Показникові та логарифмічні рівняння (реферат)

Реферат на тему:

Показникові та логарифмічні рівняння

Відомості із вищої математики. Для наближеного обчислення показникової
і логарифмічної функцій можна використати такі розклади

Збіжність послідовності також маємо, якщо

Показникову функцію можна розкласти в ряд:

Збіжність ряду можна поліпшити, узявши

Значення логарифмів можна знайти з таких розкладів:

, дістанемо такий розклад:

Ці розклади можна використовувати в разі комплексних значень аргументів.
В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.

Показникова функція

.

.

.

.

, ця функція спадає при всіх значеннях х (див. рисунок).

Логарифмічна функція

(див. рисунок).

Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно
піднести основу а, щоб дістати число b:

Основна логарифмічна тотожність:

Наведемо деякі властивості логарифмів.

.

.

.

.

.

.

:

.

.

.

.

.

Доведення формул (8—11) випливає з формули (7).

Приклади перетворень

логарифмічних виразів

Обчислити значення виразів (1—12).

.

.

.

.

.

.

EMBED Equation?†????–????????†??

,

.

Остаточно маємо:

, дістанемо:

.

Остаточно маємо:

.

.

.

.

.

.

.

Переходимо до основи х:

;

.

Способи розв’язання логарифмічних рівнянь

1. Перехід до спільної основи. Якщо в рівнянні маємо логарифми з різними
основами, то переходимо до спільної основи.

.

,

.

звідки

.

2. Потенціювання. Якщо під знак логарифма входить сума або різниця, то
рівняння потенціюють. Розв’язок неодмінно перевіряють.

.

.

.

не задовольняє рівняння.

.

не задовольняє рівняння.

3. Логарифмування. Якщо в показник при невідомому входять логарифми
невідомого, то звичайно обидві частини рівняння логарифмують.

.

.

4. Метод заміни змінної. Логарифмічне рівняння зводиться до
алгебраїчного рівняння.

.

і кожний множник прирівнюється до нуля.

Приклад. Розв’язати рівняння

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Прирівнюємо до нуля кожний множник:

не задовольняє рівняння.

і відшукують точки їх перетину, які визначають розв’язок рівняння.

.

.

Розв’язуючи логарифмічні рівняння здебільшого застосовують кілька
способів їх перетворення.

.

Переходимо до основи 3:

.

Потенціюємо рівняння:

;

.

Логарифмуємо рівняння за основою 3:

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Розглядаємо два випадки:

, тоді рівняння перетворюється на тотожність

;

.

Потенціюємо рівняння:

Способи розв’язування

показникових рівнянь

1. Прирівнювання показників

при однаковій основі

.

.

.

.

Прирівнюємо показники при основі 5:

дістанемо:

.

??

,

z

?

r O D

t

?Т?Т??

??&?

не задовольняє рівняння.

2. Логарифмування рівняння

.

Логарифмуємо обидві частини рівняння при основі 3:

,

.

.

, то можна логарифмувати рівняння.

.

3. Метод заміни змінної

, дістанемо:

;

.

.

.

4. Однорідні рівняння

можна переписати у вигляді

.

.

.

.

х ? 1,18681439.

Запишемо рівняння у вигляді:

, дістанемо:

.

5. Розклад рівняння

на множники

і прирівнюємо до нуля кожний множник.

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

:

.

Прирівняємо кожний множник до нуля:

;

не задовольняє рівняння.

Показниково-степеневі рівняння

Розглядається рівняння

.

Наведемо частинні випадки цього рівняння.

існує.

існують.

.

— цілі числа одинакової парності.

.

.

.

не задовольняє рівняння.

.

.

.

.

— не задовольняє рівняння.

.

Деякі рівняння можна розглядати і як показникові, і як логарифмічні.

.

Потенціюємо обидві частини рівняння:

, дістанемо:

.

.

.

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

.

.

Системи показникових і логарифмічних рівнянь

Під час розв’язування систем показникових і логарифмічних рівнянь
поєднують прийоми, застосовувані під час розв’язування відповідних
рівнянь і систем алгебраїчних рівнянь.

.

, дістанемо:

.

Логарифмуючи обидва рівняння при основі 2, дістаємо систему лінійних
рівнянь

.

.

, приходимо до одного рівняння:

.

Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо:

.

.

Запишемо систему рівнянь у вигляді:

.

;

Другий розв’язок не задовольняє рівняння.

.

.

.

, дістанемо:

.

.

.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

x

y

y = ах, а > 1

y = ах, 0 < a < 1 1 x y y = logах, а > 1

y = logах, 0 < a < 1 1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *