Системи диференціальних рівнянь (реферат)

Реферат на тему:

Системи диференціальних рівнянь

Загальна теорія

Співвідношення вигляду

-звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд

то вона називається системою в нормальній формі.

тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.

.

можна розв’язати довільну задачу Коші.

Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття
інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості)
можна розглядати два визначення інтеграла.

стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.

повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається
інтегралом системи.

Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності
розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям
є функціональна незалежність.

Теорема. Для того щоб інтеграли

системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально
незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний
від тотожного нуля, тобто

називається першим інтегралом.

— функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом
системи диференціальних рівнянь.

Власне кажучи загальний інтеграл — це загальний розв’язок системи
диференціальних рівнянь у неявному вигляді.

досить, щоб:

;

у тому ж околі.

Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що
перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *