Пошукова робота на тему:
Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і
механічний зміст. Кривизна кривої.
План
Диференціал дуги
Кривизна плоскої кривої
Векторна функція скалярного аргументу
Кривизна плоскої кривої
Кривизна просторової кривої
Кручення просторової лінії
Формули Серре-Френе
1. Диференціал кривої
Поняття довжини кривої буде розглянуто в розділі інтегрального числення.
Криві, для яких можна установити поняття довжини, називають в
математичному аналізі спрямними.
.
Для всякої спрямної кривої як просторової, так і плоскої,
наслідком її спрямності є така геометрична властивість: границя
відношення нескінченно малої дуги кривої до стягуючої її хорди дорівнює
одиниці за умови, що хорда стикується в точку.
(рис. 7.4), то
(7.4)
Виходячи саме з цієї властивості, знайдемо вирази для
диференціала дуги як плоскої, так і просторової кривої.
,
, що
(рис. 7.2).
знаходиться за формулою
(7.5)
:
.
його виразом за формулою (7.5):
.
Отже,
. (7.6)
Звідси
. (7.7)
.
Диференціал дуги
.
рівності
Маємо
.
Звідси
,
тому
. (7.9)
Рис.7.4 Рис.7.5
Приклади.
1. Знайти диференціал дуги циклоїди
.
.
.
.
,
.
, можна знайти аналогічно.
визначається за формулою
.
Формула диференціала дуги просторової кривої
. (7.10)
Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:
.
.
.
Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду :
(для просторової кривої); (7.12)
дотичної до кривої (рис.7.5).
2.Кривизна плоскої кривої
поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які
знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має
однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної
своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж
коло великого радіуса.
Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих
точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці
можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.
.
.
Рис.7.6
і позначається
. (7.13)
Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана
в декартовій системі координат рівнянням
,
має похідні до другого порядку включно.
. Тому формулу (7.13) можна
записати ще так:
. (7.14)
, то
.
Звідси
.
Тоді
.
, дістаємо формулу для кривини кривої:
. (7.15)
З цієї формули легко дістати формулу для кривизни кривої,
. Справді,
,
.
у формулу (7.15), маємо
. (7.16)
, то
. (7.17)
:
. (7.18)
Коло, яке з даною кривою має в даній точці спільну дотичну,
спільну кривизну і однаковий напрямок вгнутості, називається колом
кривизни, а його центр – центром кривизни кривої в даній точці. Радіус
кола кривизни
.
Для всіх плоских кривих (за винятком кола) центри кривизни
різні в різних точках кривої. Геометричне місце центрів кривизни даної
кривої називається її еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти
називається евольвентою.
7.5. Векторна функція скалярного аргументу
Простішим способом задання просторової кривої є задання її
векторним рівнянням
, (7.19)
; такі функції в математичному аналізі називають векторними функціями
скалярного аргументу.
по осях координат. Рівняння просторової кривої (7.19) набуває вигляду
(7.20)
– орти координатних осей). Звідси від векторного рівняння кривої можна
перейти до її параметричного рівняння
. (7.21)
рівнозначно заданню трьох скалярних функцій від того самого аргументу.
По відношенню до векторної функції (7.19), яка задає дану
криву, сама крива називається годографом цієї векторної функції.
(рис.7.5).
Радіуси – вектори цих точок:
.
, відповідним приросту її аргументу, і позначається
. (7.22)
Рис.7.7
:
. (7.23)
.
.
можна записати у вигляді
,
де
,
.
, знаходимо для похідної вектора такий вираз:
. (7.24)
Із означення похідної від векторної функції (7.23) можна
вивести, що правила диференціального числення відносно диференціювання
суми і добутку залишаються в силі як для сум векторних функцій, так і
для добутків будь-якого вигляду. Мають місце такі формули:
; (7.25)
; (7.26)
; (7.27)
. (7.28)
.
.
Остання рівність дозволяє записати:
,
.
Диференціюванням знаходимо
.
.
.
3. Кривизна просторової кривої
) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:
, (7.29)
формулою
. (7.30)
. (7.31)
– одиничний вектор головної нормалі.
:
.
, лежить в нормальній площині; його напрямок називають напрямком
бінормалі просторової кривої в даній точці.
.
Рис.7.8 Рис.7.9
визначають три площини, які проходять через дану точку просторової
кривої і складають границі супровідного тригранника (рис. 7.9).
– її спрямною площиною.
4. Кручення просторової кривої.
Формули Серре-Френе
– одиничного вектора бінормалі.
відповідної дуги кривої, коли довжина дуги прямує до нуля:
,
.
:
.
. Отже,
.
, будемо мати
(7.33)
радіус кручення.
:
,
або
Формули
(7.34)
називаються формулами Серре-Френе, це основні формули геометрії
просторових кривих.
.
Перша із формул Серре-Френе дає
, (7.35)
:
.
Але
,
,
тому
.
(7.36)
(7.37)
), то формули (7.35) і (7.36) набувають вигляду:
(7.38)
. Щоб написати рівняння дотичної, головної нормалі, бінормалі та
будь-якої із площин супроводжуючого тригранника, достатньо лише в
канонічних рівняннях прямої
(7.39)
і в рівнянні площини, яка проходить через дану точку
, (7.40)
– для бінормалі та співдотичної площини.
, або, що те саме, рівнянням
.
.
Отже,
. (7.41)
.
Оскільки
.
то
. (7.42)
:
(7.43)
Звідси
(7.44)
можна взяти векторний добуток цих двох векторів:
(7.45)
Цим самим ми дістали можливість в будь-якій точці
просторової кривої визначити всі елементи його супровідного тригранника.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter