Скалярний добуток векторів, вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами (реферат)

Реферат на тему:

Скалярний добуток векторів, вираз скалярного добутку через координати.
Кут між векторами.

ПЛАН

1. Скалярний добуток векторів.

2. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами.

1.Скалярний добуток векторів

, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними :

, (1)

.

, то з формули (1) маємо

(2)

Формули (2) виражають геометричний зміст скалярного добутку : скалярний
добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на
проекцію на нього другого вектора .

, або

. (3)

Отже, робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор
переміщення. В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.

тому, що, по-перше, ця величина є скаляр і, по-друге, має деякі
алгебраїчні властивості звичайного добутку чисел.

Розглянемо три алгебраїчні властивості скалярного добутку.

1. Комутативна властивість множення :

.

:

.

маємо

.

3. Дистрибутивна властивість відносно додавання векторів :

.

дістанемо

.

.

Наведемо геометричні властивості скалярного добутку.

— тупий.

5. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді, коли
ці вектори взаємно перпендикулярні.

6. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини

, (4)

звідки

. (5)

Властивості 4-6 безпосередньо випливають з формули (1).

2. Вираз скалярного добутку через координати.

Кут між векторами

.Знайдемо їхній скалярний добуток. Використовуючи властивості 1 і 3
скалярного добутку, дістанемо

, тому

. (6)

Отже, скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в
прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних
координат.

Вкажемо на ряд важливих висновків з формули (6).

є рівність

. (7)

визначається формулою

. (8)

Формула (8) випливає з формул (5) і (6).

визначається рівністю

. (9)

Ця формула є наслідком формул (1), (6), (8).

Література

1. Барковський В. В., Барковська Н. В. Вища математика для економістів.
– К.,2002.

2. Бугір М. К. Математика для економістів. – К.: Академія, 1998.

3. Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика: Навчальний посібник. – К.:
А. С. К., 2001.

Контрольні запитання

1. Що називається скалярним добутком ?

2. У чому полягає геометричний та механічний зміст скалярного добутку ?

3. Сформулювати і довести алгебраїчні властивості скалярного добутку.

4. Сформулювати і довести геометричні властивості скалярного добутку.

5. Записати формулу скалярного добутку векторів, заданих координатами в
прямокутній системі координат.

6. Записати і довести формулу для знаходження скалярного добутку
векторів, якщо відомий кут між векторами.

7. Записати формулу для знаходження довжини вектора.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *