РЕФЕРАТ
на тему:
Загальні теореми множення й додавання ймовірностей
ПЛАН
Додавання ймовірностей несумісних подій
Ймовірність добутку незалежних подій
Додавання ймовірностей довільних подій
Ймовірність настання хоча б однієї події
Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій
Приклади розв’язання типових задач.
Список використаної літератури
1. Додавання ймовірностей несумісних подій
Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі
ймовірностей цих подій:
(1)
є об’єднанням будь-якого скінченого числа несумісних подій:
, (2)
, дорівнює одиниці. Тобто
,
Звідси
(формула ймовірності протилежної події);
2. Ймовірність добутку подій
називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не
залежить від появи, чи не появи іншої. У протилежному випадку вони
називаються залежними.
– незалежні події. Тоді ймовірність одночасної появи цих подій
дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
. (2)
3. Формула суми ймовірностей довільних подій
Ймовірність появи хоча б однієї із двох довільних подій дорівнює сумі
ймовірностей цих подій без ймовірностей їх довільної появи:
. (3)
Дана формула може бути узагальнена на будь-яке скінчене число сумісних
подій. Наприклад, для трьох сумісних подій
.
4. Ймовірність настання хоча б однієї події
:
. (4)
подій мають однакову ймовірність, то ф-ла (4) має вигляд:
. (5)
5. Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій
З формул
. (5.3)
. (5.4)
для обчислення умовної ймовірності безпосередньо випливають теореми
множення ймовірностей.
Теорема 1. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності
однієї з них на умовну ймовірність другої при умові, що відбулась перша,
тобто
. (5.5)
Методом математичної індукції теорема 1 поширюється на довільне число
співмножників.
справедлива формула
. (5.6)
Якщо події незалежні, то теорема множення набуває вигляду:
Теорема 3. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх
ймовірностей, тобто
. (5.7)
справедлива рівність
(5.8)
. (5.9)
Очевидно, що події незалежні в сукупності є також попарно незалежними.
Для незалежної сукупності подій теорема множення ймовірностей набуває
вигляду:
. (5.10)
6. Приклади розв’язання задач за допомогою даних теорем
Приклад 1. На полиці у випадковому порядку розставлено 15 книжок,
причому 6 з них з математики. Навмання беруть три книжки. Знайти
ймовірність того, що серед них хоч одна книжка з математики.
Розв’язання.
:
Отже,
:
.
Приклад 2. Ймовірність появи деякої випадкової події у першому
випробовуванні – 0.9, у другому – 0.8, у третьому – 0.7. Яка ймовірність
того, що при трьох випробовуваннях подія з’явиться:
1) тільки один раз;
2) тільки два рази;
3) принаймі один раз;
4) жодного разу.
. За умовою задачі
.
Отже,
1. Ймовірність того, що подія наступить один раз при трьох
випробуваннях:
.
2. Ймовірність того, що подія наступить тільки два рази при трьох
випробуваннях:
.
3. Ймовірність того, що подія наступить принаймі один раз в трьох
випробуваннях:
.
.
Приклад 3
В ящику знаходиться 7 деталей вищого та 4 деталі першого гатунку.З ящика
навмання витягують 4 деталі . Знайти ймовірності подій
1)серед них менше двох деталей вищого гатунку ;
2)хоча б одна деталь першого гатунку .
Розвязання .
Розглянемо події
А={не менше двох деталей вищого гатунку },
В={хоча б одна деталь першого гатунку},
={усі деталі першого гатунку},
={лише одна деталь вищого гатунку},
={лише дві деталі вищого гатунку},
={лише три деталі вищого гатунку},
={чотири деталі вищого гатунку}.
Знайдено ймовірність події А .
Очевидно ,
Тому простіше знайти спочатку Р (?А ), а потім Р(А).
За класичним визначенням ймовірності
Тому
Тоді
.
Знайдемо ймовірність події В .
Очевидно,
.
Тому
Приклад 4. Задано множину цілих чисел ? = ={1,2,…,30}. Навмання з цієї
множини беруть одне число . Яка ймовірність того , що воно виявиться
кратним 5 або 7 ?
Розвязання. Простір ? містить n=30 елементарних подій . Позначимо через
А подію , що полягає в появі числа , кратного 5 , а через В у появі
числа , кратного 7 .Тоді дістанемо :
=6 ;
=4 ;
А ? В = ?
Згідно з (1) маємо:
Приклад 5. В урні містяться 20 однакових кульок які пономеровані від 1
до 20 . Навмання із урни беруть одну кульку . Яка ймовірність того , що
номер кульки виявиться кратним 3 або 5 ?
= 4 – появу кульки із номером , кратним 5 .
Подія: А і В є сумісними подіями.Їх перетин А ? В = (15).
Згідно з (3.) дістанемо
.
Список використаної літеатури
Калемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория
вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
Теорія ймовірностей і математична статистика / Г.Я.Стопень, В.Б.
Рудницький і т.д., Хмельницький, ТУП, 2001
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.:Наука, 1987.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter