Лабораторна робота
з Теорії прийняття рішень
на тему:
“Теорія ігор”
Розглянемо ситуацію вступу України до Європейського Союзу. Таким чином,
гравцями в будуть виступати Україна зі стратегіями Х1 та Х2 і ЄС зі
стратегіями У1, У2, У3. Україна визначила вступ до ЄС за свій
пріоритетний вектор у зовнішній політиці. Однак на шляху до його
реалізації певною мірою стоїть Росія. Тобто маємо дві стратегії
поведінки: рухатися в Європу самостійно (Х1) , або ж синхронно із РФ
(Х2). У такій ситуації Європейський Союз може поводитися трьома різними
шляхами:
y1 – заблокувати процес вступу України в ЄС
y2 – максимально сприяти Україні на її шляху в ЄС
y3 – тягнути час, реагуючи на конкретні особливості поточної ситуації
Отже, отримуємо таку матрицю ігор для двох гравців з чистими
стратегіями:
y1 y2 y3
min max
x1 6 4 5
4 4
x2 4 3 2
2
max
6 4 5
min
4
Верхня та нижня ціна гри:
= 4
= 4
= 4.
Це означає, що у випадку, коли Україна вирішить самостійно рухатись до
Європейського Союзу, то їй будуть максимально сприяти. Справді, РФ та її
політичні, економічні реалії і стиль поведінки на міжнародній арені
часто просто дратують західних партнерів, а тому вони не дуже охоче
реагують на українські намагання час-від-часу дослухатися до точки зору
Росії.
Прорахуємо ще раз всю систему з урахуванням ймовірностей обрання тієї чи
іншої стратегії:
Ймовірність
0,33 0,33 0,33
У1 У2 У3
min max
0,8 Х1 1,584 1,056 1,32
1,056 1,056
0,2 Х2 0,264 0,198 0,132
0,132
max 1,584 1,056 1,32
min
1,056
Сідловою точкою цього разу є {1,2}, обрахована за таким же принципом, що
і у попередньому пункті.
Графічний метод
Таким чином, ординати точок, що належать ламаній Y2NY3’ визначають
мінімальний виграш гравця 1 при застосуванні ним будь-якої зі змішаних
стратегій. Ця мінімальна величина є максимальною в точці N, отже цій
точці відповідає оптимальна стратегія, а її ордината дорівнює ціні гри.
Координати точки знаходимо як точку перетину прямих Y2Y2’ та Y3Y3’.
Відповідні два рівняння мають вигляд:
Отримуємо розв’язок:
х = 0,5
= 2,5 – ціна гри.
Ігри з природою
Розглянемо наступну ситуацію. Німецька делегація поїхала на переговори з
приводу виплати грошових компенсацій колишнім остарбайтерам. Залежно від
того, яку позицію займе Україна (К1 або К2), німці оберуть одну зі
стратегій А1, А2, А3, А4 і перерахують відповідну суму грошей.
K1 K2
A1 -200 -500
A2 -250 -400
A3 -300 -360
A4 -430 -430
Критерій Вальда.
K1 K2 max min
A1 -200 -500 -500
A2 -250 -400 -400
A3 -300 -360 -360 -360
A4 -430 -300 -430
Якщо дотримуватися третьої стратегії, то витрати не перевищать 360 млн.
дол. Обране таким чином рішення цілком виключає ризик. Тобто ОПР не може
отримати результат, гірший за той, на який ми орієнтуємось (360 млн.
дол.).
Максимаксний критерій.
Найбільш сприятливий випадок:
K1 K2 max max
A1 -200 -500 -200 -200
A2 -250 -400 -250
A3 -300 -360 -300
A4 -430 -300 -300
Vm= maximaxj aij = – 200 од.
Це означає, що якщо гравець 1 буде бездіяльним, то витратить не менше
100 млн. дол.
Критерій Гурвіца.
Ступінь оптимізму
Рішення 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
A1 -470 -440 -410 -380 -350 -320 -290* -260* -230*
A2 -385 -370 -355 -340 -325* -310* -295 -280 -265
A3 -354* -348* -342* -336* -330 -324 -318 -312 -306
A4 -417 -404 -391 -378 -365 -352 -339 -326 -313
Для кожного рішення ми визначили лінійну комбінацію min i max виграшу і
взяли ту стратегію, для якої ця величина виявилася найбільшою:
VH= maxi [?*maxj aij + (1- ?) minjaij]
Де ? – ступінь оптимізму, 0? ? ? 1 . При ?=0 критерій Гурвіца є тотожним
з критерієм Вальда, а при ?=1 – з максимаксним критерієм.
Критерій Севіджа.
B1 B2 B3 B4
max min
A1 0 200 200
A2 50 100 100 100
A3 100 60 100 100
A4 230 0 230
Критерій Лапласа
Для знаходження оптимального рішення за допомогою критерія Лапласа
скористаємось наступним твердженням: наскільки невідомі майбутні стани
природи, настільки можна вважати їх рівно ймовірними. При вирішенні
задачі для кожного рішення підраховуємо математичне очікування виграшу і
обираємо те рішення, при якому величина виграшу буде максимальною:
VL = maxi ? 1/n aij = 1/n maxi ? aij.
Рішенням розглянутого прикладу за критерієм Лапласа є друга стратегія:
max
A1 -350
A2 -325 -325
A3 -330
A4 -365
Критерій Байєса-Лапласа
Критерій Байєса-Лапласа враховує кожен із можливих наслідків всіх
варіантів рішень. Припустимо, що стани природи загалом можуть
відповідати двом варіантам. Виходячи із цього, можна приписати
ймовірність настання першого стану природи yj=0,7 та другого – yj=0,3.
Загальна формула виглядатиме наступним чином: VBL = maxi ? aij * yj .
Стратегії
? aij * yj
A1 -290 -290
A2 -295
A3 -318
A4 -391
Критерій Ходжа-Лемана.
Критерій Ходжа-Лемана базується одночасно на критеріях Вайльда і
Байєса-Лапласа. Правило вибору, що відповідає цьому критерію,
формулюється так: матриця рішень доповнюється ще одним стовпчиком,
складеним із середніх зважених математичного очікування і найменшого
результату кожного рядка. Відбирається той варіант, у якого стоїть
найбільше значення цього стовпчика.
Стратегії Б.-Л. K1 K2
A1 -290 -200 -500 -245
A2 -295 -250 -400 -272,5
A3 -318 -300 -360 -309
A4 -391 -430 -300 -345,5
PAGE
PAGE 2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
