не мала розвитку.
Тому вивчення множення у другому класі слід почати з аналізу ситуації,
коли вимірювана величина набагато більша за задану мірку; у зв’язку з
чим виникає необхідність використання допоміжної, проміжної міри. Одне з
чисел, що описує цю ситуацію, фіксує відношення допоміжної міри до
вихідної, друге – кількість допоміжних мір до величини, яка вимірюється
(“ по…взяти…разів”), третє –
відношення вимірюваної величини до вихідної міри. Логічним завершенням
аналізу цієї ситуації є введення ділення як дії, направленої на
визначення проміжної міри (“ділення на частини”) або числа таких мір
(“ділення за змістом”). Тим самим з’являється можливість установити
змістові зв’язки між множенням і діленням, а також змістовно
інтерпретувати відношення “більше (менше) в … разів”, “більше (менше) на
…”.
Як і при вивченні дій додавання і віднімання, вивчення
множення і ділення слід починати з розгляду цих дій у загальній
(абстрактній) формі за допомогою моделей. Мається на увазі, що при
вивченні множення в якості засобів моделювання повинні бути використані
не тільки лінійні, але й плоскісні схеми, а також забезпечений перехід
від графічних до символічних (буквених) моделей (формул). Оволодіння
вмінням будувати графічні моделі множення і ділення, виконувати перехід
від цих моделей до буквених форм й навпаки є однією з найважливіших
задач цього етапу навчання.
Особливу увагу в процесі цієї роботи передбачається приділити вивченню
властивостей множення – переставної, сполучної і розподільної (відносно
додавання і віднімання).
Розуміння предметного змісту множення та його властивостей дозволяє
суттєво перебудувати (порівняно з традиційною програмою) роботу з
таблицями множення (ділення). В основу цієї роботи покладена задача на
дослідження зв’язку між змінюваним множником і розрядною структурою
результату.
У зв’язку з цим змінюється “істотний” порядок вивчення таблиць. Має
сенс почати їх конструювання з тих, у яких вказаний вище зв’язок
виражений в найбільш явному вигляді (таблиці множення 9, 2, 5 і 6).
Таблиці множення 4, 8, 3 і 7 слід сконструювати, спираючись на
розподільну властивість множення відносно додавання і віднімання.
Оскільки пошук закономірності, що пов’язує результат із змінюваним
множником, для кожної таблиці представляє особливу задачу, виникає
можливість підтримання активного інтересу протягом всієї роботи.
У той же час, оскільки результати табличного множення стають прямим
продуктом дій учнів, складаються передумови для їх продуктивного
мимовільного запам’ятовування, що знімає необхідність у спеціальному
заучуванні таблиць.
Етапи роботи по вивченню таблиці 9.
Дітям пропонується скласти таблицю 9, спираючись на поняття про
множення, як суму однакових доданків:
9 х 0 = 0 – кожен наступний результат на 9 більше, ніж
9 х 1 = 9 попередній.
9 х 2 = 18 Примітка: 9 х 10 = 90 – це не табличний
приклад,
9 х 3 = 27 а варіант множення 9 на 1 десяток.
9 х 4 = 36
9 х 5 = 45
9 х 6 = 54
9 х 7 = 63
9 х 8 = 72
9 х 9 = 81
Спираючись на таблицю 9, діти вправляються у розв’язанні прикладів
типу:
9 х 2 = …
9 х 3 = 27
9 х 4 = …,
коли результат отримується шляхом додавання чи віднімання 9 від наданого
результату.
Багаторазово виконуючи ці вправи, дитина доходить висновку, що, навіть
забувши який-небудь результат табличного множення, але пам’ятаючи
сусідній, вона в змозі впоратися з задачею, знайти вірну відповідь
шляхом додавання або віднімання множника – “мірки”. Це вселяє в дитину
почуття впевненості у собі і знімає стресові ситуації під час виконання
завдання.
На окремому уроці дітям пропонується робота щодо пошуку “секретів”
таблиці 9. Діяльність організовується в групах.
У результаті обговорення діти відшуковують такі “секрети” таблиці 9:
сума числа десятків і числа одиниць у відповіді дорівнює
9: 18 — 1 + 8 = 9; 63 — 6 + 3 = 9; 81 — 8 + 1 = 9 и т.п.
якщо порівнювати відповіді, розташовані по порядку, то:
кількість десятків збільшується на 1;
кількість одиниць зменшується на 1
(18, 27, 36, 45, …);
у таблиці є парні “відзеркалені” результати: 18 і 81, 54 і 45, 27 і 72 і
т.п.
– 1
9 х 2 = 18 ( 1 + 8 = 9)
– 1
9 х 3 = 27 ( 2 + 7 = 9)
– 1
9 х 9 = 81 ( 8 + 1 = 9)
знаючи, що, наприклад, 9 х 4 = 36, можна знайти “сусідні” результати:
9 х 3 = 27 + 1
9 х 4 = 36
6) кожен наступний результат відмінний від попереднього на 9,а
9 = 10 – 1
9 х 5 = 9 х 4 + 1 дес. без 1
Аналізуючи знайдені “секрети”, діти приходять до висновку, що
найскладнішу таблицю – таблицю 9 запам’ятовувати немає потреби.
Потрібно:
1) уміти від множника, відмінного від 9 (крім випадку 9 х 9), відняти
одиницю;
2) знати склад числа 9.
Таким чином, створюється ситуація успіху на перших кроках роботи з
таблицею множення.
На наступних уроках дітям пропонується завдання, що мають метою
тренувати дітей у мимовільному запам’ятовуванні таблиці множення 9.
назвіть з результатів таблиці 9 найменше число; при множенні яких чисел
його можна отримати?
назвіть з результатів таблиці 9 найбільше число; при множенні яких чисел
його можна отримати?
назвіть з результатів таблиці 9 число, у якому 3 десятки і 6 одиниць,
при множенні яких чисел його можна отримати?
назвіть з результатів таблиці 9 число, в якому одиниць на 5 більше, ніж
десятків, при множенні яких чисел його можна отримати?
назвіть з результатів таблиці 9 число, в якому числа десятків і одиниць
– сусіди, при множенні яких чисел його можна отримати?
назвіть з результатів таблиці 9 число, у якому число одиниць вдвічі
менше за число десятків і т.п.
Завдання мнемічного напрямку, що створюють ситуацію для мимовільного
запам’ятовування таблиці 9:
1) ” 9 пухнастих цуценят з’їли 18 смачних цукерок. Від тих цукерок
залишилось 27 різнокольорових фантиків. Приповзло 36 мурашок і …”
малювання відповідей і прикладів з таблиці множення 9;
заучування таблиці 9 за допомогою пальців обох рук.
Гра “Пам’ятаю! Не пам’ятаю!” – запис тих табличних відповідей, що
запам’ятала дитина, в одну колонку (з прикладом); запис прикладу,
відповідь якого ще не запам’яталася учневі – у другу колонку.
Щоб забезпечити стійку мотивацію вивчення табличних випадків множення і
ділення, учням відразу ж пропонують приклади на множення багатоцифрових
чисел на одноцифрові. Дитина потрапляє в ситуацію, коли незнання таблиці
гальмує її рух уперед.
Е.І.Александрова пропонує в підручнику математики для 2 класу вправи
таких типів:
Визнач кількість цифр у добутку:
1824 9824 3852
___2 ___2_ ___4_
(Дитина, роблячи прикидку, 1824 3852
визначає, яким буде число ___2 ___4_
у відповіді і, рахуючи додаванням
кожен окремий випадок множення або користуючись таблицею, мимоволі
запам’ятовує табличні випадки множення);
Віднови пропущені цифри:
…….
____9
9
…….
____9
63
…….
____9
57
(Учні, виконуючи завдання, не тільки ще і ще раз повторюють таблицю
множення 9, але й готуються до теми, що викликає великі труднощі В
третьокласників традиційних класів “Ділення на багатозначне число”.
Заверши складання прикладів:
…… …….. ……..
___9 ____9 ____9
49 90 92
Де “пастка”?
При виконанні завдань з множення багатоцифрових чисел на 9, діти
“винаходять” спосіб перевірки результату множення шляхом віднімання
багатоцифрового множника від добутку цього числа і десяти:
3271 3271 32710 32710
____9 ___9_ 3271 3271
29439
29439
Завершуючи роботу над вивченням таблиці 9 (що триває десь протягом двох
тижнів), учні, розглядаючи таблицю множення, знаходять знайомі вже
результати у таблицях 2, 4, 3, 5, 6 і т.п., тим самим якби збільшуючи
кордони своїх знань і обмежуючи своє незнання.
Наступна таблиця, що пропонується учням, – це таблиця 2.
Наведу деякі етапи і прийоми роботи з вивчення таблиці 2.
На першому уроці учнями складається таблиця 2 і записується в порядку
зростання другого множника.
Прийоми складання таблиці:
підрахунок суми певних кількостей числа 2
2 х 1 = 2, 2 х 2 = 2 + 2 = 4 і т.п.);
знаходження результату з опорою на попередній;
знаходження результату з опорою на наступну відповідь
2 х 0 = 0
2 х 1 = 2
2 х 2 = 4
2 х 3 = 6
2 х 4 = 8
– – – – – – – – – – – – –
2 х 5 = 10
2 х 6 = 12
2 х 7 = 14
2 х 8 = 16
2 х 9 = 18
2. Спираючись на переставну властивість множення, учні пропонують
“легкий” спосіб віднаходження результатів:
2 х 3 = 3 х 2 = 6
2 х 9 = 9 х 2 = 18
Діти, пам’ятаючи цікаві моменти в роботі над таблицею 9, самі пропонують
відшукати “секрети” в новій таблиці, тим самим ініціюючи роботу із
запам’ятовування (підкреслюю – мимовільного) таблиці множення.
Ось “секрети”, знайдені учнями:
Таблиця множення ділиться навпіл, кількість одиниць у відповідях першої
половини таблиці співвідноситься з кількістю одиниць відповідей другої
половини.
Тут же пропонується дітям записати таблицю 2, поділивши її на дві
частини:
2 х 0 = 0 2 х 5 = 10
2 х 1 = 2 2 х 6 = 12
2 х 2 = 4 2 х 7 = 14
2 х 3 = 6 2 х 8 = 16
2 х 4 = 8 2 х 9 = 18
Число одиниць у відповідях збігається, але в другій половині таблиці
всі результати на 1 десяток більші.
Спираючись на сполучну властивість множення, порівнюючи приклади першої
і другої половин таблиці, учні доходять висновку:
2 х 2 і 2 х 7 = 2 х 2 + 2 х 5
10
2 х 4 і 2 х 9 = 2 х 4 + 2 х 5
10
Отже, діти, яким це цікаво, виконуючи приклад табличного множення 2,
можуть міркувати так:
“ 2 х 8 – це 2 х 5 і 2 х 3, або 10 і 6, разом 16”.
Урок, присвячений пошуку “секретів” таблиці 2, мав підсумок: 80 % учнів
на уроці вже вивчили таблицю 2.
На наступних уроках знов пропонуються вправи, спрямовані на спонукання
до мимовільного заучування таблиці (вони описані в розповіді про роботу
над таблицею 9).
Е.І.Александрова пропонує вправи на зв’язок множення і ділення:
З чисел від 0 до 90 випиши ті, що:
а) діляться на 9;
б) при діленні на 9 у залишку дають 1(2, 3, …8);
в) діляться на 2 (без залишку).
Постав знак рівності, запиши, на скільки один добуток відрізняється від
іншого.
Підрахуй добутки і запиши їх:
2 х 6 2 х 7 на _______
2 х 8 2 х 9 на _______
2 х 4 2 х 3 на _______
5 х 2 5 х 2 на _______
4 х 2 5 х 2 на _______
7 х 2 9 х 2 на _______
2 х а 2 х (а + 1) на _______
2 х (а – 2) 2 х (а – 1) на _______
По схемі придумай приклади і розв’яжи їх:
…….. ………
_____ ______
Упродовж тижня двом дітям пропонується порівняння двох таблиць – 9 і
2.
Робота над таблицею 2 завершується відшукуванням у таблицях 3, 4, 5, 6,
7 і 8 результатів таблиці 2.
4
6
u
6
¶ I ^!?!P”O”e”th” #/iaUeNNAE3/43/43/43/4?§§§§§§§
&
,H,J,oooeooooaaeOEE3/43/4oEaaEa
&
&
&
&
&
???????
????????????.
??????????
??????????
GuuuoeeeeeeeeeeeYIA··
&
&
G?G?G¤G¦G(I?IRJaeJeL\MOM–NOeN,OzOOODPXPoeoeoeninnaUUU?Ae?«???
&
gdp&U
&
&
????????????L
??????
bVbXbAb,c–cooeeaaaaaaaaaOEEEOEEEEE
&
&
‹&‹<‹R‹oooooeoooaaaaOoooooooooo
&
F
&
6 Вивчивши таблицю 2, другокласники знайомляться з поняттям “ділення із
залишком”. Це знання знадобиться при роботі з таблицею 5.
Деякі зауваження щодо роботи з таблицею 5:
На окремому уроці, присвяченому знайомству з таблицею 5, діти відомими
раніш способами, по порядку складають і записують таблицю 5 у стовпчик:
5 х 0 = 0
5 х 1 = 5
5 х 2 = 10
5 х 3 = 15
5 х 4 = 20
5 х 5 = 25
5 х 6 = 30
5 х 7 = 35
5 х 8 = 40
5 х 9 = 45
Ще, складаючи таблицю, учні, що пізнали смак пошукової роботи під час
аналізу таблиць 9 і 2, зауважують на “секрети” таблиці 5:
У відповідях таблиці 5 чергуються числа одиниць – 0 і 5;
У двоцифрових відповідях повторюється число у десятках (10, 15; 20, 25;
30, 35; 40, 45);
При множенні 5 на парне число отримуємо результат, що закінчується
нулем;
При множенні 5 на непарне число маємо відповідь що закінчується числом
5;
За парністю-непарністю результату таблиця 5 поділяється на 2 половини:
5 х 0 = 0 5 х 1 = 5
5 х 2 = 10 5 х 3 = 15
5 х 4 = 20 5 х 5 = 25
5 х 6 = 30 5 х 7 = 35
5 х 8 = 40 5 х 9 = 45
Тепер третьокласники аналізують кожну частину таблиці 5 окремо.
У результаті групового обговорення учні знаходять такі закономірності:
– число десятків у відповіді вдвічі менше множника, відмінного від 5:
5 х 2 = 10 5 х 4 = 20 5 х 6 = 30
: 2 : 2
: 2
(це у випадках із парним множником).
Якщо ж другий множник – число непарне, то діти, знаючи про існування
ділення з остачею, зауважують, що:
число десятків у відповіді також вдвічі менше за множник, відмінний від
5;
при діленні множника, відмінного від 5 (да і 5 у випадку 5 х 5) завжди
буде залишатися 1 одиниця:
5 х 3 = 15 3 : 2 = 1 (ост. 1)
: 2
5 х 5 = 25 5 : 2 = 2 (ост. 1)
: 2
5 х 7 = 35 7 : 2 = 3 (ост. 1)
: 2
Таким чином, діти знаходять спосіб множення будь-якого числа на 5:
8 х 5
8 – число парне, тому в одиницях буде число 0;
8 : 2 = 4, з цього слідує, що в десятках буде число 4;
отже, 5 х 8 = 40
: 2
5 х 7
7 – число непарне, тому в одиницях буде число 5;
7 : 2 = 3 (ост. 1), це значить, що в десятках буде число 3:
отже, 5 х 7 = 35
: 2
До цих пір учні працювали з таблицею множення, записаній у вигляді
стовпчиків, де кожен множник на одиницю відмінний від попереднього.
Робота з таким записом таблиці множення була необхідна для того, щоб
діти мали змогу якнайкраще аналізувати усі взаємозв’язки у таблицях
множення 9, 2 і 5.
Але самі діти, пам’ятаючи роботу зі складання таблиці – довіднику на
додавання, зустрічаючись із таблицею Піфагора у довідковій літературі,
ставлять перед учителем і класом задачу на складання таблиці – довідника
на множення.
Дітям пропонується скласти таку таблицю (її заготовку) у групах. Тут
з’являються різні варіанти упорядкування результатів:
___1__2__3__4_….
1
…
2
5
3
4
4
3
…
2
1
… 5 4 3 2
1
…
5 …. 5
4 3 2 1
4
1
3
2
2
3
1
4
1 2 3 4 5 ….
5
…
Після аналізу усіх запропонованих варіантів, учні доходять висновку:
починати заповнювати таблицю зліва праворуч і зверху вниз зручніше
людям, що пишуть правою рукуою, і представникам європейської
цивілізації, що читають зліва направо;
результат множення на 1 і множення одиниці розглядати немає сенсу.
Діти на окремих картоних аркушах замальовують заготівку для таблиці
Піфагора:
2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
Організується мотивована робота з повторенню вивчених випадків таблиці
множення – заповнення таблиці Піфагора.
Спочатку заповнюємо крайні клітинки (результати таблиці 2 і 9), потім –
середні результати (відповіді таблиці 5). Знов і знов аналізуємо зв’язок
між множниками і числами у результаті. Обігрується порядок заповнення
таблиці. Аналізується попередня робота по вивченню таблиці.
Етапи заповнення таблиці Піфагора:
1 урок
2 3 4 5 6 7 8 9
2 18
3 27
4 36
5 45
6 54
7 63
8 72
18 27 36 45 54 63 72 81
2 урок
2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 27
4 8 36
5 10 45
6 12 54
7 14 63
8 16 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
3 урок
2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 15 27
4 8 20 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 30 54
7 14 35 63
8 16 40 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Учні, заповнюючи таблицю Піфагора, заінтриговані зовнішньою стороною
цієї роботи, хочуть з’ясувати, чому так відбувається. Знов і знов
організовується робота щодо аналізу таблиці множення.
Другокласники прагнуть позбутися “білих плям” у таблиці Піфагора. Вони
пропонують продовжити роботу з вивчення таблиць множення. Зупиняємо
вибір на таблиці 6.
Фрагменти роботи з таблицею 6:
Складання таблиці 6 різними способами (цю роботу ініціюють самі діти):
6 х 0 = 0
6 х 1 = 6
6 х 2 = 12
6 х 3 = 18
6 х 4 = 24
6 х 5 = 30
6 х 6 = 36
6 х 7 = 42
6 х 8 = 48
6 х 9 = 54
Порівняння з іншими таблицями:
Скільки прикладів у наведеній таблиці?
Чи всі дев’ять запропонованих прикладів треба вивчити?
(З’ясовується, що випадки 6 х 2 6 х 5 6 х 9, використовуючи
переставну властивість множення, заучувати не треба; а 6 х 0 і 6 х 1
труднощів не викликають).
Отже, запам’ятовуючи таблицю 6, діти мають вивчити лише 4 приклади.
Знов організується робота в групах по пошуку “секретів” таблиці 6:
6 х 2 = 12 6 х 6 = 36
6 х 4 = 24 6 х 8 = 48
При озвучуванні цих прикладів відчувається рима:
“шість на чотири – двадцять чотири”,
“шість на шість – тридцять шість”,
“шість на вісім – сорок вісім ”,
“шість на два…….. і діти пропонують:”
“…..десять два ”.
У розряді одиниць результатів зустрічаються тільки парні числа;
У відповідях спостерігаються повторення цифр в одиницях:
6 —- 36 24 —- 54
12 —– 42 18 —- 48
Таким чином, таблиця 6 поділяється навпіл:
6 х 0 = 0 6 х 5 = 30
6 х 1 = 6 6 х 6 = 36
6 х 2 = 12 6 х 7 = 42
6 х 3 = 18 6 х 8 = 48
6 х 4 = 24 6 х 9 = 54
Приклади (попарно) першого і другого стовпчиків відрізняються числом
десятків (на 30 більше, на 3 десятки, або на 6 х 5).
Отже, дитина може розмірковувати так:
6 х 9 = 6 х 4 + 6 х 5 = 24 + 30 = 54.
Пропонується робота по порівнянню результатів різних таблиць.
Діти виконують вправи, направлені на мимовільне запам’ятовування,
описані в роботі з таблицею 9, на матеріалі усіх вивчених таблиць.
Результати таблиці множення 6 заповнюються у порожні клітинки таблиці
Піфагора.
Діти аналізують обсяг вивченого в таблиці Піфагора і встановлюють межі
свого незнання. Рахують кількість незаповнених клітин і ділять це число
на 2 (спираючись на переставну властивість множення). Створюється
ситуація успіху: “Я вже багато знаю, знаю найскладніше в таблиці!”
Е.І.Александрова в підручнику математики пропонує вправи, що
сприятимуть успішному засвоєнню таких випадків табличного множення:
Знайди перший добуток, потім, спираючись на нього, другий:
5 х 4 =
5 х …= … +… =
Знайди добуток, який легко підрахувати по даному:
8 х 5 =
…х 5 = …+ …. =
Обчисли результат, використовуючи два різних вихідних приклади:
9 х 5 = … + … = 9 х 5 = … + … =
Вивчені таблиці множення 4 і таблиці множення 8 розглядається через
таблицю множення 2. Тема не викликає непорозумінь ще й тому, що так
довго працюючи з таблицею, учні вже її майже знають напам’ять. Та й
прикладів для заучування таблиць 4 і 8 залишилося зовсім мало:
у таблиці 4:
4 х 3 4 х 7
4 х 4 4 х 8
у таблиці 8:
8 х 3 8 х 7 8 х 8
Діти, працюючи одночасно з таблицями 8 і 4, вказують на закономірність:
“помножити на 8 – це помножити на 4, а потім на 2”,
“помножити на 4 – це помножити на 8, а потім узяти половину”.
Працюючи з таблицею множення 3, третьокласники, що
3 х 0 = 0 захоплені роботою відшукування “секретів”,
3 х 1 = 3 стають у ситуацію, коли всі попередні способи
3 х 2 = 6 не працюють. Учитель, запевняючи, що “секрет”
3 х 3 = 9 все ж таки є, активізує учнів до відкриття
власти-
3 х 4 = 12 вості ділення числна на 3: “Сума цифр
результату
3 х 5 = 15 множення на 3 завжди ділиться на 3 без остачі:
3 х 6 = 18 3 х 8 = 24 2 + 4 = 6 6 : 3 = 2
3 х 7 = 21 3 х 5 = 15 1 + 5 = 6 6 : 3 = 2 ”
3 х 8 = 24
3 х 9 = 27
Результати таблиці множення 4, 8 і 3 вписуються в порожні клітини
таблиці Піфагора. Учні з подивом відзначають, що таблицю множення 7
вчити не треба, варто лиш запам’ятати, що 7 х 7 = 49.
Отже, вивчаючи таблицю множення за програмою розвивального навчання,
діти дізнаються про різні та цікаві методи вивчення таблиці.
Багаторазово виконуючи вправи, вони приходять до висновку, що навіть
забувши який-небудь результат табличного множення, вони в змозі
впоратися із задачею, знайти правильну відповідь шляхом додавання або
віднімання множника, користуючись таблицею Піфагора.
ЛІТЕРАТУРА
Давыдов В,В, Теория развивающего обучения [Текст] / В.В. Давидов. – М.:
ИНТОР, 1996. – 544 с.
Державний стандарт початкової загальної освіти // Початкова освіта. –
2006. – № 2. – С.2-31.
Дусавицький А.К. Развивающее образование: теория и практика: статьи
[Текст] / А. К. Дусавицький. – Х., 2002. – 146с.
Дусавицький А.К. Урок в системе развивающего обучения [Текст] /
А.К.Дусавицький, Е.М. Кондратюк, И.Н. Толмачева, З.И. Шилкунова. – М.:
Вита-Пресс, 2008. – 288с.
Книга вчителя початкової школи: Довідково-методичне видання /Упоряд.
Г.Ф.Древаль, А.М.Заїка. – Харків: Торсінг Плюс, 2005. – 688 с.
Програми для середньої загальноосвітньої школи. 1-4 класи. – К.:
Початкова школа, 2006. – С.88-116.
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter