Зчисленні множини (реферат)

РЕФЕРАТ

на тему:

Зчисленні множини

Множина A рівнопотужна множині N натуральних чисел називається
зчисленною (зліченною) множиною.

Іншими словами, зліченна множина A — це така множина, всі елементи якої
можна занумерувати числами 1,2,3,…, тобто можна вказати спосіб, за
яким першому елементу множини A ставиться у відповідність число 1,
другому — число 2, третьому — число 3 і т.д. Отже, будь-яку зліченну
множину A можна подати у вигляді A = {a1,a2,a3,…,an,…}.

Неважко переконатись, що множини квадратів натуральних чисел, усіх
парних чисел, усіх непарних чисел, чисел кратних деякому числу k, чисел,
які закінчуються парою цифр 00 тощо є зліченними множинами.

Перейдемо до вивчення властивостей зліченних множин.

Теорема 1.2. Будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину.

Доведення. Оскільки M нескінченна множина, візьмемо два елементи a1,b1(M
(a1(b1). Очевидно, множина M\{a1,b1} є нескінченною множиною. Тоді
візьмемо наступні два нові елементи a2,b2(M \{a1, b1} (a2(b2 ) і т.д.
Таким чином, ми виділимо з множини M дві зліченні множини
A={a1,a2,…,an,…}(M і B={b1,b2,…,bn,…}(M. Це дозволяє підсилити
формулювання теореми. А саме: будь-яка нескінченна множина M містить
зліченну підмножину A і при цьому множина M \ A є нескінченною множиною
(оскільки B (M \ A).

Теорема 1.3. Будь-яка підмножина зліченної множини є або скінченною, або
зліченною множиною.

Доведення. Нехай A={a1,a2,…,an,…} — зліченна множина і B(A. Отже,
B={a1,a2,…,ak,…} і можливі дві ситуації: або послідовність у
фігурних дужках уривається на деякому елементі, тоді B — скінченна
множина, або послідовність у дужках нескінченна, для якої, встановлюючи
відповідність (l,al), l(N, одержуємо, що B — зліченна множина.

З теорем 1.2 і 1.3, зокрема, випливає, що зліченні множини є до певної
міри найпростішими нескінченними множинами, бо, з одного боку, вони
містяться в будь-якій нескінченній множині, а з другого — містять в собі
тільки скінченні множини, або нескінченні множини, які є зліченними.

Теорема 1.4. Об’єднання скінченної або зліченної сукупності зліченних
множин є зліченною множиною.

Доведення. Розглянемо спочатку скінченну сукупність зліченних множин
{A1,A2,…,Ak}, де Ai={a1i,a2i,…,ani,…}, i=1,2,…,k. Запишемо всі
елементи множин A1,A2,…,Ak в рядок таким чином:
a11,a12,…,a1k,a21,a22,…,a2k,…,an1,an2,…,ank,….

Перенумеруємо записані елементи в порядку їх розташування в рядку. При
цьому елемент, який вже одержав свій номер і повторно з’являється в
рядку, з подальшої нумерації вилучається. В результаті кожен елемент
об’єднання одержить свій номер, що і потрібно було довести.

У випадку зліченної сукупності множин Ai={a1i,a2i,…,ani,…},
i=1,2,…, перепишемо всі елементи множин Ai у такому порядку:
a11,a12,a21,a13,a22,a31,a14,a23,a32,a41,….

Принцип переписування елементів множин A зображений за допомогою
стрілок на рис.1.4.

a11, a21, a31, …, an1,…. A1

( (

a12, a22, a32, …, an2,…. A2

( (

a13, a23, a33, …, an3,…. A3

(

a14, a24, a34, …, an4,…. A4

……………………………..

Рис. 1.4.

Далі проводимо міркування аналогічні випадку скінченної сукупності
множин. Теорему доведено.

З теореми 1.4 випливає низка цікавих наслідків.

Наслідок 1.4.1. Множина Z всіх цілих чисел зліченна.

Справді, подамо множину Z у вигляді Z = N ( {0} ( N'(, де N'( = {
-1,-2,-3,… } — множина від’ємних цілих чисел, яка, очевидно, є
зліченною.

Числова множина W називається щільною, якщо для будь-якої пари чисел
a,b(W (a

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *