РЕФЕРАТ
На тему:
Системи рівнянь народження і загибелі
Одним із найважливіших напрямів застосування процесів Маркова є
моделювання процесу народження і загибелі, що може відбуватися як із
дискретними, так і з неперервними змінами часу t. При цьому головною
умовою, котра неодмінно має виконуватися, є така: переходи процесу
можливі лише до сусідніх станів.
Марковський процес у цьому разі описує зміни, які відбуваються в часі в
певному обсязі популяції, а саме — зміни кількості одиниць певного виду
організмів.
— інтенсивність загибелі k-го організму. Такі припущення добре
узгоджуються з реальними процесами народження і загибелі, які
відбуваються в певному обмеженому просторі популяції, а також дають
змогу застосовувати математичний апарат, будуючи такі ймовірнісні
моделі, котрі можна використати для розв’язання широкого кола задач, що
постають у системах обслуговування.
.
.
відповідатиме такій випадковій події: загибель із певною ймовірністю
однієї одиниці організму.
Три можливі переходи процесу розмноження та загибелі, де відсутні
переходи процесу до несусідніх станів, унаочнює рис. 27.
Рис. 27
Для побудови ймовірнісної моделі цього процесу спинимося докладніше на
його переходах до сусідніх станів і відповідних імовірностях преходів.
.
якщо відбудеться одна з несумісних випадкових подій із відповідними
ймовірностями, а саме:
одна одиниця неодмінно має загинути з імовірністю
; (168)
одна одиниця неодмінно народиться з імовірністю
; (169)
ця кількість не зміниться, тобто згідно зі (139) жодна одиниця не
загинула і не народилась із імовірністю
(170)
Рис. 28
переходи процесу та відповідні їм імовірності зображено на рис. 29.
Рис. 29
На основі наведених щойно міркувань дістанемо таку систему рівнянь:
(171)
При цьому
(172)
Скориставшись (168)—(170), подамо систему (171) у вигляді
(173)
Розкривши дужки в системі (173), дістанемо:
або
(174)
Від системи (174) переходимо до системи
(175)
, дістанемо:
дістаємо:
оскільки
або
(176)
Отже, дістали систему диференціально-різницевих рівнянь, яка описує
динаміку ймовірнісного процесу народження і загибелі.
.
Такі процеси називають процесами розмноження і загибелі.
для всіх значень k, то дістанемо процес чистого розмноження:
(177)
t + ?t
t
0
T
T
t + ?t
t
0
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
