Пошукова робота на тему:
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та
полярних координатах. Площа поверхні.
План
Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах
Площа поверхні
Площа поверхні обертання
Площа циліндричної поверхні
10.3. Довжина дуги
, вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула
(10.9)
то
(10.10)
, довжина дуги обчислюється за формулою
(10.11)
дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а
саме, діагональ є хордою елемента дуги.
, матимемо
(10.12)
Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в
полярних координатах можна записати як параметричні з параметром q :
і використавши формулу (10.10).
.
Р о з в ‘ я з о к. Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху
заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись
формулою (10.12), одержимо
10.4. Площа поверхні
10.4.1. Площа поверхні обертання
Довжина дуги, що обмежує смужку зверху (рис.10.9),
. Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти
звідки
(10.7)
10.4.2. Площа циліндричної поверхні
. Нехай ця поверхня задана рівняннями
Рис.10.9 Рис.10.10
Виділивши смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу
(10.8)
( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на
остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються
нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна
було б строго довести.
робить один оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі.
Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.
Р о з в ‘ я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:
В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)
– ексцентриситет еліпса.
матимемо
У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання
одержуємо інтеграл
В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter