Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність (реферат)

Знакозмінні та знакопостійні ряди.

Абсолютна та умовна збіжність.

План.

Означення закономірного ряду.

Теорема Коші.

Абсолютна та умовна збіжність.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі:
В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992
р. ст. 16-19.

де q – стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.

то ряд розбігається.

Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із
спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що
нерівність

характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з
геометричною прогресією.

, отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова
збіжності не виконується.

, то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний. Доведення. ), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку: отже, ряд розбігається. Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему. буде: Але тоді й поготів Але це й доводить теорему. Розглянемо, наприклад, ряд (1) Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд (2) є знакододатний. Порівнюючи його з рядом (3) маємо , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним. і т.п. розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним. умовно збіжний, умовно збіжний, бо ряд Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. План. Означення знакочергуючого ряду. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца. Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19. Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду: - додатні числа. , причому запишемо її в двох різних виглядах: . монотонно зростає при збільшенні К. З другого боку обмежена зверху. , при чому ця границя, очевидно, більша за а1 – а2 і не перевищує а1: < а1. O ? P & ?? ?? < а1. +1, маємо: + а2к+1. Отже, Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя: (0 < S < a1), коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему. Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів: , і має знак цього члена. Доведення. Маємо: , Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому , , представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів. Диференціювання та інтегрування степеневих рядів. План. 1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування. Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23. Диференціювання степеневих рядів. Теорема. Якщо степеневий ряд (1) має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд , (2) . , ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно. Для цього, досить виявити збіжність ряду (3) що відіграватиме роль мажоруючого ряду. , маємо , . Застосуємо до ряду (4) ознаку Даламбера: . р’. Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р. Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд , , то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже, . Теорему доведено. Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду. Інтегрування степеневих рядів. Теорема. Степеневий ряд (5) з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р): (6) і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *