Показникова функція. Формули Ейлера. Гіперболічні функції. Логарифмічна функція. Обернені тригонометричні функції (реферат)

Реферат на тему:

Показникова функція. Формули Ейлера. Гіперболічні функції. Логарифмічна
функція. Обернені тригонометричні функції

називається числом Ейлера. Значення показникової функції еz можна
знайти з розкладу її у степеневий ряд:

. (1)

велике, то можна використовувати формулу

, (2)

з якої знаходимо рівність

,

.

можна знайти за формулою:

. (3)

з (3) випливає формула Ейлера:

. (4)

Значення показникової функції при довільному комплексному значенні
аргументу знаходять за формулою

. (5)

Приклад. Обчислити е2 + 3і.

e2 + 3i = e2 e3i = e2(cos 3 + i sin 3) =

= – 7,315110095 + + i1,042743656. (

, дістаємо таку формулу:

. (6)

Додаючи і віднімаючи почленно формули (4), (6), знаходимо інші формули
Ейлера:

. (12)

Ці формули можна використовувати для виведення різних тригонометричних
формул.

Приклад. З формул (7) дістаємо:

,

,

.

Аналогічно знаходимо:

,

,

.

Гіперболічні функції

У розрахунках часто застосовуються гіперболічні функції:

— гіперболічний косинус,

— гіперболічний синус,

— гіперболічний тангенс,

— гіперболічний котангенс.

Графіки гіперболічних функцій наведено на рис. 1 і 2.

Рис. 1

Рис. 2

Гіперболічний функції тісно пов’язані з тригонометричними функціями:

,

. (1)

Із цих формул дістаємо аналогічні залежності:

,

. (2)

Оскільки гіперболічні функції подаються через тригонометричні функції
від суто уявного аргументу, то для гіперболічних функцій справджуються
формули, аналогічні формулам для тригонометричних функцій.

У формулах для тригонометричних функцій

, тоді дістанемо аналогічні формули для гіперболічних функцій:

.

За допомогою гіперболічних функцій можна знаходити значення
тригонометричних функцій від комплексних аргументів:

.

Аналогічні формули виконуються для гіперболічних функцій від
комплексного аргументу:

Логарифмічна функція

визначається з рівності

.

Узявши

,

з рівності

:

.

Остаточно дістанемо аналітичні вирази для логарифмічної функції:

. (1)

дійсні.

.

.

. (

Логарифми від’ємних чисел існують і набувають нескінченної множини
комплексних значень.

.

;

. (

, то для відшукання логарифмів можна використовувати розклад у
степеневий ряд:

.

:

(2)

за формулою:

. (3)

.

.

маємо:

.

.

Знаходимо значення від’ємного числа в ірраціональному степені:

¤ ¤gd8}?

¦

?

?

¬

I

I

i

?

o

o

j l n p ° ? O O Oe O

.

0

2

4

b

d

?

?

?

E

??

?Ue ?

&

F

E

I

i

i

?

o

p-?-Ae-i-?-?aI?a»???°?°°°?°°°¤

j

«¤$¦$u$<%i%i%oaeUaeUIUIUae»aeaeaeae??ae & F j & & j Знайдені значення всюди щільно лежать на одиничному колі. ( за формулою: (4) є однозначною. . різних значень, що відрізняються множником . . Обернені тригонометричні функції Знайдемо вираз для обернених тригонометричних функцій через логарифмічну функцію. дістаємо квадратне рівняння: , . Остаточно маємо формулу . (1) . . існує, але комплексне. ( . Остаточно маємо: . (2) . . ( . Маємо рівняння: . . Остаточно маємо: . (3) . . . . . ? Насамкінець зауважимо, що функції комплексних змінних мають властивості, які дають змогу обчислювати визначені інтеграли, розв’язувати задачі математичної фізики, знаходити конформні відображення. ЛІТЕРАТУРА Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с. Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд. дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с. y = sh x 1 y = sh x x y y = th x 1 y = сth x x y y = сth x

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *