РЕФЕРАТ
На тему:
Поглинальні ланцюги Маркова та їх основні числові характеристики
Вивчаючи поглинальні ланцюги Маркова, визначають:
1) імовірності переходу до поглинального стану за умови, що процес
почався з непоглинального стану;
2) середнє значення часу перебування процесу в непоглинальному стані,
перш ніж він перейде до одного з поглинальних станів, за умови, що в
початковий момент часу процес був у непоглинальному стані;
3) середню кількість зроблених кроків, перш ніж процес перейде до
поглинального стану, якщо початковий стан процесу був непоглинальним.
1. Канонічна форма матриці ?
Розглядаючи поглинальні ланцюги Маркова, стани процесу нумерують так,
щоб поглинальні дістали перші номери.
З огляду на це матриця — вона в такому разі називається канонічною
формою матриці ? — у загальному випадку подається у вигляді:
. (24)
Тут I — одинична матриця розміром m*m;
усі елементи якої дорівнюють нулю;
елементами якої є ймовірності переходів системи з непоглинальних
станів до непоглинальних;
елементами якої є ймовірності, що визначають перехід системи з
непоглинального стану до поглинального.
Приклад 11. За даною матрицею ймовірностей однокрокового переходу
поглинального ланцюга Маркова
побудувати її канонічну форму.
є поглинальним.
Тому для матриці
канонічна форма набирає такого вигляду:
,
.
Приклад 12. За даною матрицею ймовірностей однокрокового переходу
системи
побудувати канонічну матрицю.
Розв’язання. Канонічна форма матриці буде така:
,
.
2. Фундаментальна матриця
Для поглинального ланцюга Маркова з однокроковою матрицею ймовірностей,
поданою в канонічній формі (24), справджуються такі твердження:
де О — нульова матриця, всі елементи якої нулі;
де І — одинична матриця, має обернену;
. (25)
Для поглинального ланцюга Маркова ймовірність переходу системи (процесу)
в поглинальний стан зі збільшенням числа кроків переходу k прямує до
одиниці. А тому і буде виконуватися рівність
. (26)
Приклад 13. За даною однокроковою матрицею ймовірностей
установити, як змінюються значення ймовірностей переходу з одного стану
до іншого зі зростанням кількості кроків k.
поглинальні:
.
Отже, маємо:
…
Простежимо, як змінюються значення ймовірностей переходу для матриць R і
Q зі зміною кількості кроків.
:
.
:
.
матриця набирає такого вигляду:
Скориставшись властивістю визначника
(27)
розглянемо рівність
звідки
(28) (28)
Із (27) і (28) випливає, що
знаходять, здебільшого, традиційними методами.
називають фундаментальною для поглинального ланцюга Маркова.
Елемент, який у матриці N міститься на перетині і-го рядка і
.
у протилежному випадку.
Тоді дістаємо:
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter