Середні величини, їх види і методи обчислення (контрольна)

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

З ДИСЦИПЛІНИ “СТАТИСТИКА”

НА ТЕМУ:

“Середні величини,

їх види і методи обчислення”

ПЛАН

1. Поняття середніх величини та способи обчислення

2. Мода і медіана

Висновки

Список використаної літератури

Поняття середніх величини та способи обчислення

Середньою величиною називають узагальнюючу характеристику сукупності
однотипних явищ за варійованою ознакою. При розрахунку середньої
величини /за даними однорідної сукупності/ погашаються випадкові
відхилення окремих величин явища. Розрахунок середньої величини для
неоднорідної сукупності не має реального змісту, оскільки тут будуть
згладжуватись окрім випадкових відхилень також істоту! різниці між
окремими одиницями сукупності. Отже, середня величина значною мірою
залежить від побудови сукупності, її структури.

Обчислення середніх величин є складовою частиною багатьох статистичних
методів: групувань, рядів динаміки, індексних розрахунків, показників
варіації, вибіркового методу та ін.

Для виявлення взаємозв’язків і взаємозалежностей між ознаками у
статистичних групуваннях виділяють групи за чинниковою ознакою, де по
кожній групі обчислюють середню арифметичну результативної ознаки. Зміна
цих середніх величин від групи до групи показує характер і напрями
зв’язку між ознаками.

Порівняння середніх величин у динаміці дає змогу виявити основні
тенденції та закономірності у розвитку явищ, їх інтенсивності та
сезонності коливання.

Середні величини є основою для розрахунку граничних помилок даних
вибіркового обстеження сукупності. Це база для кореляційного,
регресійного і дисперсійного аналізу.

Основні завдання розрахунку середніх величин — це характеристика зміни
явищ у динаміці; тенденції у розвитку явищ, співвідношення двох або
кількох рівнів, зв’язків і залежностей між явищами, виявлення нового,
прогресивного та найбільш поширеного розвитку явища.

Вибір формули розрахунку середньої величини /табл. 10/ повинен
враховувати такі аспекти:

1/ характерну особливість суспільного явища, яке вивчається;

2/ мету розрахунку середньої величини;

З/ визначаючий показник і його математичне вираження, яке є основою для
осереднення сукупності явища.

Критерієм розрахунку середньої величини є правильний вибір початкової
бази обчислень, яка відображає зміст середньої величини та її зв’язок з
іншими показниками.

Розрахунок середньої величини повинен бути підпорядкований економічному
змісту явищ, тобто треба, щоб він рваль-нр відображав істотну /дійсну/
характеристику осереджува-ного їх рівня.

Проста середня — це початковий момент для розрахунку будь-якої середньої
величини, яку розраховують за формулою

Для розрахунку середньої кількості дітей у сім’ї підсумуємо кількість
дітей у кожній сім’ї і поділимо на кількість сімей:

де: х- окремі варіанти осередненої величини; п — кількість варіантів.

Розглянемо приклад розрахунку простої середньої арифметичної за даними,
наприклад, про кількість дітей у сім’ї:

Від розрахунку простої середньої арифметичної до зваженої переходять
шляхом об’єднання в групи однакових значень. Як ваги використовують
числа /частоти/ або питомі ваги /частості/, якТ^враховують значення
величини ознаки ./варіанта/ окремої одиниці сукупності.

Розглянемо приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої за даними
табл. 11.

Якщо треба визначити середньомісячний виробіток усіх робітників при
наявності даних про місячний виробіток і кількість робітників в окремих
групах, то середньомісячний виробіток обчислюють за формулою середньої
арифметичної зваженої:

Добуток xf у цьому прикладі є економічно усвідомленим результатом —
кількість виробленої продукції за місяць.

При наявності у вихідних для розрахунків середньої величини даних частот
розрахунок також здійснюють а урахуванням економічного змісту
розрахункових величин /табл.12/.

Визначимо середній процент бракованих виробів, якщо відомі кількість
виготовлених виробів і питома вага бракованих виробів, за формулою
середньої арифметичної зваженої:

Добуток xf у чисельнику формули у цьому прикладі являє собою економічно
усвідомлений результат — кількість бракованих виробів.

Розглянемо приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої в
інтервальному ряді на основі таких вихідних даних:

Для розрахунку середнього виробітку необхідно визначити середину кожного
інтервалу шляхом додавання значення нижньої і верхньої інтервальних меж
з подальшим діленням на два. Середину інтервалу першої групи /до 200
гривень/ обчислюють таким чином: за нижню межу інтервалу тут приймають
100 гривень, віднімаючи від його верхньої межі розмір наступного
інтервалу, який дорівнює 100 /300 — 200/, відповідно одержують 200 — 100
= 100 гривень.

Середину інтервалу останньої групи /600 гривень і більше/ обчислюють
аналогічно. Різниця полягає в тому, що до нижньої межі інтервалу /600
гривень/ додають розмір інтервалу попереднього /600 + 100 гривень = 700
гривень/. Виконавши ці розрахунки, середнє значення інтервалів і в
першій, і в останній групі визначають діленням суми значень нижньої і
верхньої меж інтервалу на два /табл.13/.

Звідси

Якщо статистичні ваги /частоти і частості/ у вихідних даних для
розрахунку середньої величини не задані безпосе-

редньо, а входять як співмножники в один з наявних показників, то для
обчислень використовують формулу середньої гармонічної.

Спосіб розрахунку простої гармонічної розглянемо на основі даних про
витрати часу на виготовлення деталі:

Для визначення середнього часу, витраченого одним робітником на
виготовлення деталі, використовують формулу простої середньої
гармонічної:

Для розрахунку середньої величини за формулою гармонічної зваженої
необхідно виходити з логічного усвідомлення вихідних розрахункових
величин.

Розглянемо приклад розрахунку середньої величини за даними табл. 14.

Середню гармонічну застосовують у тих випадках, коли v вихідних даних є
не прямі розрахункові величини, а лише одна їх складова частина.
Наприклад, кількість проданої проДУ^пД — це складова частина виручки від
її реалізації. Тут діяа є розрахунковою величиною — часткою від виручки
на кількість проданої продукції. Середню ціну у цьому прикладі
розраховують за формулою середньої гармонічної зваженої:

Частка у знаменнику розрахунку відображає економічно усвідомлений
результат — кількість проданої предукції.

Наявність у вихідних даних відносних величин, виражених у процентах, які
є складовою частиною розрахунку .середньої величини, також вимагає
застосування формули ‘»середньої гармонічної зваженої /табл. 15/.

Розрахунок середнього процента бракованих виробів здійснюють за
формулою:

Якщо вихідна інформація для розрахунку середньої вели-чини задана у
вигляді квадратичної функції, то для обчис-лень застосовують формулу
середньої квадратичної. Наприклад, якщо діаметр одного стовбура дерева
33 см, другого — 21, третього 39 см, то середній діаметр одного дерева,
обчислений за формулою середньої квадратичної, складає:

2. Мода і медіана

Моду обчислюють поряд з середніми величинами для характеристики значення
варіантів, що найчастіше зустрічаються в сукупності. Рівні моди
використовують при визначенні попиту населення на товари широкого
вжитку, цін на ринках, потоку покупців у магазинах, потоку пасажирів на
міському транспорті тощо.

Способи розрахунку моди залежать від вихідних даних. Так, в перервному
/дискретному/ ряді моду визначають за найбільшою частістю /табл. 16/, а
в інтервальному — за спеціальною формулою /табл.17/.

Отже, у цьому прикладі значення моди складає 70 копійок. Це значення
відповідає найбільшій частості кількості продавців (46,4%)=

Моду в інтервальному ряді розраховують за формулою

де х0 — нижня межа модального інтервалу; k — розмір інтервалу; /І, /2,
fa — частота інтервалу, що передує модальному, модальноґо та наступного
за модальним. Звідси

При виборі оптимальних варіантів, наприклад, будівництва бензоколонок,
складів і баз, статистичному контролі якості продукції та інших
економічних розрахунках можна обчислити медіану — значення варіанти,
розташованої у середині варіаційного ряду. Ця величина не піддається
випадковості відбору одиниць за ознакою, що вивчається і застосовується
у тих випадках, коли середня, яка виражена дробовим числом, не має
реального змісту /середня кількість людей тощо/.

Для визначення медіани у перервному /дискретному/ ряді спочатку
знаходять її порядковий номер діленням суми ваг /частот/ на два, а потім
за накопиченими вагами /частотами/ або частостями встановлюють значення
медіани. За даними, які наведені в табл. 16, порядковий номер медіани
дорівнює 50 /сума частостей складає 100, а порядковий номер медіани
100/2 = 50/. Потім за накопиченими частостями визначають, що 50-й член
ряду має величину, тобто медіана середньої ціни становить 70 копійок.

Медіану в інтервальному ряді розраховують за формулою

порядковий

номер медіани; S — частота, накопичена до медіанного інтервалу; іме —
частота медіанного інтервалу.

За даними табл. 17 спочатку визначимо порядковий номер

= 64 : 2 = 32. Потім за накопиченими частотами

встановимо, що 32 одиниці сукупності знаходяться в інтервалі 300 — 400,
і за формулою обчислимо медіанне значення:

Отже, половина робітників має середній виробіток до 379, а половина —
понад 379 гривень.

Висновки

1. Середня величина тільки в тому випадку є узагальнюючою
характеристикою, коли вона вживається для однорідної сукупності.

2. Середня величина лише тоді вживається правильно, коли внаслідок

зважування або підсумовування одержують величини, які мають реальний
економічний зміст.

3. У формулі середньої арифметичної неможливо скорочувати f, бо
добуток похідних не дорівнює добутку їх підсумків:

4. Сума квадратів відхилень варіантів від середньої
арифметичної менша, ніж від іншої будь-якої величини

б. Алгебраїчна сума відхилень всіх варіантів від середньої арифметичної
дорівнює нолю

в. Величини моди і медіани, як правило, відрізняються від величини .
середньої і співпадають з нею тільки у випадку симетрії варіаційного
ряду.

7. Медіана не залежить ні від амплітуди коливань ряду, ні від
розподілення частот в рамках двох рівних частин ряду. Ё обчислюють для
вирішення деяких окремих завдань, пов’язаних з визначенням оптимуму,
який співпадає з варіантом, що припадає на середину ряду.

Список використаної літератури:

Вашків П.Г., Пастер П.І., Сторожук В.П., Ткач Є.І. Статистика
підприємництва: Підручник. Київ: Вища школа, 1999.

Головач А.В., Єріна А.М., Козирєв О.В. Статистика: Підручник. Київ: Вища
школа, 1993. 623с.

Єріна А.М., Пальян З.О. Теорія статистики: Практикум. Київ: Знання,
1997.

Кулинич О.І. Теорія статистики: Підручник. 2-е допрацьоване і
доопрацьоване видання. Київ: Державне Центрально — Українське
видавництво, 1996.

Харченко Л.П., Долженкова В.Г. і др. Статистика: курс лекцій. Москва,
2000. 310 с. Новосибирская государственная академия экономики и
управления.

Курс социально-экономической статистики: Учебник. / Под ред.проф.
Назарова М.Г. М.: Финансы и статистика. 1982.

Назаров М.Г. и др. Социальная статистика: Учебник. М.: Финансы и
статистика. 1998.

Экономическая статистика. Учебник /Под ред. Ю.Н.Иванова. М: ИНФРА. 1999.

PAGE

PAGE 2

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *