Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня (реферат)

Реферат на тему:

Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня

На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а
від багатьох аргументів x1,…,xn.

Означення. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має
зміст, називається областю визначення функції від n змінних
y = f(x1,…,xn).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї
функції — всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2×1+3×2-x3+7×4.

3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=a(b(c. Об’єм паралелепіпеда є
функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є
функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої
праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K(0; L(0}.

визначається з нерівності 100-x2-y2(0, тобто x2+y2(102. Це круг з
центром у початку координат і радіусом r = 10.

є верхня половина сфери (рис. 6.1).

z

6 8 10 y

x

Рис. 6.1.

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній
рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається
множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

тобто x2+y2=102 (коло з радіусом r=10, рис.6.2).

тобто x2+y2=82 . Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є
коло з радіусом r = 8.

При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x2+y2=62.

y

6 8 10
x

Рис. 6.2.

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x1 та x2. Виробнича
функція має вигляд Q=10×1+20×2 (ресурси повністю взаємозамінні,
наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q(x1,x2) (лінії однакової кількості (quantity)
продукції, ізокванти ).

Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) – це відрізок прямої
10×1+20×2=60, а при C=40 – відрізок прямої 10×1+20×2=40 (рис. 6.3).

(Ресурс x1)

4 Q=60

3

2 Q=40

1

1 2 3 4 5 6 (Ресурс
x2)

Рис. 6.3.

3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10×1,20×2} (ресурси повністю
взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

Тоді в точках (x1=2, x2=1), (x1=4, x2=1), (x1=2, x2=3) значення Q=40.
У точках (x1=4; x2=2) та (x1=4; x2=4) випуск набуває значення Q=80. На
рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості
продукції Q.

(Ресурс x1)

5

4

3

2
Q=80

1
Q=40

1 2 3 4 5
(Ресурс x2)

Рис. 6.4.

Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію
Q=Q(x1,x2) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.

4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу K та кількості
затраченої праці L, задається формулою Q=K0.6(L0.4 (часткова
взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).

На рис. 6.5 зображено лінії однакового значення Q (тобто, графіки
неявних функцій K0.6(L0.4=10 та K0.6(L0.4=20):

K

Q=20

Q=10

L

Рис. 6.5.

У тривимірному просторі функція Q=K0.6(L0.4 є поверхнею, що зображена на
рис. 6.6.

Q

K

L

Рис. 6.6.

5. Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа вигляду Q=K((L1-( (0<(<1) і побудуємо лінії однакового рівня для різних значень параметрів ( та C. При (=0,5 та C=2 маємо 2 = K0.5(L0.5 , звідки K= 2L-1. При (=0,3 та C=1 отримуємо 1 = K0.3(L0.7 , звідки K= 2L-7/3. На рис. 6.7 зображені лінії однакового рівня за даних значень ( та C. K (=0,5 ; C=2 (=0,3 ; C=1 L Рис. 6.7. 6. Нехай виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд Q=K((L( (0<(,(<1). На рис. 6.8,а та 6.8,б показані тривимірні зображення цієї функції (та лінії однакового рівня) для випадків (+(<1 та (+(>1, відповідно.

(+(<1 (+(>1

Q Q

K
K

L
L

а
б

Рис. 6.8.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *