Реферат на тему:
Знаходження екстремуму функції
від багатьох змінних
).
маємо такі необхідні умови екстремуму:
(6.3)
Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.
полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь
,
, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.
Означення.
(6.4)
.
.
.
Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох
змінних.
Теорема (без доведення).
і f(x(x0,y0)= f(y(x0,y0)=0. Нехай A= f((xx(x0,y0), B = f((xy(x0,y0)
та C = f((yy(x0,y0) неперервні. Тоді при ( = AC-B2 > 0 у точці
(x0,y0) функція має екстремум (при A0 – мінімум ).
При ( = AC-B20,
A=6>0.
Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .
Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n
(n>2) змінних y=f(x1…xn).
Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю
Гессе).
.
) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де
;
;
………………………….
(6.5)
.
Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо
M1>0, M20,…,(-1)nMn>0.
У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною
тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.
Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли
всі її власні числа є від’ємними.
Теорема .
.
) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A0,
…) – максимум.
Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення
функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється
від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі
“Математичне програмування”.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter