Реферат на тему:
Скалярний добуток векторів, вираз скалярного добутку через координати.
Кут між векторами.
ПЛАН
1. Скалярний добуток векторів.
2. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами.
1.Скалярний добуток векторів
, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними :
, (1)
.
, то з формули (1) маємо
(2)
Формули (2) виражають геометричний зміст скалярного добутку : скалярний
добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на
проекцію на нього другого вектора .
, або
. (3)
Отже, робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор
переміщення. В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.
тому, що, по-перше, ця величина є скаляр і, по-друге, має деякі
алгебраїчні властивості звичайного добутку чисел.
Розглянемо три алгебраїчні властивості скалярного добутку.
1. Комутативна властивість множення :
.
:
.
маємо
.
3. Дистрибутивна властивість відносно додавання векторів :
.
дістанемо
.
.
Наведемо геометричні властивості скалярного добутку.
– тупий.
5. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді, коли
ці вектори взаємно перпендикулярні.
6. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини
, (4)
звідки
. (5)
Властивості 4-6 безпосередньо випливають з формули (1).
2. Вираз скалярного добутку через координати.
Кут між векторами
.Знайдемо їхній скалярний добуток. Використовуючи властивості 1 і 3
скалярного добутку, дістанемо
, тому
. (6)
Отже, скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в
прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних
координат.
Вкажемо на ряд важливих висновків з формули (6).
є рівність
. (7)
визначається формулою
. (8)
Формула (8) випливає з формул (5) і (6).
визначається рівністю
. (9)
Ця формула є наслідком формул (1), (6), (8).
Література
1. Барковський В. В., Барковська Н. В. Вища математика для економістів.
– К.,2002.
2. Бугір М. К. Математика для економістів. – К.: Академія, 1998.
3. Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика: Навчальний посібник. – К.:
А. С. К., 2001.
Контрольні запитання
1. Що називається скалярним добутком ?
2. У чому полягає геометричний та механічний зміст скалярного добутку ?
3. Сформулювати і довести алгебраїчні властивості скалярного добутку.
4. Сформулювати і довести геометричні властивості скалярного добутку.
5. Записати формулу скалярного добутку векторів, заданих координатами в
прямокутній системі координат.
6. Записати і довести формулу для знаходження скалярного добутку
векторів, якщо відомий кут між векторами.
7. Записати формулу для знаходження довжини вектора.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter