Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва (реферат)

Реферат на тему:

Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В.
Леонтьєва

Pозглядається відкрита динамічна система ( модель) В. Леонтьєва стан
якої в кожен момент часу t визначається n-
вимірним вектором

х(t)= (x1(t),x2(t),…,xn(t)), який характеризує валовий випуск економіки
з n галузями. Збалансована система динамічних рівняннь “витрат-випуску”

В. Леонтьєва має вигляд

[ d o ( t) / d t ) ] = o ( t ), (1
)

=( bij )- n ( n – матриця яка характеризує структуру основного
капіталу, основних фондів; y (t)- вектор кінцевого попиту ( вектор
споживання) [1].

Динамічна модель витрат- випуску (1) може бути представлена як
система керування [2]

= Аx (t) +В u ( t ) , ( 2 )

при якому система ( 2 ) переходить із заданого початкового стану
x(t0)=x0 в заданий кінцевий (запланований) стан x(t1)=x1 за час
Т=t1-t0. При цьому випуклий функціонал — інтеграл достатку

( 3)

є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання
важливіше ніж в майбутньому, W(u(t))- функція корисності [ 3 ].

Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати
прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу
досягти заданого рівня їх росту.

Покладемо

( 4 )

-деякі задані додатні числа.

загального вигляду

, ( 5 )

i=1,…,n.

вектор початкових умов.

i=1,…,n,то вона набуває вигляду (5) з правими частинами

.
( 6 )

При цьому споживання у(t)=u(t) невід’ємне і не перевищує випуск.

Розглянемо функціонал

( 7 )

— множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому
кінці фазової траекторії.

-допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь

i=1,2,…,n+1, ( 8 )

та граничним умовам

, і=1, 2,…, n+1, ( 9 )

.

Функція Гамільтона- Понтрягіна має вигляд

( 10)

Пряму та спряжену систему можна записати як

. (11 )

Оптимальне керування знаходиться з умови

1- деякий коофіцієнт пропорційності .

,i=1,2,…n,

( 12 )

, і=1,…, n.

таким чином, щоб основна змінна за час T =t1 –t0 перейшла з стану
y(t0)=y0 в стан y(t1)=y1 в силу рівняннь (12 ).

Література

В. Леонтьев “ Исследование структуры американской економики.
Теоретический и эмпирический анализ по схеме затраты- выпуск”,
Москва. Госстатиздат, 1938.

А. В. Виноградська, В.В. Рішина “ Керування спектром динамічнї системи
витрат- випуску моделі В. Леонтьєва” . Вісник
Київського університету, №2, 1999.

О. І. Пономаренко, М. О. Перестюк, В.М. Бурим “ Основи математичної
економіки”, Київ. “ Інформтехніка” , 1995.

4. .Э. Б. Ли, Л. Маркус.“ Основы теории оптимального управления”,
Москва. “Наука”, 1972.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *