Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей. Хімічні задачі (реферат)

Реферат на тему:

Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей. Хімічні задачі

Розглядаючи задачі на складання рівнянь, зупинимося насамперед на ті,
рішення яких зв’язано з використанням понять «концентрація» і
«процентний зміст». Звичайно в умовах таких задач мова йде про складання
сплавів, чи розчинів сумішей двох чи декількох речовин.

Основні допущення, як правило, прийняті в задачах подібного роду,
полягають у наступному:

а) усі сплави, що виходять, чи суміші однорідні;

тобто

складається з обсягів чистих компонентів:

а три відносини,

показують, яку частку повного обсягу суміші складають обсяги окремих
компонентів:

(*)

називається об’ємною концентрацією цього компонента.

Це — безрозмірні величини; сума концентрації всіх компонентів, що
складають суміш, мабуть, дорівнює одиниці:

-й компоненти.

компонент, що складають дану суміш, то її обсяг можна розділити на
обсяги окремих компонентів (рис. 1):

(1)

Об’ємним процентним умістом компонента А називається величина

тобто концентрація цієї речовини, виражена у відсотках.

Якщо відомо процентний уміст речовини А, то його концентрація
знаходиться по формулі

Так, наприклад, якщо процентний уміст складає 70%, то відповідна
концентрація дорівнює 0,7. Процентному вмісту 10 % відповідає
концентрація 0,1 і т.д.

Таким же способом визначаються і масові концентрація і процентний уміст,
а саме, як відношення маси чистої речовини А в сплаві до маси всього
сплаву. Про яку концентрацію, об’ємну чи масову, мова йде в конкретній
задачі, завжди ясно з її умови.

Маса суміші може бути знайдена по формулі

— об’єми складових сумішей компонент. Масові концентрації компонентів
знаходяться з рівностей

які визначають зв’язок цих величин з об’ємними концентраціями.

увійдуть у суміш, що вийшла.

у новій суміші.

Проілюструємо сказане вище на прикладі наступної задачі.

Задача. Маємо два шматки сплаву міді і цинку з масовим процентним
вмістом міді р % і q % відповідно. У якому відношенні потрібно взяти ці
сплави, щоб, переплавивши узяті шматки разом, одержати сплав, що містить
r % міді?

Розв’язок. Складемо ілюстративний рисунок до цієї задачі (рис. 2).
Концентрація міді в першому сплаві дорівнює р/100, у другому — q/100.

Якщо першого сплаву взяти х кг, а другого у кг, то з допомогою масових
концентрацій можна «розщепити» ці величини на окремі складові:

(кг цинку)

і

(кг цинку(.

Маса міді в сплаві, що вийшов, дорівнює

(кг міді),

кг. Тому нова концентрація міді в сплаві, відповідно до визначення,
дорівнює

За умовою задачі ця концентрація має дорівнювати r/100. Тому одержуємо
рівняння

або

Розв’яжемо отримане рівняння. Насамперед відмітимо, що рівняння містить
дві невідомі х і у. Неважко зрозуміти, що обидві невідомі однозначно не
знаходяться. Концентрація сплаву, що виходить, визначається не масою
узятих шматків, а відношенням цих мас. Тому в задачі і потрібно
визначити не самі величини х та у, а тільки їхнє співвідношення.

Відзначимо попутно, що дроби виду

При цьому рівняння F (х, у) = C дозволяє знайти це відношення.

Запишемо рівняння задачі в наступному вигляді:

Розглянемо можливі випадки:

1) p = r = q.

В цьому випадку концентрації всіх сплавів однакові і рівняння показує,
що мається незліченна безліч розв’язків. Можна взяти скільки завгодно
першого сплаву і скільки завгодно другого сплаву.

2) p = r ( q.

У цьому випадку рівняння набуває вигляду

звідки знаходимо: х — будь-яке, у = 0. Фізичний зміст цього розв’яку
зрозумілий: якщо концентрація сплаву, що потрібно одержати, збігається з
концентрацією першого сплаву, але не дорівнює концентрації другого
сплаву, то першого сплаву можна взяти скільки завгодно, а другого сплаву
не брати зовсім.

3) p ( r = q.

Одержуємо рівняння

звідки знаходимо: у — будь-яке, х = 0.

4) р ( м, р ( q, q ( r.

У цьому випадку можна написати

Оскільки у ( 0, то

Це значення буде давати розв’язок задачі, якщо виконується нерівність

яке, як неважко показати, має місце, якщо значення r знаходиться між
значеннями р та q. Таким чином, якщо р ( q, то можна одержати сплав з
будь-яким процентним вмістом міді між р і q.

Незважаючи на те, що цей приклад дуже простий, він досить добре ілюструє
основний метод розв’язку задач, пов’язаних із сумішами.

Розглянемо ще одну задачу.

Задача. Три однакові пробірки наповнені до половини розчинами спирту.
Після того як уміст третьої пробірки розлили нарівно в перші двох,
об’ємна концентрація спирту в першій зменшилася на 20 % від первісної, а
в другий збільшилася на 10 % від первісного значення. В скількох разів
первісний об’єм спирту в першій пробірці перевищував первісний об’єм
спирту в другій пробірці?

Рис. 3

Розв’язок. Введемо в розгляд об’єм половини пробірки V0 і концентрації
розчинів спирту в кожній із пробірок c1 і с2. Тоді первісний об’єм
спирту в першій пробірці дорівнює V0c1, у другій V0c2, у третій V0c3
(рис. 3). Для того щоб розв’язати задачу, підрахуємо об’єми спирту в
першій і другій пробірках після того, як туди додадуть вміст третьої
пробірки. Ці об’єми будуть рівні: у першій пробірці

у другій пробірці

Знайдемо нові концентрації спирту в цих пробірках. Для першої пробірки
вона дорівнює

для другої

Тоді маємо систему двох рівнянь з трьома невідомими:

або

З цієї системи, так само як і в попередній задачі, не можна визначити
всі три концентрації c1, c2 і с3. Але завдяки тому, що рівняння системи
являють собою однорідні лінійні вирази, з неї можна знайти
співвідношення двох концентрацій до третьої, наприклад с1/с3 і с2/с3:

Об’єм спирту в першій пробірці відноситься до об’єму спирту в другій
пробірці як т/п. Дійсно,

Відповідь. У 3,25 рази.

Звернемося тепер до задач, які можна об’єднати в одну групу через те, що
їхній розв’язок пов’язаний з виявленням загальної закономірності зміни
тієї чи іншої величини в результаті багаторазово повторюваної операції.

Розглянемо наступний приклад.

У сосуді, об’єм якого дорівнює V0 л, міститься р %-й розчин солі
(рис. 4). Із сосуду виливається а л суміші і доливається а л води, після
чого розчин перемішується. Ця процедура повторюється п разів.
Запитується, за яким законом змінюється концентрація солі в сосуді,
тобто яка буде концентрація солі після п процедур?

Рис. 4

Розв’язок. Очевидно, що первісний об’єм солі у розчині дорівнює

Після того як відлили а л суміші, у розчині залишилося

літрів солі, а її концентрація після додавання а л води дорівнює

Після того як відлили ще а л суміші (але вже з концентрацією c1), у
розчині залишилося солі

а її концентрація після додавання а л води дорівнює

Немає потреби ще раз проробляти ту ж процедуру, щоб переконатися, що
концентрація солі в розчині після п переливань визначається формулою

(2)

що являє собою геометричну прогресію, що убуває. Множник

що є знаменником цієї прогресії, показує, у скільки разів убуває
концентрація після чергового переливання.

Приклад 1. Нехай значення величини a/V0 відомо. Після скількох
переливань концентрація солі в розчині зменшиться більш ніж у k разів?

Розв’язок. Використовуючи формулу (2) для концентрації солі в розчині
після п переливань, одержуємо

Звідси знаходимо

плюс одиниця.

Приклад 2. Відомо, що після п переливань концентрація солі в розчині
зменшилася в k разів. Визначити, яку частину об’єму судини складають а
л.

Розв’язок. Відповідно до формули (2) маємо

»

$

J

~

a

»

R

J

L

N

P

jss

R

??

$

c

$

$

N

$

чи

Звідси знаходимо відношення a/V0:

Приклад 3. У кожному із двох сосудів знаходиться по V0 л кислоти
однакової концентрації. З першого сосуду відлили а л розчину і долили а
л води. Потім цю процедуру повторили ще раз. З другого сосуду відлили 2а
л розчину і долили 2а л води. Потім цю процедуру повторили ще раз.
Відомо, що концентрація кислоти в першому сосуді виявилася в 25/16 рази
більшою, ніж концентрація кислоти в другому сосуді. Яку частину від
об’єму сосуду складають а л?

Розв’язок. Використовуючи отримані вище результати, маємо

або

З цього рівняння знаходимо співвідношення a/V0. Знаходячи з обох частин
рівняння арифметичний корінь, одержуємо

Оскільки a/V0 < 1 і 2а/V0 < 1, то Звідси знаходимо шукане відношення: Відповідь. 1/6 частина. , тобто йдеться про наступну задачу: у сосуді об’ємом V0 л міститься р%-й розчин солі. Із сосуду виливається а л суміші і доливається стільки ж літрів q%-го розчину солі, після чого розчин перемішується. Запитується, за яким законом змінюється концентрація солі в сосуді, тобто яка буде концентрація після п процедур? Остаточний розв’язок має вигляд або Спробуємо визначити концентрацію сп з отриманого співвідношення. При цьому будемо враховувати, що початкове значення концентрації відомо: Запишемо наступні дві рівності: Віднімаючи ці вирази почленно один від одного, одержимо останню рівність можна переписати в більш простому вигляді: або Перший член цієї прогресії легко визначається: Після цього знаходимо або Запишемо останню рівність для значень п, рівних 1, 2, ... n, і додамо співвідношення, що виходять, між собою: або При додаванні правих частин розглянутих рівностей використовувалася формула для суми членів геометричної прогресії. ця формула переходить у раніше отриману формулу (2). Формула (2) тісно пов’язана з відомим у теорії відсотків правилом нарахування «складних відсотків». Ми говоримо, що маємо справу з «складними відсотками», у тому випадку, коли деяка величина піддається поетапній зміні. При цьому щораз її зміна складає визначене число відсотків від значення, що ця величина мала на попередньому етапі. Розглянемо спочатку випадок, коли наприкінці кожного етапу величина змінюється на те саме постійне число р відсотків. Деяка величина А, вихідне значення якої дорівнює А0, наприкінці першого етапу дорівнюватиме Наприкінці другого етапу її значення дорівнює Наприкінці третього етапу і т. д. Неважко зрозуміти, що наприкінці п-го етапу значення величини А визначається формулою Ця формула показує, що значення величини А зростає (чи убуває, якщо р < 0) як геометрична прогресія, перший член якої дорівнює А0, а знаменником прогресії служить величина Формула (4) є вихідною формулою при розв’язанні багатьох задач на відсотки. Приклад. Ощадкаса виплачує 3% річних. Через скільки років внесена сума подвоїться? Розв’язок. Нехай внесок складає А0 руб. Тоді через п років розмір внеску стане рівним 2А0 руб. Маємо Відповідь. Через 23 роки. Формула (4) має цікавий додаток. У багатьох областях практики є величини, що збільшуються не стрибкоподібним чином, а змінюються безупинно, так що їхня зміна за етап складає р %. ). Легко зрозуміти, що за п етапів нарахування відсотків відбудеться тп раз. Скориставшись формулою (4), одержуємо — значення величини А в кінці п-го етапу за умови, що протягом кожного етапу відсотки нараховувалися т разів. Необмежено збільшуючи число m, ми переходимо до розгляду безупинної зміни величини А. Тоді граничне значення величини А в кінці n-го етапу визначиться формулою Таким чином, задача про безупинне нарахування відсотків приводить до необхідності обчислити однe з чудових границь математики. Ця границя позначається буквою е і є підставою натуральних логарифмів: Остаточний вигляд розглянутої формули такий: Показова функція, що стоїть в правій частині останньої формули, називається експонентою. На закінчення цього параграфа наведемо узагальнення формули (4) на випадок, коли приріст величини А на кожному етапі свій. Нехай величина А в кінці першого етапу випробує зміну на р1 %, наприкінці другого етапу — на р2%, наприкінці третього етапу — на р3 % і т. д. Якщо pk > 0, то величина А на цьому етапі зростає; якщо pk < 0, то величина А на цьому етапі убуває. Тому остаточний вигляд шуканої формули такий: (5) Тут А0 — первісне значення величини А. Іноді в задачах на складання рівнянь зустрічається поняття «середній відсоток приросту. Під цим терміном розуміють такий постійний відсоток приросту, що за п етапів давав би таку ж зміну величини А, що вона отримує в дійсності, при нерівних поетапних відсотках зміни. Середній відсоток приросту q % визначається формулою чи Тут існує повна аналогія з визначенням відомого з фізики поняття «середня швидкість руху». Приклад. Виробка продукції за рік роботи підприємства зросла на 4 %. На наступний рік вона збільшилася на 8 %. Визначити середній щорічний приріст продукції за цей період. Розв’язок. Позначимо середній щорічний приріст продукції через q %. Тоді Звідси знаходимо Вправи 1. У сосуд ємкістю 6 л налито 4 л 70%-го розчину сірчаної кислоти. В другий сосуд тієї ж ємкості налито 3 л 90%-го розчину сірчаної кислоти. Скільки літрів розчину потрібно перелити з другого сусуду в перший, щоб у ньому вийшов r %-й розчин сірчаної кислоти? Знайти всі r, при яких задача має розв’язок. . 2. Маємо два розчини однієї і тієї ж солі у воді. Для одержання суміші, що містить 10 г солі і 90 г води, беруть першого розчину вдвічі більше по масі, чим другого. Через тиждень з кожного кілограма першого і другого розчину випарувалося по 200 г води, і для одержання такої ж суміші, як і раніше, потрібно першого розчину уже вчетверо більше по масі, чим другого. Скільки грамів солі містилося спочатку в 100 г кожного розчину? Відповідь. 5 г і 20 г. 3. Маємо три суміші, складені з трьох елементів А, В і С. У першу суміш входять лише елементи А і В у ваговому відношенні 3:5, у другу суміш входять лише елементи В і С у ваговому відношенні 1:2, у третю суміш входять лише елементи А і С у ваговому відношенні 2:3. У якому відношенні потрібно взяти ці суміші, щоб у знову отриманій суміші елементи А, В і С містилися у ваговому відношенні 3:5:2? Відповідь. 20:6:3. 4. Вироблення продукції за перший рік роботи підприємства зросло на р%, а за наступний рік у порівнянні з первісної вона зросла на 10 % більше, ніж за перший рік. Визначити, на скільки відсотків збільшилося вироблення за перший рік, якщо відомо, що за два роки вона збільшилася в цілому на 48,59%. Відповідь. На 17%. 5. Протягом року завод двічі збільшував випуск продукції на те саме число відсотків. Знайти це число, якщо відомо, що на початку року завод щомісяця випускав 600 виробів, а наприкінці року став випускати щомісяця 726 виробів. Відповідь. 10%. 6. В оленярському радгоспі череда збільшується в результаті природного приросту і придбання нових оленів. На початку першого року череда складала 3000 голів, наприкінці року радгосп купив 700 голів. Наприкінці другого року череда складала 4400 голів. Визначити відсоток природного приросту. Відповідь. 10 %. г. Маса другої речовини в суміші дорівнює масі 52/7 см3 першої речовини, а густина другої речовини дорівнює 1 г/см3. Знайти об’єм кожної речовини в суміші. Відповідь. 4 см3. ЛІТЕРАТУРА Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с. Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд. дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с. V0 суміш А : В : С VА = cA ( V0 VC = cC ( V0 VB = cB ( V0 Cu + Zn p % Zn Cu + Zn q % Cu x кг у кг Cu Zn Cu Zn V0/2 V0 c1 V0/2 V0 c2 V0 c3 V0 p%-й розчин а л води а л суміші

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *