Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа (Реферат)

Реферат з вищої математики

на тему:

Правило Лопіталя.

Теореми Коші і Лагранжа

1. Правило Лопіталя

У попередній главі ми ознайомилися з деякими способами розкриття
невизначеностей. Розглянемо ще один спосіб, який ґрунтується на
застосуванні похідних.

визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо,
самої точки х0, причому

.

, для якої

, то з рівності маємо:

, маємо

то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

. Цю саму границю матиме й відношення функцій:

.

визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі

і

Цю теорему приймемо без доведення.

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом
Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило
відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом
Бернуллі – Лопіталя.

покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

можна звести до основних так:

або

:

, то

.

, їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати
правило Лапіталя.

Приклад.

Обчислити границі:

;

, тому за правилом Лопіталя маємо

тому

після чого застосовуємо правило Лопіталя:

після чого застосуємо правило Лопіталя:

. Маємо

, потім скористаємось правилом Лопіталя:

тому

, тоді

є). Тут невизначеність виду 00, тоді

ж). Для розкриття цієї невизначеності правило Лопіталя потрібно
застосувати п разів:

2. Теореми Коші і Лагранжа

, що

Введемо допоміжну функцію

, в якій F’(c)=0 або

звідки й випливає формула.

, в якій

дістанемо формулу.

Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу у
вигляді

тоді

задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції
знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна
хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може
бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.

. У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої
справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному
аналізі надзвичайно широке.

миттєва швидкість неодмінно збігається із середньою швидкістю:

.

неодмінно знайдеться така швидкість S’(c), що коли її підтримувати
сталою, то за той самий проміжок часу [t1;t2] точка пройде той самий
шлях S(t2)-S(t1) , що і при русі із зміною швидкістю S’(t):

. Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t)
задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа.

Приклади.

має лише один дійсний корінь.

Знайдена суперечність показує, що припущення про існування ще одного
кореня було хибним.

на відрізку [1;5]? При якому значенні с?

то теорема Ролля на цьому відрізку справджується.

Значення с знаходимо з рівняння f’(x)=2x-6=0, звідки с=3.

3. Крива у=х2-4х сполучає точки А(1;-3) і В(4;0). На дузі АВ знайти
точку М0(х0; у0), в якій дотична паралельна хорді АВ.

для якої

де f’(x)=2x-4. Підставивши відповідні значення, дістанемо

Довести.

Необхідність була доведена в п.2.2

Тоді за теоремою Лагранжа.

.

5. Довести, що

тоді

тому з попередньої задачі випливає, що

arcsinx+arccosx=c.

.

тоді за теоремою Лагранжа:

дорівнює

Тому

Застосуємо тепер формулу Лагранжа до різниці перших похідних:

, то дістанемо оцінку

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *