Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання(пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх
диференціювання.

План

Похідні вищих порядків

Диференціали вищих порядків.

Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.

6.9. Похідні вищих порядків

.

Похідна другого порядку позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку
від похідної першого порядку, тобто

.

, треба функцію продиференціювати два рази.

.

.

 цей результат диференціюємо ще раз. Маємо

.

Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом

.

, як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:

.

.

Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а
саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої
точки в даний момент часу.

Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й
похідна третього порядку.

 має похідну першого порядку .

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається
похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається
одним із символів:

.

Отже, за означенням

.

Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба
функцію послідовно три рази продиференціювати.

.

.

Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо

.

Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:

.

.

 — ю похідною, позначається одним із символів:

.

 — го порядку маємо таку рівність:

,

 раз.

. Похідні п’ятого, шостого і т. д.

.

6.10. Диференціали вищих порядків

 існує диференціал

.

.

.

. Матимемо

.

 є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак
операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала
другого порядку:

.                   (6.68)

.

Отже, згідно з означенням

.

 — го порядку:

                     (6.69)

.

:

,

Тоді

.

.

Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають.
Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.

,

.

. Згідно з означенням

.

Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то

Остаточно дістанемо таку рівність:

.         (6.70)

 не дорівнює нулю.

Якщо функція задана параметрично

то її друга похідна обчислюється за формулою

                                         (6.71)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *