Реферат на тему:
Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня
На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а
від багатьох аргументів x1,…,xn.
Означення. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має
зміст, називається областю визначення функції від n змінних
y = f(x1,…,xn).
Приклади.
1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї
функції – всі пари дійсних чисел (x;y).
2. Функція від чотирьох змінних y=2×1+3×2-x3+7×4.
3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=a(b(c. Об’єм паралелепіпеда є
функцією від довжин його сторін.
4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є
функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої
праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K(0; L(0}.
визначається з нерівності 100-x2-y2(0, тобто x2+y2(102. Це круг з
центром у початку координат і радіусом r = 10.
є верхня половина сфери (рис. 6.1).
z
6 8 10 y
x
Рис. 6.1.
Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній
рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).
Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається
множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.
Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.
Приклади.
тобто x2+y2=102 (коло з радіусом r=10, рис.6.2).
тобто x2+y2=82 . Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є
коло з радіусом r = 8.
При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x2+y2=62.
y
6 8 10
x
Рис. 6.2.
2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x1 та x2. Виробнича
функція має вигляд Q=10×1+20×2 (ресурси повністю взаємозамінні,
наприклад, цвяхи та шурупи).
Зобразити ізолінії для Q=Q(x1,x2) (лінії однакової кількості (quantity)
продукції, ізокванти ).
Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) – це відрізок прямої
10×1+20×2=60, а при C=40 – відрізок прямої 10×1+20×2=40 (рис. 6.3).
(Ресурс x1)
4 Q=60
3
2 Q=40
1
1 2 3 4 5 6 (Ресурс
x2)
Рис. 6.3.
3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10×1,20×2} (ресурси повністю
взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).
Тоді в точках (x1=2, x2=1), (x1=4, x2=1), (x1=2, x2=3) значення Q=40.
У точках (x1=4; x2=2) та (x1=4; x2=4) випуск набуває значення Q=80. На
рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості
продукції Q.
(Ресурс x1)
5
4
3
2
Q=80
1
Q=40
1 2 3 4 5
(Ресурс x2)
Рис. 6.4.
Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію
Q=Q(x1,x2) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.
4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу K та кількості
затраченої праці L, задається формулою Q=K0.6(L0.4 (часткова
взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).
На рис. 6.5 зображено лінії однакового значення Q (тобто, графіки
неявних функцій K0.6(L0.4=10 та K0.6(L0.4=20):
K
Q=20
Q=10
L
Рис. 6.5.
У тривимірному просторі функція Q=K0.6(L0.4 є поверхнею, що зображена на
рис. 6.6.
Q
K
L
Рис. 6.6.
5. Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа вигляду Q=K((L1-( (01, відповідно.
(+(1
Q Q
K
K
L
L
а
б
Рис. 6.8.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
