Збурення псевдообернених та проекційних матриць (реферат)

Реферат на тему:

Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу
розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою
подальшого використання при розв’язанні задач ідентифікації,
нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.

, збурену матрицю

,

збурену псевдообернену матрицю

,

збурену проекційну матрицю

,

а також наступну проекційну матрицю

.

.

.

відповідно, тобто

. (2.1)

визначається наступною теоремою.

, виконуються умови (2.1), то

.

, їхній вид визначається наслідками з теореми 1.

Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то

. (2.2)

Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно

.

Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то

. (2.3)

Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і

,

, то

. (2.4)

Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і
співвідношень

.

, тобто

. (2.5)

Тут має місце наступна теорема [8].

виконуються умови (2.5), то

(2.6)

де

.

, то

, (2.7)

де

. (2.8)

Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

, (2.9)

визначається по формулі (2.8).

Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень

.

Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

. (2.10)

.

, тобто

(2.11)

і при цьому

. (2.12)

У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно
наступної теореми.

виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення

, (2.13)

. (2.14)

Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то

. (2.15)

,

де використані властивості

,

( відповідно до (2.11) ),

( відповідно до (2.12) ).

Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то

, (2.16)

визначається по формулі (2.14).

При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.

має наступну псевдообернену матрицю

. (2.17)

Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій
матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї
деякого її стовпця або рядка.

Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11)

але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто

. (2.18)

Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова

. (2.19)

виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення

, (2.20)

Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна
задовольняти псевдообернена матриця.

Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то

. (2.21)

Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то

.(2.22)

Довести останню формулу можна наступним чином

.

, то

, (2.23)

, (2.24)

, (2.25)

. (2.26)

наслідку 4 і 5.

. В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати
поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні
матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці
використовуються добре відомі формули Гревіля [5]

, тоді

, (2.27)

, (2.28)

(2.29)

, то

, (2.30)

, (2.31)

. (2.32)

останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають
наступні зміни

при

, (2.33)

де

, (2.34)

, (2.35)

, (2.36)

, (2.37)

b) при

, (2.38)

, (2.39)

, (2.40)

, (2.41)

, тобто

, (2.42)

а умова (2.38) – відсутність зниження рангу

, (2.43)

Наведемо доведення формули (2.35). Якщо

одержимо

,

і, відповідно до (2.17)

,

,

.

Тут використані співвідношення

.

Подібним чином доводиться і формула (2.37).

відповідно до (2.30)

і з рівняння

одержимо

.

Формули (40) і (41) доводяться простим використанням формули (2.39).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *